新北师大版数学七年级上册一元一次方程应用题专题资料讲解.docx
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新北师大版数学七年级上册一元一次方程应用题专题资料讲解
新北师大版数学七年级上册一元一次方程应用题专题
新北师大版数学七年级上册一元一次方程应用题专题
（1）和、差、倍、分问题
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。
审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
例：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？
变式1：
某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
变式2：
某校组织师生春游,如果只租用45座客车,刚好坐满;如果只租用60座客车,可少租一辆,且余30个座位.请问参加春游的师生共有多少人?
（2）等积变形问题
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变形体积。
例：
要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？
变式1：
直径为30cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯的高
变式2：
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，
（1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？
它所围成的长方形与
（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
常见题型有：
①既有调入又有调出；②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例：
甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两仓库到A，B两地的路程和运费如下表
路程（千米）运费（元/千米.吨）
甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库
A地20251212
B地2520108
（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，试用x的一次式表示总运费W?
（2）你能确定当甲、乙两仓库各运往A，B多少吨水泥时，总运费461000元？
最省的总运费是多少？
变式1：
甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的2/3,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？
变式2：
某公司原有职员60名，其中女职员占20%，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了3名女职员，女职员的比例提高到25%，问公司离开公司的男职员一共有几人？
（4）行程问题。
要掌握行程中的基本关系：
路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：
各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
①同时不同地：
甲的时间=乙的时间
甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
②同地不同时：
甲的时间=乙的时间-时间差
甲的路程=乙的路程
环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
船（飞机）航行问题：
相对运动的合速度关系是：
顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；
逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。
车上（离）桥问题：
①车上桥：
指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。
②车离桥：
指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。
所走的路程为一个成长
③车过桥：
指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长
④车在桥上：
指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长
注意：
行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
例：
（相遇问题）甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
已知甲的速度为15千米/小时，乙的速度为45千米/小时。
（1）经过多少时间两人相遇？
（2）相遇后经过多少时间乙到达A地？
变式：
甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
出发后经3小时两人相遇。
已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地。
问甲、乙行驶的速度分别是多少？
例：
（追及问题）市实验中学学生步行到郊外旅行。
（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，
（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。
前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。
（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距3千米？
（4）两队何时相距8千米？
变式1：
甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。
甲用多少时间登山？
这座山有多高？
变式2：
甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。
已知两人上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。
求A,B两地之间的距离。
例：
（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？
（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？
变式1：
一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人二次相遇？
（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人二次相遇？
例：
（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？
变式1：
一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。
顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。
例：
（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？
变式1：
一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，根据以上数据，你能求出火车的长度？
变式2：
在一列火车经过一座桥梁，列车车速为20米/秒，全长180米，若桥梁长为3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？
（5）利润率问题。
其数量关系是：
利润＝售价－进价=进价×利润率；
利润率＝利润／进价×100％=（售价-进价）/进价×100％，
售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣率，
注意：
打几折销售就是按原价的十分之几出售。
例1：
某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？
优惠价是多少元？
例2：
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
变式1：
一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是______元,利润率是__________.
变式2：
一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元.
变式1：
一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是______元,利润率是__________.
变式2：
一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元.
变式3：
一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销时，利润为15.2%，这种商品每件标价是多少？
变式4：
一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折（标价的80%）出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?
变式5：
一件商品按成本价提高20%标价,然后打九折出售,售价为270元.这种商品的成本价是多少?
变式6：
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
（6）匹配问题：
例：
某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。
为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
变式1：
某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
变式2：
用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。
一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？
（7）数字问题。
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。
例1：
有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，···。
其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？
例2：
三个连续奇数的和是327，求这三个奇数。
变式1：
三个连续偶数的和是516，求这三个偶数。
变式2：
如果某三个数的比为2:
4:
5，这三个数的和为143，求这三个数为多少？
变式3：
已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多15，求这三个连续奇数。
例：
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个两位数。
变式1：
一个两位数，十位数字比个位数字大1，十位数字与个位数字之和是这个两位数的1/6，求这个两位数。
变式2：
一个三位数，三个数位上的数字和是15，百位上的数比十位上的数多5，个位上的数字是十位上的数字的3倍，求这个三位数。
（8）年龄问题
其基本数量关系：
大小两个年龄差不会变。
这类问题主要寻找的等量关系是：
抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。
例：
父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父子二人各几岁？
变式1：
王丹同学今年12岁，她爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是王丹年龄的2倍？
变式2：
孙子问爷爷多少岁，爷爷说我像你这么大时你才2岁，你长我这么大时，我就128岁了，求爷爷今年多少岁？
（9）日历问题
日历上数字的规律：
上下相差7，左右相差1
例：
（1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？
如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？
（2）如果用一个正方形所圈出的4个数的和为76，这四天分别是几号？
变式1：
在某张月历中，一个竖列上相邻的四个数的和是50，求出这四个数.
变式2：
小彬假期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是84，小彬几号回家？
变式3：
爷爷的生日那天的上、下、左、右4个日期的和为80，你能说出爷爷的生日是几号吗？
（10）工程问题
其基本数量关系：
工作总量＝工作效率×工作时间；
合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
填空
（1）甲每天生产某种零件80个，3天能生产个零件。
（2）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个。
他们5天一共生产个零件。
（3）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产这种零件x个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产个零件。
（4）一项工程甲独做需6天完成，甲独做一天可完成这项工程；若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的。
例1：
一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？
例2：
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
例3：
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
变式1：
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
甲乙合做,需几小时完成这件工作?
变式2：
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成?
变式3：
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成?
变式4：
整理一批数据，有一人做需要80小时完成。
现在计划先由一些人做2小时，在增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？
（11）计分问题
例：
在2012年英格兰足球超级联赛的前11轮比赛中，利物浦队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？
变式1：
在学完“有理数的运算”后，鹏程中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛.竞赛规则是：
每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.
⑴如果35班代表队最后得分142分，那么35班代表队回答对了多少道题？
⑵36班代表队的最后得分有可能为145分吗？
请说明理由.
（12）收费问题
例1：
某航空公司规定：
一名乘客最多可免费携带20kg的行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票，一名乘客带了35kg的行李乘机，机票连同行李票共计1323元，求这名乘客的机票价格。
例2：
根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题
方式一方式二
月租费30元／月0
本地通话费0.30元／分钟0.40元／分钟
（1）一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？
按方式二呢？
（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？
变式1：
某市为鼓励市民节约用水，做出如下规定：
用水量收费
不超过10m30.5元/m3
10m3以上每增加1m31.00元/m3
小明家9月份缴水费20元，那么他家9月份的实际用水量是多少？
变式2：
某同学去公园春游，公园门票每人每张5元，如果购买20人以上（包括20人）的团体票，就可以享受票价的8折优惠。
（1）若这位同学他们按20人买了团体票，比按实际人数买一张5元门票共少花25元钱，求他们共多少人？
（2）他们共有多少人时，按团体票（20人）购买较省钱？
（说明：
不足20人，可以按20人的人数购买团体票）
（13）比例分配问题
这类问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和＝总量。
（14）银行储蓄问题
其数量关系是：
利息＝本金×利率×存期；
本息＝本金＋利息，
利息税＝利息×利息税率。
注意：
利率有日利率、月利率和年利率，
年利率＝月利率×12＝日利率×365。
（15）溶液配制问题
其基本数量关系是：
溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
（16）“设间接未知数”解应用题的一般思路与方法
一、求整体时，可设其中的某部分为未知数
例1：
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数。
分析：
此题若直接设原来两位数为未知数，显然不易求解，对这种求整体的问题可设其中的某部分为未知数，这样可使问题获得简便的解答。
略解设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x，
由题意有：
10x+ll-x=10（11-x）+x+63，解得x=9。
二、若求其中的某部分时，可设其整体为未知数
例2：
某三个数中每两个数之和分别为27、28、29，求这三个数。
分析这是求部分的问题，如果直接设这三个数分别x、y,z，就要列出一个三元一次方程组，但若采用间接设元法设这三个数的和为未知数，问题就变得异常简捷。
略解设这三个数的和为x，则这三个数分别为x-27、x-28、x-29，
由题意有：
（x-27）+（x-28）+（x-29）=x，解得x=42。
答：
这三个数分别为15、14、13。
三、当题设条件中含有“比”时，通常可设其中的一份为x
例3:
甲、乙、丙三数的比为7：
9：
12，甲、乙两数的和减去丙数的差等于20求此三数。
分析因为7+9+12=28，说明三数的和为28份，甲、乙、丙分别占7份、9份、12份，
这样，可设每份为x，则甲、乙、丙三数分别为7x、9x、12x，
由题意得：
7x+9x-12x=20，以下略。
四、直难则间，妙用间接未知数“转换”
解决较为复杂的应用题，在直接设元布列方程感到困难时，应及时变换思考的角度，调整和转变原有的思想和方法，合理地设置间接未知数设法进行转化，以寻求新的解决问题的途径和方法。
例4:
四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个?
分析
本题若从四盘苹果考虑直接设未知数，需要列出四元一次方程组，解起来不胜繁难。
如果由“所得的数目一样”这个条件逆想，则由此可推出四盘苹果的数目，因此，设间接未知数x表示这个数目，则容易得到四盘苹果原来的个数分别为x-4,x+4,,4x,于是很方便地列出方程：
（x-4）+（x+4）++4x=100。
以下略。
一、多变量型
多变量型一元一次方程解应用题是指在题目往往有多个未知量，多个相等关系的应用题。
这些未知量只要设其中一个为x，其他未知量就可以根据题目中的相等关系用含有x的代数式来表示，再根据另一个相等关系列出一个一元一次方程即可。
例1：
夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。
某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。
求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
分析：
本题有四个未知量：
调高温度后甲空调节电量、调高温度后乙空调节电量、清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后乙空调节电量。
相等关系有调高温度后甲空调节电量－调高温度后乙空调节电量＝27、清洗设备后乙空调节电量＝1.1×调高温度后乙空调节电量、调高温度后甲空调节电量＝清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后甲空调节电量＋清洗设备后乙空调节电量＝405。
根据前三个相等关系用一个未知数设出表示出四个未知量，然后根据最后一个相等关系列出方程即可。
解：
设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电x度，则甲种空调每天节电
度。
依题意，得：
解得：
答：
只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。
二、分段型
分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题。
解决这类问题的时候，我们先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决。
例2：
某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
（千克）
不超过
20千克
20千克以上
但不超过40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
分析：
由于张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），那么第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克。
由于50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以必然第一次购买香蕉的价格为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能5元，也可能4元。
我们再分两种情况讨论即可。
解：
1）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉20千克以上但不超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋5（50－x）＝264
解得：
x＝14
50－14＝36（千克）
2）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋4（50－x）＝264
解得：
x＝32（不符合题意）
答：
第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉
例3：
参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元，那么此人住院的医疗费是（ ）
住院医疗费（元）
报销率（%）
不超过500元的部分
0
超过500～1000元的部分
60
超过1000～3000元的部分
80
……
A、1000元 B、1250元 C、1500元 D、2000元
解：
设此人住院费用为x元，根据题意得：
500×60％＋（x－1000）80%＝1100
解得：
x＝2000
所以本题答案D。
三、方案型
方案型一元一次方程解应用题往往给出两个方案计算同一个未知量，然后用等号将表示两个方案的代数式连结起来组成一个一元一次方程。
例4：
某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。
（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；
（2）现决定租用40座客车，则可比原计划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。
请你求出该校初三年级学生的总人数。
分析：
本题表示初三年级总人数有两种方案，用30座客车的辆数表示总人数：
30x+15
用40座客车的辆数表示总人数：
40（x－2）+35。
解：
（1）该校初三年级学生的总人数为：
30x+15
（2）由题意得：
30x+15＝40（x－2）+35
解得：
x＝6
30x＋15＝30×6＋15＝195（人）
答：
初三年级总共195人。
五、数据处理型
数据处理型一元一次方程解应用题往往不直接告诉我们一些条件，需要我们对所给的数据进行分析，获取我们所需的数据。
例5：
解应用题：
2004年4月我国铁路第5次大提速．假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44千米／时，提速前的列车时刻表如下表所示：
行驶区间
车次
起始时刻
到站时刻
历时
全程里程
A地—B地
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