学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题解析版.docx
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学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题解析版
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设全集2，3，，集合，，则等于
A.B.C.D.3，
【答案】A
【解析】解：
全集2，3，，集合，，．
故选：
A．
利用集合的交、并、补集的混合运算求解．
本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．
2.已知向量，，若，则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：
；；；；．
故选：
A．
根据即可得出，从而得出，这样即可求出的坐标．
考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算．
3.已知函数，则的值是
A.B.C.D.9
【答案】C
【解析】解：
函数，，．
故选：
C．
由已知得，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
4.设，，，则
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解：
，，，
则．
故选：
D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.函数的零点一定位于下列哪个区间
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：
函数，
，，函数的零点在上，
故选：
B．
要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．
本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．
6.已知角的终边经过点，则的值等于
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：
角的终边经过点，，
则．
故选：
B．
由角的终边经过点，利用任意角的三角函数定义求出的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出的值是解本题的关键．
7.已知函数的图象部分如图所示，则的解析式是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】解：
根据图象判断：
周期，，，，，，，，，．故选：
A．
根据图象可得周期，，利用周期公式可求，利用及的范围可求的值，即可确定函数解析式．
本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．
8.若两个非零向量，满足，，则，的夹角是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解：
根据题意，设，的夹角是，
又由，且，
则，
即，
解可得，
则；
故选：
D．
根据题意，设，的夹角是，由数量积的计算公式可得，代入数据计算可得的值，结合的范围，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．
9.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积弦矢矢，弧田如图由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长为米的弧，按上述经公式计算，所得弧田面积约是
A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米
【答案】C
【解析】解：
如图，由题意可得：
，弧长为米，在中，可得：
，，，
可得：
矢，
由，
可得：
弦，
所以：
弧田面积弦矢矢平方米．
故选：
C．
在中，由题意，，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．
10.偶函数满足：
，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】解：
根据题意，或，等价于求函数的图象在第二、四象限时x的取值范围．
又由偶函数满足，
则，
且在区间与上分别递减与递增，
其草图为：
即函数图象位于第四象限，函数图象位于第二象限．
综上：
的解集为：
，
故选：
B．
利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数的图象，再由得到x与异号得出结论
本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．
11.已知锐角满足，则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】解：
锐角满足，，，平方可得，．，，还是锐角，故，
则，
故选：
C．
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得，，判断 ，还是锐角，再求得的值，可得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
12.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且，，连接AC、MN交于P点，若，则的值为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】解：
，，连，三点M，N，P共线．，，
故选：
C．
根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．
本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数的定义域是______．
【答案】
【解析】解：
由题意，
可令，
解得，函数的定义域是
故答案为：
．
由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．
本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．
14.已知，则______．
【答案】
【解析】解：
，，，
故答案为：
根据诱导公式和二倍角公式即可求出．
本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．
15.已知函数，，若存在2个零点，则实数a取值范围是______．
【答案】
【解析】解：
由得，
作出函数和的图象如图：
当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数存在2个零点，
故实数a的取值范围是，
故答案为：
．
由得，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．
16.函数的图象为C，如下结论中正确的是______．图象C关于直线对称；图象C关于点对称；函数在区间内是增函数；由图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
【答案】
【解析】解：
函数，
由，为最小值，可得图象C关于直线对称，故正确；
由，图象C关于点对称，故正确；
由，可得，即有在区间内是增函数，
故正确；
由图象向右平移个单位长度可以得到的图象，故错误．
故答案为：
．
由正弦函数的对称轴特点可判断；由正弦函数的对称中心特点可判断；
由正弦函数的增区间可判断；由三角函数的图象变换特点可判断．
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知向量，．若，且，求向量的坐标；若，，且A、B、C三点共线，求实数m的值．
【答案】解：
设；，且；，；联立得，，或；；，；、B、C三点共线；；；．
【解析】可设，根据及即可得出，，联立即可求出x，y，即得出向量的坐标；可先求出，根据A、B、C三点共线可得出，从而得出，解出m即可．
考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．
18.已知函数是定义在R上的奇函数，且．求函数的解析式；判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明．
【答案】解：
根据题意，函数是定义在R上的奇函数，
则，则，
又由，则，解可得，
则，由的结论，在上为增函数，
证明：
，
则
又由，
则，，
则有，则函数在上为增函数．
【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，则，又由，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；根据题意，设，由作差法分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．
19.已知函数求函数的最小正周期及单调递减区间；先列表，并用描点法作出函数在上的简图．
【答案】本题满分为12分
解：
的最小正周期为；分
令，，解得：
，，
可得单调递减区间为：
，．列表如下：
0
x
y
0
2
0
0
连线成图如下：
【解析】利用正弦函数的图象和性质即可求出的最小正周期与单调减区间；列表如下，作出它在上的简图即可；
本题主要考查了五点法作函数的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．
20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知两类产品各投资1万元时的收益分别为万元和万元，如图：
Ⅰ分别写出两类产品的收益万元与投资额万元的函数关系；Ⅱ该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：
怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
【答案】解：
Ⅰ投资债券类稳健型产品的收益满足函数：
，
由题知，当时，，则，即，
投资股票类风险型产品的收益满足函数：
，
由题知，当时，，则，即，Ⅱ设投资债券类稳健型产品x万元，则投资股票类风险型产品万元，
由题知总收益，
令，则，，
当，即时，万元
答：
投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．
【解析】Ⅰ由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；Ⅱ由Ⅰ的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元，则投资股票类风险型产品万元这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．
函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．
21.已知，，函数．求函数在区间上的最大值和最小值；若，，求的值；若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．
【答案】解：
，，
，，，函数在区间上的最大值2，最小值；若，则，，，，
，
令，，
可得，
令可得，，，在区间上是单调递增函数，，解可得，．
【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求由，结合正弦函数的性质可求函数在区间上的最大值及最小值；若，可求，结合同角平方关系可求，然后由，利用两角差的余弦公式即可求解由，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间进行比较可求．
本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．
22.已知函数在区间上有最大值4和最小值设．求实数a，b的值；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】解：
函数，
因为，所以在区间上是减函数，
故，，
解得，；由即为，
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