组合与组合数公式.ppt

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组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：

问题一：

从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

同的选法？

问题二：

问题二：

从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

加一项活动，有多少种不同的选法？

甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙有顺序有顺序无顺序无顺序一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素合成一组合成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合组合定义组合定义:

排列定义排列定义:

一般地说，从一般地说，从nn个不同元素中，取出个不同元素中，取出m（mn）m（mn）个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从nn个不个不同元素中取出同元素中取出mm个元素的一个个元素的一个排列排列.思考思考:

排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？

排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？

共同点共同点:

都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:

对于所取出的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列”，而组合却是，而组合却是“不管怎样的顺序合成一组不管怎样的顺序合成一组”排列排列与元素的顺序有关，而与元素的顺序有关，而组合组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.想一想想一想:

ab与ba是相同的排列还是相同的组合?

为什么?

两个相同的排列有什么特点?

两个相同的组合呢?

什么是两个相同的排列？

什么是两个相同的组合？

相同排列：

元素相同且顺序相同.相同组合：

元素相同判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?

（1）设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少个?

（2）某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票?

有多少种不同的火车票价？

有多少种不同的火车票价？

组合问题组合问题排列问题排列问题（3）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法共有多少种分法?

组合问题组合问题（4）10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次共需握手多少次?

组合问题组合问题（5）从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?

组合问题组合问题（6）从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点的游览个风景点的游览顺序顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?

排列问题排列问题组合问题组合问题如如:

从从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是所有组合分别是:

ab,ac,bc如如:

已知已知4个元素个元素a,b,c,d,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd（3个个）6个个练习练习:

中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军请赛，通过单循环决出冠亚军（11）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（22）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况。

（11）中国中国美国美国中国中国古巴古巴中国中国俄罗斯俄罗斯美国美国古巴古巴美国美国俄罗斯俄罗斯古巴古巴俄罗斯俄罗斯

（2）冠冠军军中中中中中中美美美美美美古古古古古古俄俄俄俄俄俄亚亚军军美美古古俄俄中中古古俄俄中中美美俄俄中中美美古古组合数合数:

从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有）个元素的所有组合的个数，叫做从合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数合数，用符号，用符号表示表示如如:

思考思考:

如何计算如何计算:

写出从写出从a,b,c,da,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。

四个元素中任取三个元素的所有组合。

aabc，abd，acd，bcd.bcddbccd写出从写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列四个元素中任取三个元素的所有排列.cdbdbccdacadbdadabbcacabbcdacdabdabcbacdabcbaccabdababdbadcaddacacbbcacbadbaacdbcdcbddbcadbbdacdadcaadcbdccdbdcb所有的排列为：

组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb组合数公式组合数公式:

从从n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数例例11计算：

算：

例例2求求证：

例例6一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问：

（l）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

（2）解：

（1）例例7

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

（2）解：

（1）例例8在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

（2）解：

（1）（3）法一：

法二：

说明：

“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

变式：

按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；

（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；组合数的两个性质组合数的两个性质写出从写出从a,b,c,d四个元素中四个元素中任取三个元素的所有组合。

任取三个元素的所有组合。

aabc，abd，acd，bcd.bcddbccdabcabdacdbcddcbaabcabdacdbcd含元素含元素a的组合数的组合数:

不含元素不含元素a的组合数的组合数:

例9计算：

例例10求证求证:

证明证明:

例例11平面内有平面内有12个点，任何个点，任何3点不点不在同一直线上在同一直线上,以每以每3点为顶点画一个点为顶点画一个三角形三角形,一共可画多少个三角形一共可画多少个三角形?

答答:

一共可画一共可画220个三角形个三角形.思考交流思考交流1.从从9名学生中选出名学生中选出3人做值日人做值日,有多有多少种不同的选法少种不同的选法?

2.有有5本不同的书本不同的书,某人要从中借某人要从中借2本本,有多少种不同的借法有多少种不同的借法?

元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略应用背景：

相同元素的名额分配问题应用背景：

相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：

隔板法的使用特征：

相同的元素分成若干部分，每部分至少一个相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给77个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？

有多少种分配方案？

解：

因为解：

因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成个空隙。

一排。

相邻名额之间形成个空隙。

在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。

种分法。

一班二班三班四班五班六班七班将将nn个相同的元素分成个相同的元素分成mm份（份（nn，mm为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入nn个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为回目录回目录例例高二年级高二年级88个班个班,组织一个组织一个1212个人的年级学生分会个人的年级学生分会,每班要求至少每班要求至少11人人,名额分配方案有多少种名额分配方案有多少种?

解解此题可以转化为此题可以转化为:

将将1212个相同的白球分成个相同的白球分成88份份,有有多少种不同的分法问题多少种不同的分法问题,因此须把这因此须把这1212个白球排成一个白球排成一排排,在在1111个空档中放上个空档中放上77个相同的隔板个相同的隔板,每个空档最多每个空档最多放一个放一个,即可将白球分成即可将白球分成88份份,显然有显然有种不同的放法种不同的放法,所以名额分配方案有所以名额分配方案有种种.结论结论转化法转化法:

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体将其化归为简单的、具体的问题来求解的问题来求解.分析分析此题若直接去考虑的话此题若直接去考虑的话,就会比较复杂就会比较复杂.但如果但如果我们将其转换为等价的其他问题我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚就会显得比较清楚,方法简单方法简单,结果容易理解结果容易理解.回目录回目录练练习习（11）将）将1010个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给77个不同个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有案共有（）种。

）种。

（2）不定方程）不定方程的正整数解的正整数解共有（共有（）组）组回目录回目录平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有多少分法？

多少分法？

解解:

分三步取书得分三步取书得种方法种方法,但这里出现但这里出现重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF该分法记为该分法记为（AB,CD,EF）,则则中还有中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有共有种取法种取法,而而这些分法仅是这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法一种分法,故共故共有有种分法。

种分法。

平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以（n为均为均分的组数分的组数）避免重复计数。

避免重复计数。

回目录回目录1将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4个队个队