梅涅劳斯定理与塞瓦定理.docx

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梅涅劳斯定理与塞瓦定理

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梅涅劳斯定理与塞瓦定理

梅涅劳斯定理及其逆定理

梅涅劳斯定理：

如果一条直线与△ABC的三边AB、

BC、CA或其延长线交于F、D、E点,

BDCE

DEEA1.这条直线叫△ABC的梅氏线，

△ABC叫梅氏三角形.

那么一

FB

证法一：

如左图，过

FB

FG

BD

DC过

AG

BD

…DB

•DC

-AF••FB

证法二：

如中图,

AF

C作CG

EC

，AE

CE

//DF

FG

AF

FB

三式相乘即得:

AFFBFG

1.

EAFBFGAF

A作AG//BD交DF的延长线于

BD

，DC

AF

FB

证法三：

如右图，分别过

则有

所以

梅涅劳斯定理的逆定理:

BDCEDC，EA

BDCE

DCEA

DC

AG

AGBDDC

BDDCAG

A、B、C作DE的垂线,分别交于Hi、H2、H

AHi//BH2//CH3,

AFBDCEAHiBH2CH3〔FBDCEABH2CH3AH1.

若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点,

AFBDCE

如果竺BD1，贝UF、D、E三点共线.

FBDCEA

【例11

【解析】

习题1.

【解析1

习题2.

夯实基础

如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交

证：

AE:

ED2AF:

FB.

AB于点F，交AD于点E，求

••直线

...AE

ED

FEC是^ABD的梅氏线,

DCBF工DC

BCFABC

AE

ED

BA1，

即圧空F

EDBF

在^ABC中，D是BC的中点，经过点

FAEA

证：

————

FCEB

直线截△ABC三边于D、

be

BDBC，所以一

EA

AF

FC

如图，在△ABC中,

ACB

D的直线交AB于点

E、F三点，应用梅氏定理，知

即空EA

FCEB

E，交CA的延长线于点F.求

CD匹圧1，又因为

DBEAFC

90,ACBC.AM为BC边上的中线,

CDAM于点D,

【解析】由题设，在Rt△AMC中，CD

AD

由射影定理竺

DM

AM,AC2CM,

竺4

DMAMCM

ADAM

对△ABM和截线

EDC，由梅涅劳斯定理,

AE

BC

MD

EB

CM

DA

所以些2.

EB

探索提升

【例2】如图，在△ABC中，D为AC中点，BE

求证:

BM:

MN:

ND5:

3:

2.

【解析】•••直线

BM

MD

BM

MD

EF

FC，

AE是△BCD的梅氏线，

DACE

1.

ACEB

12BM1

——1，…-

21MD1

•••直线AF是△BCD的梅氏线,

BN

DACF

ND

BN

ND

ACFB—1,

22

BN

ND

习题3.

【解析】

【例31

【解析1

•••BM:

MN:

ND5:

3:

2.

如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:

EF:

FD4:

3:

1.求AG:

GH:

AB.

•/HFC

.AH

HB

是^ABD的梅氏线,

BCDF

DCFA

•/D为BC的中点,

.BC

DC

AH

HB

2

1，

21

17

AE:

EF:

FD4:

3:

1,1

7.

1,•••型

HB

DF

FA

•/GEC是^ABD的梅氏线,

•AG

…GB

.AG

GB

BC

DC

21

11

匹1,

EA

1,•••些GB

•-AG:

GH:

HB

•-AG:

GH:

AB

过△ABC的重心

3:

4:

2.

3:

4:

9.

G的直线分别交AB、AC于点E、F,交CB的延长线于点D.

BECF求证：

EAFAT1.

作直线AG交BC于M,

•/MG:

GA1:

2,

AEBDMG

BMMC.

EBDMGA

些型11.

EBDM2

【解析】

习题4.

【解析】

.EB

BD

…AE

2DM

CF

DC

同理，

FA

2DM

而BD

DC

BD

BD2BM2（BD

BM）2DM

.BE

CF

BD

DC2DM

1

EA

FA

2DM

2DM2DM

如图，

点D、

E分别在△ABC的边AC

、AB上，

【例4】

于点F,SaABC40•求Saefd.

AEEB，DD

2

-,BD与CE交

3

EFCD

对^ECA和截线BFD，由梅氏定理得:

所以弐

FC

进而SaeFD

1

-.所以SaBFE

3

SAABDSABEF

—Sabec

4

21

FCDA

1S

一SaABC,

8

便1，即雯？

BEFC2

ABC

口40

40

如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为

x的值.

10.四边形AEFD的面积为x，求

ABEF

对^ECA和截线BFD，由梅氏定理得：

CD

DA

BEFC

1，即咒耆「，解得

x22.

【备选】如图，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点

O的三条直线分为6个小三角形,

【解析】对^ABD和截线COF，由梅氏定理得:

AF聖竺1，即

FBCDOA

--BC-1，所以

3CD2

BC

CD

3BC

2,所以竺3•所以ABC3SaABD3105315.

2BD

非常挑战

【例5】如图,

P,B的平分线与

边CA交于点

的外角平分线，则

Q，C的平分线与边AB交于点R，求证：

P、Q、R三点共线.

在△ABC中，A的外角平分线与边BC的延长线交于点

AP是

BAC

BP

AB

PC

CA

BQ是

ABC

CQ

BC

QA

AB

CR是

ACB

AR

CA

RB

BC

①

③

【解析】

的平分线，则

的平分线，则

②

①

BP

PC

②③得

CQAR

QARB

ABBCCA,

1

CAABBC

则根据梅涅劳斯定理的逆定理得:

P、Q、R三点共线.

习题5.证明：

不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点.

B

C

E

【解析】如图，CD、BE、AF分别为三角形

ABC

的三个外角平分线，分别交

AB、AC、BC于

过C作BE的平行线，则BCP所以△BPC是等腰三角形•则则有：

CEPBCB.

BABA

AC；BFBA

CB；FCAC

ADBFCBAC

DBFCBACB

CBE

EBDCPB,

同理

所以

EA

AD

DB

CE

EA

所以

D、E、F共线.

PB

BA

AC

CB.

板块二

塞瓦定理及其逆定理

知识导航

塞瓦定理:

F，如图,

如果△ABC的三个顶点与一点P的连线

BDCEAF

那么BDCS工1•通常称点P为^ABC的塞瓦点.DCEAFB

AP、BP、CP交对边或其延长线于点

证明：

•••直线FPC、EPB分别是

•BCDPAF

''cdpaFB

△ABD、△ACD的梅氏线,

CEAP,

EAPD

两式相乘即可得:

BD

DC

DB

BC

CEAF,

EAFB

塞瓦定理的逆定理：

如果点

口BDCE

且

DCEA

AF

FB

1，那么

证明:

F分别在△ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并

AD、

BE、CF相交于一点（或平行）

F

若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'.

BD

DC

AF

FB

由塞瓦定理得:

又已知

BD

DC

AB

CE

EA

•AB

FB

•F'与F重合

CE

EA

FB

•AFAF_'•FBFB

•••AD、BE、CF相交于一点.

⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD//BE，如图.

•BD

DC

•EA

AC

EABDCEAF,

——，又已知1,

ACDCEAFB

CE生1，即CEfb.

EAFBACAF

•BE//FC,•••AD//BE//FC.

说明：

三线平行的情况在实际题目中很少见.

探索提升

【例6】

（1）

设AX,BY,CZ是△ABC的三条中线，求证：

AX,

BY,CZ三线共点.

（2）

【解析】

（1）

（2）

习题6.

若AX,BY,CZ为△ABC的三条内角平分线.求证:

A

Y

X

AX，BY，CZ三线共点.

由条件知，BXXC,YCYA,ZA

根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线

这个点称为这个三角形的重心.

由三角形内角平分线定理得:

BXCY

三式分别相乘，得：

3

XCYA

BXXC

AZ

ZB

ZB

AZ

ZB

AX

.BXCY

XCYA

CZ共点.

by,

CYACYAABBCACAB

AB

根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线

这个点称为这个三角形的内心.

BCAZ

BA，云

AC

一1.

BC

AX,BY,

AC

BC

CZ共点,

若AX,BY,CZ分别为锐角△ABC的三条高线，求证：

AX,BY,CZ三线共点.

【解析】

BXAB

由^ABX^△CBZ得：

巴;由^BYAs^CZA得:

BZBC

心AXCBYC可得:

YC竺.所以堅竺竺CXACBZAYCX

根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX,BY,CZ共点.

对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点.

AZ

AY

AB

BC

AC

AB；

ACBC,————1.

ABAC

我们把一个三角形三条高

线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.

【例7】

如图，M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E,CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点D，求证：

EFIIBC.

【解析】

对^ABC和点M应用塞瓦定理可得:

AFBD

FBDC

CE

云1.又因为BDDC,所以

习题7.

【解析】

AFCE1.进而

FBEAFB

AF—，所以EFEC

如果梯形ABCD的两腰

必平分梯形的两底.

•••ABIICD

•MD…DA

•MD…DA

..MD'DA

CM

BC

匹1

CM

AQBC

QBCM

IIBC.

AD、BC的延长线交于M,两条对角线交于N.求证：

直线MN

M

（由塞瓦定理得）

AQ

QB

DP

AQ

QB

PC

QB，-DPPC.

板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合

非常挑战

【备选】如图，E、F分别为△ABC的AC、AB边上的点，且AE3EC，BF3FA，

BE、CF交于点

【解析】•/P为△ABC的塞瓦点.

BD1“

1

DC3

9

10■

.AF

…FB

.BD

…DC

BDCE1

DCEA3

9.BD

1，…BC

•••EPB为△ACD的梅氏线,

AP

PD

AP

PD

DBCEAP91

1

BCEAPD10310

3

【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC,DA和CB分别相交于点L,K,对角线AC与BD

交于点M.直线KL与BD、AC分别交于点F、G.

…KFKG

求证：

————.

LFLG

【解析】对^DKL与点B应用塞瓦定理得：

-DA^F

AKFL

进而可得KFKG

LFLG