数值计算方法ch223_精品文档.ppt

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2.3舍入误差对解的影响,本节研究线性代数方程组解的误差。

衡量数的误码率差用到绝对值；方程组的解是向量，衡量其误差，自然需推广绝对值的概念。

2.3.1各量和矩阵的范数,众所周知,数的绝对值是的函数:

具有以下三性质:

推广到向量,具有如下类似性质的函数称为向量度的范数或模或长度:

几何上三角不等式表示：

在以向量、及其和构成的三角形中，一边之长不超过另两边边长之和。

由此易见，,从而,表示以、和为边的三角形中，一边之长不小于另两边边长之差。

常用向量范数有3种，即,分别称为1范数、2范数、无穷大范数。

不难验证它们具有性质

（1）和

（2）。

这里只对范数验证性质（3）。

为此只需证,或,最后不等式称柯西（Cauchy）不等式。

注意对任意实数,由二次式的判别式，便可推出柯西不等式。

因此对性质（3）成立。

对于阶方阵，具有如下4种性质的函数称为矩阵的范数：

例如矩阵函数,容易验证它具有上述种性质，便是一种矩阵范数，称为矩阵的范数，简称范数。

常用矩阵范数是如下三种范数：

（26）,其中表示矩阵的谱半径，即特征值绝对值的最大者。

三种范数分别称为1范数或列范数，无穷大范数或行范数，2范数或谱范数。

可以证明，矩阵的这三种范数还具有以下3种性质：

（满足性质

（1）的矩阵范数称为相容范数）,（27）,这里只证性质（3）。

假定不可逆，则线性齐次方程组有非零解，从而,矛盾。

这说明可逆，存在。

于是,从而知,证毕,2.3.2舍入误差对解的影响,用直线法解线性方程组，理应得出准确解。

但因存在舍入误差，只能得出近似解，或者说近似方程组的准确解。

近似矩阵和近似向量的误差,同计算机运算和精度有关。

计算精度越高，和必然越小。

下面估计和很小时解的误差。

和分别满足方程组,两式相减，可得,当很小时很小，可逆，,注意,令,此时表明，很小时解的相对误差约为和相对误差的倍；很大时即使和的相对误差很小，解的相对误差也可能很大。

数反映了舍入误差对解可能影响的大小，同方程组本身系数矩阵有关，因此称为方程组的条件数。

它的值随所取范数不同而略有不同；但对矩阵的相容范数，均有，均可粗略说是误差的放大倍数。

值很大的方程组称病态方程组，值较小的方程组称良态方程组。

如下方程组都是病态方程组：

对第一个方程组，,如在四位计算机上用列主元法求解，将得到解，而与真解相差甚远。

对第二个方程组,实际问题很难计算条件数。

下列现象可能表示方程组是病态的：

（1）系数矩阵的行或列近似线性相关。

（2）系数矩阵的元素，数量级相差悬殊。

（3）将系数矩阵的元素稍加改变，得出的解变化较大。

（4）采用选主元的求解过程中，主元数量级相差悬殊。

（5）求出的解与预期的解相差较远。

为准确求解病态方程组，可以采取以下措施，减少舍入误差影响：

采用高精度计算；采用稳定性好的算法，如全主元法；采取平衡措施；迭代改善计算解。

所谓平衡措施，就是将系数矩阵的各行除以该行绝对值最大的元素。

例如上述第一个方程组的系数矩阵，经平衡后变为,方程组变为良态。

实际方程组平衡后未必变为良态，所以为避免平衡时除法平生误差，通常并不真正执行平衡，只是选主元时参照平衡措施，将选主元的原则，由元素绝对值最大，改为除以该行绝对值最大,素后绝对值最大者。

按此原则选主元求解上列第一个病态方程组，在4位机上可得解，接近真解。

迭代改善计算解，目的是设法求修改量，使满足原方程组，即,实际计算时方程组不大可能准确求解，从而必须反复解和修改，使逐渐接近真解。

这过程称为迭代改善。

为节省计算量，最好事先角分解，反复解改为反复解。

为保证计算精度，计算残矢量最好采用高精度计算。

迭代改善过程可表述如下：