章函数的极限.ppt
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第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限有人说，极限的思想是微积分的灵魂。
这句话形象地表明了极限概念的重要性。
微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限概念的基础上。
如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念。
本章主要介绍极限的概念和计算。
理解极限概念，灵活的运用各种方法计算极限是本章的重点。
2.12.1极限的概念极限的概念极限的概念极限的概念2.22.2无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2.32.3极限的计算极限的计算极限的计算极限的计算2.42.4用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限2.52.5用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.12.12.12.1极限的概念极限的概念极限的概念极限的概念函数的极限要研究：
随着自变量的变化，函数的变化趋势。
自变量的变化方式有六种，分别是：
其中：
表示x从x0的两侧趋于x0，读作“当x趋于x0”；表示x从x0的右侧趋于x0，读作“当x趋于x0右”；表示x从x0的左侧趋于x0，读作“当x趋于x0左”。
相应的，函数的极限也就有六种情况。
我们重点介绍两种情况，其余情况只作简单介绍。
第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.1.12.1.1xxxx00时，函数时，函数时，函数时，函数ff（xx）的极限的极限的极限的极限xx0时函数f（x）的极限表示，随着x无限趋于x0，函数f（x）的变化趋势。
定义定义定义定义2.1.12.1.1若随着x无限趋于x0，f（x）无限趋于常数A（见图2.1-1），图2.1-12.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限则称当x趋于x0时，f（x）的极限是A，记为当xx0，f（x）A或上式中的lim是英语limit（极限）一词的缩写。
上式读作“当x趋于x0时，f（x）的极限是A”。
例例例例2.1.12.1.1,求。
解：
解：
解：
解：
例例例例2.1.22.1.2,求。
解：
解：
解：
解：
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限解：
解：
解：
解：
例例例例2.1.22.1.2,求。
见图2.1-2。
图2.1-2以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式。
例如，表示当x2时，函数f（x）=2x2+2的极限。
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限定义定义定义定义2.1.22.1.2当x从x0的右侧趋于x0时，若f（x）无限趋于常数A（见图2.1-3），称f（x）在x0处的右极限为A，记为或f（x0+0）=A图2.1-32.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限将定义2.1.2中的“右”改为“左”就给出左极限的定义（见图2.1-4）。
f（x）在x0处的左极限记为或f（x0-0）图2.1-42.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限这样，函数在一点x0处的极限就有三种情况：
x从右侧趋于x0（见图2.1-3），x从左侧趋于x0（见图2.1-4），x从x0两侧以任意方式趋于x0（见图2.1-1）。
下述定理指出了三种情况的关系。
定理定理定理定理2.1.12.1.1即，函数在x0处极限存在的充要条件是：
左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等。
当函数在x0处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述定理确定函数在x0处的极限。
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例例例2.1.42.1.4,求。
解：
解：
解：
解：
。
所以不存在。
图2.1-5见图2.1-5。
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例例例2.1.52.1.5,求。
解：
解：
解：
解：
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.1.22.1.2xx时，函数时，函数时，函数时，函数ff（xx）的极限的极限的极限的极限定义定义定义定义2.1.32.1.3x时函数f（x）的极限就是：
随着|x|无限变大，函数f（x）的变化趋势。
若随着|x|无限变大，f（x）无限趋于常数A，见图2.1-6。
则称当时，f（x）的极限是A，记为当，f（x）A或图2.1-62.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例例例2.1.62.1.6,求。
解：
解：
解：
解：
。
见图2.1-6。
例例例例2.1.72.1.7,求。
解：
解：
解：
解：
。
图2.1-7见图2.1-7。
2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限类似的，当x朝正方向无限变大时，若f（x）无限接近于常数A，则称当时，f（x）的极限是A，记为当x朝着负方向无限变大时,若f（x）无限接近于常数A，则称当时，f（x）的极限是A，记为2.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.1.32.1.3数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限设数列的通项公式为y（n）=f（n）数列可以看作是定义在正整数集合上的函数。
当函数的自变量是正整数时，人们习惯于把自变量n写成下标，即yn=f（n）例如，对于数列，自变量n的变化方式只有一种，即n+，但人们习惯于记成n，由于没有其它情况，这样记也不会产生混乱。
例例例例2.1.82.1.8例例例例2.1.92.1.92.12.1第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.22.2无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2.2.12.2.1无穷小量无穷小量无穷小量无穷小量定义定义定义定义2.2.12.2.1：
函数（包括数列）的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋于0的量叫无穷小量；一是趋于，趋于的量叫无穷大量。
对无穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。
若则称当xx0时，f（x）为无穷小量,即：
极限为0的量叫无穷小量。
对于自变量的其它几种变化过程，可类似地叙述上述定义。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例如：
注1对于函数f（x）0，由于在自变量的任何变化过程中，都有lim0=0，所以，在任何变化过程中，都可以看作是无穷小量。
注2说一个变量f（x）是无穷小量，必须指明自变量的变化过程，不指明自变量的变化过程，而说f（x）为无穷小量，是没有意义的。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例如：
当x-时ex为无穷小量；当x+时ex为无穷大量。
若只说“ex为无穷小量”，显然是没有意义的。
无穷大量的概念将在下面2.2.3段中给出。
无穷小量有下述定理所说的运算性质：
定理定理定理定理2.2.12.2.1：
（1）.有限个无穷小量的和，仍是无穷小量；
（2）.有限个无穷小量的积，仍是无穷小量；（3）.有界量与无穷小量的积，仍是无穷小量。
注意：
限定词“有限个”是必须有的，不能去掉，没有了“有限个”这个限定词，结论一般不成立。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.22.2.2无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶定义定义定义定义2.2.22.2.2：
设,即当xx0时,f（x）,g（x）都是无穷小量若称：
当xx0时，f（x）是比g（x）高阶的无穷小量，记成f（x）=o（g（x）（当xx0）通常也顺序读作：
f（x）等于小欧g（x）。
若称：
当xx0时，f（x）是与g（x）同阶的无穷小量。
记作f（x）=O（g（x）（xx0）读作“f（x）等于大欧g（x）”。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限若称：
当xx0时，f（x）是与g（x）等价的无穷小量。
记作f（x）g（x）（当xx0）。
例如：
因为所以当xx0时，x3是比x2高阶的无穷小量。
因为所以当x0时，4x2+x3是与x2为等价的无穷小量。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.32.2.3无穷大量无穷大量无穷大量无穷大量定义定义定义定义2.2.32.2.3：
当xx0，若f（x）的绝对值|f（x）|可以无限变大，称当xx0时，f（x）为无穷大量，记作见图2.2-1、图2.2-2。
图2.2-2图2.2-12.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限注意：
注意：
上式不能说成是“f（x）的极限是”，因为函数的极限总是指“一个数”，而不是一个数。
当xx0，|f（x）|，是极限不存在的一种情况。
类似地可说以及自变量的其它几种变化过程的情况。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限无穷大量有如下运算性质：
（1）.两个正无穷大量的和，仍为正无穷大量；
（2）.两个负无穷大量的和，仍为负无穷大量。
但不能说：
两个无穷大量的和，仍为无穷大量例如,当两个无穷大量的方向相反,其和可能不再是无穷大量。
例如，当x时，f（x）与g（x）都为无穷大量，但f（x）+g（x）却为无穷小量。
（3）.两个无穷大量的积仍为无穷大量。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.42.2.4无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系定理定理定理定理2.2.22.2.2：
定理定理定理定理2.2.32.2.3：
下述两条定理，是常用得到的，其结论也很自然。
无穷大量的倒数，是无穷小量；无穷小量的倒数，是无穷大量。
符号“”读作“当且仅当”。
于是，若则f（x）=A+其中，=f（x）A（当xx0时）为无穷小量。
利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。
2.22.2第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.32.3极限的计算极限的计算极限的计算极限的计算2.3.12.3.1用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限定理定理定理定理2.3.12.3.1：
极限的计算是微积分的基本技能。
极限计算有很多方法和技巧，应该注意不断地总结和归纳，以不断提高极限计算的能力。
下述定理给出了极限的四则运算法则：
设两个极限存在，则：
（1）.
（2）.（3）.当2.32.3第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限证：
只证明第
（2）条，其余两条可类似证明。
=0设要证只需证。
这由下面的推导可见。
证毕2.32.3第二章第二章第二章第二章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是都存在，以及商的极限中，。
忽视了这些条件，计算就可能出问题。
在这些条件都满足的前提下，这个定理可简单地说成：
和、差、
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