第9讲五年级数学容斥问题 彭仁鑫 学案.docx

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第9讲五年级数学容斥问题彭仁鑫学案

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

课时数：

学员姓名：

辅导科目：

学科教师：

授课类型

T（容斥问题）

C（容斥问题）

T（容斥问题）

授课日期及时段

教学内容

1、周期问题都有哪些形式出现？

2、解决周期问题要注意些什么？

一、同步知识梳理

容斥原理：

设A、B是两类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应的量为b,A、B的重叠部分的对应量为ab,则A、B两类量的总和是：

a+b-ab

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B=A+B-A∩B）。

设A、B、C是三类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应的量为b,C对应的量为c,A、B的重叠部分的对应量为ab,、B、C的重叠部分的对应量为bc、A、C的重叠部分的对应量为ac,A、B、C的重叠部分的对应量为abc,则A、B、C三类量的总和是：

a+b+c-ab-ac-bc+abc

容斥原理基本精神就是：

减足了再加。

加足了再减。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

二、同步题型分析

例1、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

例2、在一次运动会上，某班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，这个班有多少人？

例3、王老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对，第二题有12人未做对，两题都对的有20人，第二题对而第一题不对的有几人？

两题都不对的有几人？

例4、100名学生，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么音乐、体育都爱好的至少有几人？

至多有几人？

例5、张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？

例6、学校运动会上，六

（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六

（1）班同学一共有多少人参加了比赛？

三项比赛都参加的同学至少有多少人？

三、课堂达标检测

1、47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人．问两门都得100分的有多少人？

2、三（3）班学生去嘟嘟城游玩，每人至少体验一种职业，其中体验当医生的有35人，体验当消防员的有21人，两种职业都体验的有17人，三（3）班一共有多少人？

3、某班共有48人，其中27人会游泳，32人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

4、五年级数学兴趣小组中，有25人不是四年级的学生，有26人不是五年级的学生，四、五年级参加数学兴趣小组的共有33人．参加学校数学兴趣小组的共有多少人？

5、有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试，答对A卷得60分，答对B卷得40分，已知考完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷都答错了，这次考试得40分的有多少人？

得60分的有多少人？

得100分的有多少人？

一、专题精讲

例1、有2000盏灯亮着，各有一根拉线开关，把这些开关编号为1，2，3，4，5，……，2000，有三位同学，第一位同学把编号为2和2的倍数的开关均拉一下；第二位同学把编号为3和3的倍数的开关均拉一下，第三位同学把编号为5和5的倍数的开关均拉一下。

这时，2000盏灯中还有（）盏亮着。

例2、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？

例3、在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。

如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

二、专题过关

1、三年级二班有25人，许多同学参加了课外小组．参加音乐组的有12人，参加美术组的有10人，两个组都没参加的有6人．既参加音乐组又参加美术组的有多少？

2、某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：

数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：

数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：

89人．问这个小学参加竞赛的总人数有多少人？

3、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有

人，手中有黄旗的共有

人，手中有蓝旗的共有

人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有

人．而手中只有红、黄两种小旗的有

人，手中只有黄、蓝两种小旗的有

人，手中只有红、蓝两种小旗的有

人，那么这个班共有多少人？

4、把两根木棍叠放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米，另一根木棍长多少厘米？

三、学法提炼

1、专题特点：

两个量或三个量的容斥问题。

2、解题方法：

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：

（其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”读作“交”，相当于中文“且”的意思．）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:

表示小圆部分，

表示大圆部分，

表示大圆与小圆的公共部分，记为：

，即阴影面积．图示如下:

表示小圆部分，

表示大圆部分，

表示大圆与小圆的公共部分，记为：

，即阴影面积．

1．先包含——

重叠部分

计算了

次，多加了

次；

2．再排除——

把多加了

次的重叠部分

减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合

的并集

的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：

分别计算集合

的元素个数，然后加起来，即先求

（意思是把

的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：

从上面的和中减去交集的元素个数，即减去

（意思是“排除”了重复计算的元素个数）．

3、注意事项：

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数．

一、能力培养

综合题1：

在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？

综合题2：

分母是1001的最简真分数有多少个.

综合题3：

某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.

二、能力点评

学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。

学法升华

一、知识收获

两量重叠与三量重叠的容斥问题。

二、方法总结

利用交集法分析解题的基本规律：

1.设A、B是两类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应的量为b,A、B的重叠部分的对应量为ab,则A、B两类量的总和是：

a+b-ab

2.设A、B、C是三类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应的量为b,C对应的量为c,A、B的重叠部分的对应量为ab,、B、C的重叠部分的对应量为bc、A、C的重叠部分的对应量为ac,A、B、C的重叠部分的对应量为abc,则A、B、C三类量的总和是：

a+b+c-ab-ac-bc+abc

交集法基本精神就是：

减足了再加。

加足了再减。

用交集法解题实质上是用集合的思想考虑数学问题，利用正确的图形直观表示题中条件，有助于我们对问题综合思考。

三、技巧提炼

容斥是数学中的重要关系，在杯赛中，经常会在综合问题中涉及容斥原理，比如容斥与排列组合，容斥与数论，容斥与最值。

所以，大家一定要将本讲内容“吃透”、“练熟”，不但要会用公式，更要熟练掌握求三元图中某块或某几块“面积”的技巧，这样，在杯赛中，遇到综合问题，才不会因为加入了容斥原理而“晕掉”。

课后作业

1、某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。

问既会游泳又会体操的有多少人？

2、在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？

3、某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：

短跑

游泳

篮球

短跑及游泳

游泳及篮球

短跑及篮球

三项

17人

18人

15人

6人

6人

6人

2人

问这个班有多少名学生？

4、有100位学生回答A、B两题。

A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？

5、求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.

6、夏日的一天,有10个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可；有5个人要咖啡；有5个人要果汁；有3个人既要可可又要果汁；有2个人要可可又要咖啡；有3个人要咖啡又要果汁；有1个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要。

1、在自然数1至100中，有多少个奇数？

多少个偶数？

2、想一想，如果按照奇数与偶数分类成两大类的话，那这两类数的运算结果都有哪些情况？