第章随机变量的数字特征.ppt

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第一节第一节随机变量及其分布随机变量及其分布第二节第二节随机随机变量函数的分布量函数的分布第三节第三节随机变量的数字特征随机变量的数字特征第四节第四节几种重要的离散型分布及数字特征几种重要的离散型分布及数字特征第五节第五节几种重要的几种重要的连续型分布及数字特征型分布及数字特征第二章随机变量的分布和数字特征1第三节随机变量的数字特征一、数学期望2一、数学期望一、数学期望例例1：

一个年级有：

一个年级有100名学生，年龄统计表为：

名学生，年龄统计表为：

求该年级学生平均年龄。

求该年级学生平均年龄。

年龄年龄X1718192021人数人数22305610频率频率f3一、数学期望一、数学期望由例由例1知：

平均年龄是以频率为权重的加权算术知：

平均年龄是以频率为权重的加权算术平均数：

平均数：

而频率而频率fk的稳定值是概率的稳定值是概率pk，对随机变量，对随机变量X而而言，把频率言，把频率fk换成概率换成概率pk，则，则R.V.X的的以概率以概率为权重的加权算术平均数是：

为权重的加权算术平均数是：

41离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定定义2.6：

设R.V.X的概率函数的概率函数为PX=xk=pk，（，（k=1,2,）则称之为则称之为R.V.X的数学期望。

的数学期望。

记作记作EX，即，即（它是以概率它是以概率为权重的加重的加权算算术平均数平均数）注意：

注意：

=1若若级数数不不绝对收敛，则称绝对收敛，则称X的数学期望不存在。

的数学期望不存在。

Xx1x2xnPp1p2pn若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，51离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望例例2：

甲乙二人在同：

甲乙二人在同样的条件下的条件下进行射行射击，他，他们各自命中的各自命中的环数分数分别是随机是随机变量量X和和Y，且有下面的概率分布：

，且有下面的概率分布：

解：

解：

EX=10=100.6+0.6+990.1+0.1+880.05+0.05+770.05+0.05+660.05+0.05+550.05+0.05+000.1=0.1=8.28.2EY=10=100.1+0.1+990.3+0.3+880.4+0.4+770.1+0.1+660.05+0.05+550.05+0.05+000=0=8.158.15X10987650P0.60.10.050.050.050.050.1分别求分别求甲乙二人命中甲乙二人命中环数的数学期望。

数的数学期望。

Y10987650P0.10.30.40.10.050.0506*例例3：

设随机随机变量量X的概率分布表的概率分布表为：

求证求证EX不存在，其中不存在，其中72连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义2.7：

设：

设R.V.X的的密度函数为密度函数为f（x）即即Xf（x），若广义积分若广义积分绝对收敛，绝对收敛，则称之为则称之为注意：

注意：

如果如果R.V.X的的数学期望数学期望EX存在，则存在，则EX是个常数。

是个常数。

R.V.X的的数学期望。

记作数学期望。

记作EX，即，即若若积分分发散散，则称，则称X的数学期望不存在。

的数学期望不存在。

83常用分布的数学期望常用分布的数学期望两点分布（两点分布（0-1分布）分布）特特别地：

退化分布地：

退化分布X01P1-ppEX=0（1-p）+1p=pXCP1PX=C=1，EX=EC=C离散型均匀分布离散型均匀分布PX=xk=1/n，（，（k=1,2,n）93常用分布的数学期望常用分布的数学期望几何分布几何分布PX=k=（1-p）k-1p=qk-1p，（，（k=1,2,n,）也可用初等的方法：

也可用初等的方法：

EX=p+2pq+3pq2+4pq3+npqn-1+qEX=pq+2pq2+3pq3+（n-1）pqn-1+-）-）（1-q）EX=p+pq+pq2+pq3+pqn-1+103常用分布的数学期望常用分布的数学期望泊松泊松（Poisson）分布分布其中其中l0l0（k=0，1，2，）令令k-1=m注意：

注意：

所以所以EX=ll见P86P8711补充例题补充例题产品等级产品等级一一二二三三废品废品产值产值X64.840概率概率P0.60.20.10.1平均产值平均产值EX=60.6+4.80.2+40.1+00.1=4.96（元元）一批产品的一、二、三等品率及废品率分别是一批产品的一、二、三等品率及废品率分别是60%、20%、10%、10%，各等级产品的产值分别为，各等级产品的产值分别为6元、元、4.8元、元、4元和元和0元，求该批产品的平均产值。

元，求该批产品的平均产值。

解：

设产值为解：

设产值为X，列表可得，列表可得123常用分布的数学期望常用分布的数学期望均匀分布均匀分布XUa,b见P69例4133常用分布的数学期望常用分布的数学期望指数分布指数分布143常用分布的数学期望常用分布的数学期望拉普拉斯分布拉普拉斯分布153常用分布的数学期望常用分布的数学期望柯西分布柯西分布不存在不存在16寿命寿命X设产值为设产值为Y例5（原题参看P69）产品等级产品等级废品废品次品次品二二等品等品一一等品等品寿命寿命XX0l0（k=0，1，2，）令令k-1=m注意注意：

所以所以DX=EX2-（EX）2=ll=EX=ll参见P8742均匀分布均匀分布XUa,b见例124常用分布的方差常用分布的方差DX=EX2-（EX）243指数分布指数分布4常用分布的方差常用分布的方差DX=EX2-（EX）2见P9644拉普拉斯分布拉普拉斯分布4常用分布的方差常用分布的方差DX=EX2-（EX）2=2见习题4245柯西分布柯西分布不存在不存在4常用分布的方差常用分布的方差期望和方差都不存在期望和方差都不存在46例例14例题例题EX2=DX+（EX）2=0.4又知又知EX=0.5，DX=0.15，求，求a，b，c联立联立，求得，求得a=12，b=-12，c=3471.原原点点矩矩：

对对于于整整数数k，若若EXk存存在在，则则称称mmk=EXk为为随随机机变变量量X的的k阶阶原点矩原点矩，k=1,2,k=1时，时，mm1=EX2.中中心心矩矩：

对对于于整整数数k,若若E（X-EX）k存存在在，则则称称ssk=E（X-EX）k为为随机变量随机变量X的的k阶阶中心矩中心矩，k=1,2,k=2时，时，ss2=E（X-EX）2=DX3.关关于于点点a的的k阶阶矩矩：

对对于于整整数数k,若若E（X-a）k存存在在，则则称称E（X-a）k为随机变量为随机变量X的的关于点关于点a的的k阶矩阶矩，k=1,2,显然显然a=0时，为时，为k阶阶原点矩；原点矩；a=EX时，为时，为k阶阶中心矩中心矩。

三、矩三、矩48定定理理2.3：

设设随随机机变变量量X的的期期望望EX和和方方差差DX都都存存在在，则则e0e0都有都有*四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式49课后作业：

课后作业：

P111P112：

A（3445）35、36、39、41、42、4450