材料力学第七章_精品文档.ppt

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材材料料力力学学电电子子教教案案第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论7-1概述概述7-2平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力7-3空间应力状态的概念空间应力状态的概念7-4应力与应变间的关系应力与应变间的关系7-5空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度7-6强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力7-8各种强度理论的应用各种强度理论的应用*7-7莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力1材材料料力力学学电电子子教教案案7-1概述概述在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：

一点处不同方位截面上应力的集合（总体）称之为一点处的应力状态。

由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态（stateofstress）可用一个单元体（element）及其上的应力来表示。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论2材材料料力力学学电电子子教教案案单向应力状态第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论3材材料料力力学学电电子子教教案案纯剪切应力状态第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论4材材料料力力学学电电子子教教案案研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：

1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服（yield）现象是由于在切应力最大的45斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45方向拉应力最大从而使材料发生断裂（fracture）所致。

2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设（称为强度理论）（theoryofstrength,failurecriterion）的基础。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论5材材料料力力学学电电子子教教案案本章将研究.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态（空间应力状态）的概念；.平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系广义胡克定律（generalizedHookeslaw），以及这类应力状态下的应变能密度（strainenergydensity）；.强度理论。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论6材材料料力力学学电电子子教教案案7-2平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。

等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态（参见3-4的“.斜截面上的应力”）。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论7材材料料力力学学电电子子教教案案对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b（立体图）和图c（平面图），本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。

（a）（c）（b）第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论8材材料料力力学学电电子子教教案案平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面（图b）上的应力。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论9材材料料力力学学电电子子教教案案.斜截面上的应力第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义，且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa和切应力ta均为正值，即sa以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。

10材材料料力力学学电电子子教教案案由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dAcosa，而底面bf的面积为dAsina。

图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。

体元的平衡方程为第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论11材材料料力力学学电电子子教教案案需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。

也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。

由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a斜截面上应力sa，ta的公式：

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论12材材料料力力学学电电子子教教案案.应力圆为便于求得sa，ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆（莫尔圆）（Mohrscircleforstresses）来表示。

先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论13材材料料力力学学电电子子教教案案而这就是如图a所示的一个圆应力圆，它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。

OC（a）第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论14材材料料力力学学电电子子教教案案第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论OC（b）图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty（取ty=-tx）定出点D2，然后连以直线，以它与s轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。

15材材料料力力学学电电子子教教案案值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa，ta计算公式中以2a为参变量这个前提。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论OC（b）16材材料料力力学学电电子子教教案案利用应力圆求a斜截面（图a）上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。

现证明如下（参照图b）：

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论17材材料料力力学学电电子子教教案案E点横座标第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论18材材料料力力学学电电子子教教案案E点纵座标第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论19材材料料力力学学电电子子教教案案讨论讨论:

1.表达图示各单元体a斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？

这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论20材材料料力力学学电电子子教教案案2.对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随a角变化的应力圆有什么特点？

a=45两个斜截面上的sa,ta分别是多少？

二向等值压缩二向等值拉伸纯剪切第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论21材材料料力力学学电电子子教教案案思考思考:

已知一点处两个不相垂直截面上的应力（图a），如图b所示为表达其与纸面垂直的一组斜截面上应力而作的应力圆是否正确？

理由是什么？

（a）C（b）第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论22材材料料力力学学电电子子教教案案.主应力与主平面第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆（图b）可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直（由A1和A2两点所夹圆心角为180可知），且这两个截面上均无切应力。

23材材料料力力学学电电子子教教案案第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论一点处切应力等于零的截面称为主平面（principalplane），主平面上的正应力称为主应力（principalstress）。

据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。

24材材料料力力学学电电子子教教案案在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。

对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。

图b所示应力圆中标出了s1和s2，而s3=0。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论25材材料料力力学学电电子子教教案案当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论26材材料料力力学学电电子子教教案案现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。

故得第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论27材材料料力力学学电电子子教教案案第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论或即图c示出了主应力和主平面的方位。

28材材料料力力学学电电子子教教案案由于主应力是按其代数值排序记作s1，s2，s3的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是s1，s2，所以应该把式中的s1，s2看作只是表示主应力而已。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论29材材料料力力学学电电子子教教案案例题例题7-2简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。

试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点（图c）处的主应力。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论30材材料料力力学学电电子子教教案案解：

解：

焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端（图b中点f）处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的a点（图c）代替f点。

正因为如此，本例题中要求的也是a点处主应力。

梁的自重不计。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论31材材料料力力学学电电子子教教案案1.此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。

危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论32材材料料力力学学电电子子教教案案2.相关的截面几何性质为第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论33材材料料力力学学电电子子教教案案3.危险截面上a点和b点处的应力：

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论34材材料料力力学学电电子子教教案案4.从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。

据此绘出的应力圆如图g和i。

yx（f）（h）第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论35材材料料力力学学电电子子教教案案对于点as1和s2的方向如图f中