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1、2.3 舍入误差对解的影响,本节研究线性代数方程组解的误差。衡量数的误码率差用到绝对值；方程组的解是向量，衡量其误差，自然需推广绝对值的概念。,2.3.1 各量和矩阵的范数,众所周知,数 的绝对值 是 的函数:,具有以下三性质:,推广到向量,具有如下类似性质的函数 称为向量度 的范数或模或长度:,几何上三角不等式表示：在以向量、及其和 构成的三角形中，一边之长不超过另两边边长之和。由此易见，,从而,表示以、和 为边的三角形中，一边之长不小于另两边边长之差。常用向量范数有3种，即,分别称为1范数、2范数、无穷大范数。不难验证它们具有性质(1)和(2)。这里只对范数 验证性质(3)。为此只需证,或

2、,最后不等式称柯西(Cauchy)不等式。注意对任意实数,由 二次式的判别式，便可推出柯西不等式。因此对 性质(3)成立。,对于 阶方阵，具有如下4种性质的函数 称为矩阵 的范数：,例如矩阵函数,容易验证它具有上述种性质，便是一种矩阵范数，称为矩阵 的 范数，简称 范数。常用矩阵范数是如下三种范数：,（26）,其中 表示矩阵 的谱半径，即 特征值绝对值的最大者。三种范数分别称为1范数或列范数，无穷大范数或行范数，2范数或谱范数。可以证明，矩阵的这三种范数还具有以下3种性质：(满足性质(1)的矩阵范数称为相容范数),（27）,这里只证性质（3）。假定 不可逆，则线性齐次方程组 有非零解，从而,矛

3、盾。这说明 可逆，存在。于是,从而知,证毕,2.3.2 舍入误差对解的影响,用直线法解线性方程组，理应得出准确解。但因存在舍入误差，只能得出近似解，或者说近似方程组 的准确解。近似矩阵 和近似向量 的误差,同计算机运算和精度有关。计算精度越高，和 必然越小。下面估计 和 很小时解的误差。和 分别满足方程组,两式相减，可得,当 很小时 很小，可逆，,注意,令,此时表明，很小时解的相对误差约为 和 相对误差的 倍；很大时即使 和 的相对误差很小，解的相对误差也可能很大。数 反映了舍入误差对解可能影响的大小，同方程组本身系数矩阵有关，因此称为方程组 的条件数。它的值随所取范数不同而略有不同；但对矩阵

4、的相容范数，均有，均可粗略说是误差的放大倍数。值很大的方程组称病态方程组，值较小的方程组称良态方程组。如下方程组都是病态方程组：,对第一个方程组，,如在四位计算机上用列主元法求解，将得到解，而与真解 相差甚远。对第二个方程组,实际问题很难计算条件数。下列现象可能表示方程组是病态的：（1）系数矩阵的行或列近似线性相关。（2）系数矩阵的元素，数量级相差悬殊。（3）将系数矩阵的元素稍加改变，得出的解变化较大。（4）采用选主元的求解过程中，主元数量级相差悬殊。（5）求出的解与预期的解相差较远。为准确求解病态方程组，可以采取以下措施，减少舍入误差影响：采用高精度计算；采用稳定性好的算法，如全主元法；采取

5、平衡措施；迭代改善计算解。所谓平衡措施，就是将系数矩阵的各行除以该行绝对值最大的元素。例如上述第一个方程组的系数矩阵，经平衡后变为,方程组变为良态。实际方程组平衡后未必变为良态，所以为避免平衡时除法平生误差，通常并不真正执行平衡，只是选主元时参照平衡措施，将选主元的原则，由元素绝对值最大，改为除以该行绝对值最大,素后绝对值最大者。按此原则选主元求解上列第一个病态方程组，在4位机上可得解，接近真解。迭代改善计算解，目的是设法求修改量，使 满足原方程组，即,实际计算时方程组 不大可能准确求解，从而必须反复解 和修改，使 逐渐接近真解。这过程称为迭代改善。为节省计算量，最好事先角分解，反复解 改为反复解。为保证计算精度，计算残矢量 最好采用高精度计算。迭代改善过程可表述如下：,