因此在本章的第2节和第3节中，若未特别说明，则该债券的预期收益率y与债券承诺的到期收益率k是相等的，债券价格与债券价值也是相等的。
例如，某种债券的价格为900美元，每年支付利息60美元，三年后到期偿还本金1000美元，那么根据式（10.4），可以算出该债券承诺的到期收益率k为10.02%。
如果该债券的预期收益率为9%。
那么，这种债券的价格是被低估的。
具体计算过程如下：
第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。
我们把债券的内在价值（V）与债券价格（P）两者的差额，定义为债券投资者的净现值（NPV）。
当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券价格，即市场利率低于债券承诺的到期收益率，该债券被低估；反之，当净现值小于零时，该债券被高估。
（4.5）
沿用第一种方法种的例子，可以发现该债券的净现值为24.06美元，所以该债券的价格被低估了，具体计算如下：
（美元）
当净现值大于零时，对于投资者是一个买入信号。
相反，如果该债券的预期收益率y不是9%，而是11%，那么，该债券的净现值将小于零（-22.19美元），表明它被高估了，对于投资者构成了一个卖出信号。
只有当债券的预期收益率近似等于债券承诺的到期收益率时，债券的价格才处于一个比较合理的水平。
第二节债券属性与价值分析
债券的价值分析与债券的以下8方面的属性密切相关。
这些属性分别是
（1）到期时间（期限）；
（2）债券的息票率；（3）债券的可赎回条款；（4）税收待遇；（5）市场的流通性；（6）违约风险；（7）可转换性；（8）可延期性。
其中任何一种属性的变化，都会改变债券的到期收益率水平，从而影响债券的价格。
下面将采用局部均衡的方法，即在假定其他属性不变的条件下，分析某一种属性的变化对债券价格的影响。
一、到期时间（TimetoMaturity）
从第一节的式（4.1）至式（4.3）可以发现：
当债券的预期收益率y和债券的到期收益率k上升时，债券的内在价值和市场价格都将下降。
当其他条件完全一致时，债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。
但是当到期时间变化时，债券的边际价格变动率递减。
例如，假定存在4种期限分别是1年、10年、20年和30年的债券，它们的息票率都是6%，面值均为100元，其他的属性也完全一样。
如果起初这些债券的预期收益率都等于6%，根据内在价值的计算公式可知这4种债券的内在价值都是100元。
如果相应的预期收益率上升或下降，这4种债券的内在价值的变化如表4-2所示。
表4-2内在价值（价格）与期限之间的关系
预期收益率
期限
1年10年20年30年
4%
102116127135
5%
101108112115
6%
100100100100
7%
99938988
8%
98868077
表4-2反映了当预期收益率由现在的6%上升到8%，四种期限的债券的内在价值分别下降2元、14元、20元和23元；反之，当预期收益率由现在的6%下降到4%，四种期限的债券的内在价值分别上升2元、16元、27元和35元。
同时，当预期收益率由现在的6%上升到8%时，1年期和10年期的债券的内在价值下降幅度相差12元，10年期和20年期的债券的内在价值下降幅度相差6元，20年期和30年期的债券的内在价值下降幅度相差3元。
可见，由单位期限变动引起的边际价格变动率递减。
可见，当债券价格由预期收益率确定的现值决定时，折价债券将会升值，预期的资本收益能够补足息票率与预期收益率的差异；相反，溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入，投资者仍然获得相当于预期收益率的收益率。
图4-1反映了这两种债券的价格变动轨迹。
图4-1折（溢）价债券的价格变动
本例说明，虽然利息收入与资本收益的比重有所不同，不同息票率的债券提供给投资者的收益率是相同的。
在一个有效的资本市场上，经过税负调节和风险因素的调整后，各种债券的整体收益应该是相等的。
否则，投资者就会卖掉收益率低的债券，买入收益率高的债券，导致相应价格的下降或上升，直到各种债券收益率相等为止。
零息票债券的价格变动有其特殊性。
在到期日，债券价格等于面值，到期日之前，由于资金的时间价值，债券价格低于面值，并且随着到期日的临近而趋近于面值。
如果利率恒定，则价格以等于利率值的速度上升。
例如，30年期的零息票债券，面值1000美元，预期收益率等于10%，当前价格为1000/（1+10%）
=57.31（美元）。
一年后，价格为1000/（1+10%）
=63.04（美元），比上一年增长了10%。
图4-2反映了这种债券价格的变动轨迹。
图4-2零息票债券的价格变动
二、息票率（CouponRate）
债券的到期时间决定了债券的投资者取得未来现金流的时间，而息票率决定了未来现金流的大小。
在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大。
例如，存在5种债券，期限均为20年，面值为100元。
唯一的区别在于息票率，即它们的息票率分别为4%、5%、6%、7%和8%。
假设这些债券的预期收益率都等于7%，那么，可以利用式（4.2）分别计算出各自的初始的内在价值。
如果预期收益率发生了变化（上升到8%和下降到5%），相应地可以计算出这5种债券的新的内在价值。
具体结果见表4-3。
表4-3内在价值（价格）变化与息票率之间的关系
息票率
预期收益率
内在价值变化率
（7%到8%）
内在价值变化率
（7%到5%）
7%8%5%
4%
686087
-11.3%
+28.7%
5%
7870100
-10.5
+27.1%
6%
8980112
-10.0%
+25.8%
7%
10090125
-9.8%
+25.1%
8%
110100137
-9.5%
+24.4%
从表4-3中,可以发现面对同样的预期收益率变动,无论预期收益率上升还是下降,5种债券中息票率最低的债券（4%）的内在价值波动幅度最大,而随着息票率的提高,5种债券的内在价值的变化幅度逐渐降低。
所以，债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大。
息票率与债券价格之间的关系请详见本书所附光盘中题为“债券定价与久期”的模板。
三、可赎回条款（CallProvision）
许多债券在发行时含有可赎回条款,即在一定时间内发行人有权赎回债券。
事实上含有可赎回条款的主要是公司债券（CorporateBonds），国家一般不再发行这种债券。
这是有利于发行人的条款，当预期收益率下降并低于债券的息票率时，债券的发行人能够以更低的成本筹到资金。
这种放弃高息债券、以低息债券重新融资的行为称为再融资（Refunding）。
发行人行使赎回权时，以赎回价格（Callprice）将债券从投资者手中收回。
初始赎回价格通常设定为债券面值加上年利息，并且随着到期时间的减少而下降，逐渐趋近于面值。
尽管债券的赎回价格高于面值，但是，赎回价格的存在制约了债券市场价格的上升空间，并且增加了投资者的交易成本，所以，降低了投资者的投资收益率。
为此，可赎回债券往往规定了赎回保护期，即在保护期内，发行人不得行使赎回权。
这种债券称为有限制的可赎回债券（Deferredcallablebonds）。
常见的赎回保护期是发行后的5至10年。
可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，并且降低了投资者的实际收益率。
一般而言，息票率越高，发行人行使赎回权的概率越大，即投资债券的实际收益率与债券承诺的收益率之间的差额越大。
为弥补被赎回的风险，这种债券发行时通常有较高的息票率和较高的承诺到期收益率。
下面具体分析可赎回条款对债券收益率的影响。
例如，30年期的债券以面值1000美元发行，息票率为8%。
在图4-3中，如果债券不可赎回，其价格随市场利率的变动如曲线AA所示。
如果是可赎回债券，赎回价格是1100美元，其价格变动如曲线BB所示。
随着市场利率下降，债券未来支付的现金流的现值增加，当这一现值大于赎回价格时，发行者就会赎回债券，给投资者造成损失。
在图中，当利率较高时，被赎回的可能性极小，AA与BB相交，利率下降时,AA与BB逐渐分离，它们之间的差异反映了公司实行可赎回权的价值。
当利率很低时，债券被赎回，债券价格变成赎回价格1100美元。
图4-3可赎回条款对债券价格的影响
四、税收待遇（TaxTreatment）
在不同的国家之间,由于实行的法律不同,所以不仅不同种类的债券可能享受不同的税收待遇,而且同种债券在不同的国家也可能享受不同的税收待遇。
债券的税收待遇的关键，在于债券的利息收入是否需要纳税。
由于利息收入纳税与否直接影响着投资的实际收益率，所以，税收待遇成为影响债券的市场价格和收益率的一个重要因素。
例如，美国法律规定，地方政府债券的利息收入可以免缴联邦收入所得税，所以地方政府债券的名义到期收益率往往比类似的但没有免税待遇的债券要低20%至40%。
此外，税收待遇对债券价格和收益率的影响还表现在贴现债券的价值分析中。
对于美国地方政府债券的投资者来说，由于贴现债券具有延缓利息税收支付的优势，但实际上贴现式地方政府债券可以免缴联邦收入所得税，这使得贴现债券的税收优势不复存在，所以，在美国地方政府债券市场上，贴现债券品种并不流行。
对于（息票率低的）贴现债券的内在价值而言，由于具有延缓利息税收支付的待遇，它们的税前收益率水平往往低于类似的但没有免税待遇的（息票率高的）其他债券，所以，享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券。
五.、流通性（Liquidity）
债券的流通性，或者流动性，是指债券投资者将手中的债券变现的能力。
如果变现的速度很快，并且没有遭受变现所可能带来的损失，那么这种债券的流通性就比较高；反之，如果变现速度很慢，或者为了迅速变现必须为此承担额外的损失，那么，这种债券的流动性就比较慢。
例如，尽管凡高的作品在世界上享有很高的声誉,但是如果某收藏家计划在一个小时内出售其收藏的凡高作品,那么,他的成交价格一定大大低于该作品应有的价值。
相比之下，债券的流动性远远高于上述收藏品。
通常用债券的买卖差价的大小反映债券的流动性大小。
买卖差价较小的债券流动性比较高；反之，流动性较低。
这是因为绝大多数的债券的交易发生在债券的经纪人市场。
对于经纪人来说，买卖流动性高的债券的风险低于流动性低的债券，所以，前者的买卖差价小于后者。
所以，在其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的名义的到期收益率之间呈反比例关系，即：
流动性高的债券的到期收益率比较低，反之亦然。
相应地，债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。
六、违约风险（DefaultRisk）
债券的违约风险是指债券发行人未履行契约的规定支付债券的本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。
债券评级是反映债券违约风险的重要指标。
美国是目前世界上债券市场最发达的国家，所拥有的债券评级机构也最多。
其中，最著名的两家是标准普尔公司（Standard&Poor’s,S&P）和穆迪投资者服务公司（Moody’sInvestorsServices）。
尽管这两家公司的债券评级分类有所不同，但是基本上都将债券分成两类：
投资级或投机级。
投资级的债券被评定为最高的四个级别，例如：
标准普尔公司和穆迪投资者服务公司分别将AAA,AA,A,BBB和Aaa,Aa,A,Baa四个级别的债券定义为投资级债券，将BB级以下（包括BB级）和Ba级以下（包括Ba级）的债券定义为投机级。
有时人们将投机级的债券称之为垃圾债券（junkbonds），将由发行时的投资级转变为投机级的债券形象地称为失落的天使（fallenangels）。
七.、可转换性（Convertibility）
可转换债券的持有者可用债券来交换一定数量的普通股股票。
每单位债券可换得的股票股数称为转换率（conversionratio），可换得的股票当前价值称为市场转换价值（marketconversionvalue），债券价格与市场转换价值的差额称为转换损益（conversionpremium）。
例如，债券价格为1000美元，转换率为40，当前股价每股20美元，此时，转换损失为1000-4020=200美元，投资者不会实行转换权。
如果股价升至每股30美元，则转换收益为4030-1000=200美元。
可见，投资者可以从公司股票的升值中受益。
所以，可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。
但是，如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。
八、可延期性（Extendability）
可延期债券是一种较新的债券形式。
与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。
如果市场利率低于息票率，投资者将继续拥有债券；反之，如果市场利率上升，超过了息票率，投资者将放弃这种债券，收回资金，投资于其他收益率更高的资产。
这一规定有利于投资者，所以可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。
表4-5是对本节内容的总结，综合了上述8方面的债券属性与债券价值分析之间的关系。
表4-5债券属性与债券收益率
债券属性
与债券收益率的关系
1.期限
当预期收益率（市场利率）调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。
2.息票率
当预期收益率（市场利率）调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。
3.可赎回条款
当债券被赎回时，投资收益率降低。
所以，作为补偿，易被赎回的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较低。
4.税收待遇
享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较高。
5.流动性
流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较高。
6.违约风险
违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。
7.可转换性
可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。
8.可延期性
可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。
第三节债券定价原理
根据以上讨论，我们可以给出债券定价原理，并讨论与债券定价原理有关的债券的两个特性：
凸度（convexity）和久期（duration）。
一、债券定价原理
1962年麦尔齐（B.G.Malkiel）最早系统提出了债券定价的5个原理。
至今，这5个原理仍然被视为债券定价理论的经典。
定理一：
债券的价格与债券的收益率成反比例关系。
换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升。
例一：
某5年期的债券A，面值为1000美元，每年支付利息80美元，即息票率为8%。
如果现在的市场价格等于面值，意味着它的收益率等于息票率8%。
如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为5.76%，低于息票率；反之，当市场价格下降到900美元时，它的收益率上升到10.98%，高于息票率。
到期收益率与债券价格之间的关系请详见本书所附光盘中题为“债券定价与久期”的模板。
定理二：
当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。
换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。
这个定理不仅适用于不同债券之间的价格波动的比较，而且可以解释同一债券的期满时间的长短与其价格波动之间的关系。
其中，债券之间的比较，在第二节的“到期时间”部分已经讨论过，详见表4-2。
下面，分析定理二在同一债券中的运用。
例二：
某5年期的债券B，面值为1000美元，每年支付利息60美元，即息票率为6%。
如果它的发行价格低于面值,为833.31美元,意味着收益率为9%,高于息票率；如果一年后，该债券的收益率维持在9%的水平不变,它的市场价格将为902.81美元。
这种变动说明了在维持收益率不变的条件下，随着债券期限的临近，债券价格的波动幅度从116.69（1000-883.31）美元减少到97.19（1000-902.81）美元，两者的差额为19.5美元，占面值的1.95%。
具体计算公式如下：
定理三：
随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。
这个定理同样适用于不同债券之间的价格波动的比较，以及同一债券的价格波动与其到期时间的关系。
其中，不同债券之间的价格波动的比较，同样参见第二节的“到期时间”部分，详见表10-2。
例三：
沿用例二中的债券。
假定两年后，它的收益率仍然为9%，当时它的市场价格将为924.06美元，该债券的价格波动幅度为75.94（1000-924.06）美元。
与例二中的97.19美元相比，两者的差额为21.25美元,占面值的比例为2.125%。
所以，第一与第二年的市场价格的波动幅度（1.95%）小于第二与第三年的市场价格的波动幅度（2.125%）。
第二年后的市场价格计算公式为：
定理四：
对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。
换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。
例四：
某5年期的债券C，面值为1000美元，息票率为7%。
假定发行价格等于面值，那么它的收益率等于息票率7%。
如果收益率变动幅度定为1个百分点，当收益率上升到8%时，该债券的价格将下降到960.07美元，价格波动幅度为39.93美元（1000-960.07）；反之，当收益率下降1个百分点，降到6%，该债券的价格将上升到1042.12美元,价格波动幅度为42.12美元。
很明显，同样1个百分点的收益率变动，收益率下降导致的债券价格上升幅度（42.12美元）大于收益率上升导致的债券价格下降幅度（39.93美元）。
具体计算如下：
定理五：
对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。
换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小。
在第二节的息票率部分，曾经分析过这种现象。
二、久期
债券的久期（Duration）的概念最早是马考勒（F.R.Macaulay）1938年提出的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间，即马考勒久期。
（一）马考勒久期的计算公式
（10.6）
其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（ct）是债券未来第t期可现金流（利息或本金）的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。
例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率
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