计算机应用基础-3-线性与非线性方程组求解_精品文档.ppt

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第三章代数方程（组）的Matlab求解,3.1线性方程（组）求解一方程组解个数的判定二高斯消元法求解三LU矩阵分解求解四Jacobi迭代求解五调用内部函数求解3.2非线性方程（组）求解,3.1线性方程（组）求解,一、方程组解个数及求解,Ax=B,对于矩阵,3.1线性方程（组）求解,解的判定矩阵,又叫增广矩阵,线性方程组解的判定定理:

（1）当m=n且rank（A）=rank（C）=n时方程组有唯一解x=A-1Bx=inv（A）*B

（2）当rank（A）=rank（C）=rn时,方程组有无穷多解:

Z=null（A）%求解A矩阵的化零矩阵Z=null（A,r）%求解A矩阵的化零矩阵的规范形式,若rank（A）=rank（C）,只能用Moore-penrose广义逆求解方程的最小二乘解为:

x=pinv（A）*B只能使误差范数测度取最小值。

3.1线性方程（组）求解,【例3-1】求解,X=-1.80002.40001.8667-1.26673.8667-3.2667-2.13332.7333,3.1线性方程（组）求解,检验：

norm（A*x-B）=7.47e-015,1234514321X=42132433413224,A=1234;4321;1324;4132;B=51;42;33;24;X=inv（A）*B,X1=-9/5,12/528/15,-19/1558/15,-49/15-32/15,41/15,3.1线性方程（组）求解,精确解：

x1=inv（sym（A）*B,检验：

norm（double（A*x1-B）=0,【例3-2】,A=1234;2211;2468;4422B=1;3;2;6;C=AB;rank（A）,rank（C）,rank（A）=rank（C）=24,3.1线性方程（组）求解,123412211X=32468244226,判定可解性：

Z=null（A,r）,Z=2.00003.0000-2.5000-3.50001.0000001.0000,X0=0.9542;0.7328;-0.0763;-0.2977,X0=pinv（A）*B,3.1线性方程（组）求解,解出规范化零空间：

得出一个特解：

3.1线性方程（组）求解,解出全部解：

230.9542X=a1-2.5+a2-3.5+0.732810-0.076301-0.2977,验证得出的解：

a1=randn

（1）;a2=rand

（1）;x=a1*Z（:

1）+a2*Z（:

2）+x0norm（A*x-B）,【例3-3】,3.1线性方程（组）求解,123412211X=22468344224,B=1:

4;C=AB;rank（A）,rank（C）,最小二乘解：

x=pinv（A）*B,检验：

norm（A*x-B）=7.47e-015,二高斯消去法求解线性方程组高斯消去法它不需要方程组解的初值，也不需要重复迭代计算，它通过消去和回代两个过程就可以直接求出方程组的解。

和前面的迭代法一样，在计算过程中，也有可能发散而得不到方程组的解，但可以通过一些其它方法解决。

设一个n元方程组，以矩阵形式表示为：

3.1线性方程（组）求解,1消元过程,

（1）令，进行矩阵的代数运算，可消去第一列的元素（2n）,

（2）同理，可消去第二列的元素（3n）,（3）可得任意步消元公式，假设第k步，有：

3.1线性方程（组）求解,（4）经过n-1步消元后，系数矩阵称为上三角矩阵,3.1线性方程（组）求解,回归过程：

（1）首先解最后一个方程

（2）依次回代，可得到任意公式:

3.1线性方程（组）求解,高斯消元法通用程序,functionx=UpTriangleFun（A,b）%求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组中的常数向量%x为线性方程组中的解n=size（A）;N=n

（1）;fork=N:

-1:

1if（kN）s=A（k,（k+1）:

N）*x（k+1）:

N,1）;elses=0;endx（k,1）=（b（k）-s）/A（k,k）;end,3.1线性方程（组）求解,functionx=DownTriangleFun（A,b）%求下三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组中的常数向量%x为线性方程组中的解n=size（A）;N=n

（1）;fork=1:

Nif（k1）s=A（k,1:

（k-1）*x（1:

（k-1）,1）;elses=0;endx（k,1）=（b（k）-s）/A（k,k）;end,3.1线性方程（组）求解,高斯全主元消去法,对于求解精度较高，或方程数量较多，易采用全主元法,其增广矩阵为（A

（1）|b

（1）,寻找A

（1）中绝对值最大为主元素,将此元素进行行列交换，换为第一个元素，再进行消元过程,3.1线性方程（组）求解,对于任意的第k-1次，其最大的主元素为：

进过n-1次主元消去之后，对后得到上三角矩阵。

通用算法,3.1线性方程（组）求解,functionx,xA=AllGaussFun（A,b）%AllGaussFun.m为用高斯全主元消去法求解线性方程组的解%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组的常数向量%x为线性方程组的解%xA为消元后的系数矩阵N=size（A）;n=N

（1）;indexl=0;indexr=0;order=1:

n;%记录未知数顺序的向量fori=1:

（n-1）me=max（max（abs（A（i:

n,i:

n）;%选取全主元fork=i:

nforr=i:

nif（abs（A（k,r）=me）indexl=k;indexr=r;k=n;break;endendend,temp=A（i,1:

n）;A（i,1:

n）=A（indexl,1:

n）;A（indexl,1:

n）=temp;bb=b（indexl）;b（indexl）=b（i）;b（i）=bb;%交换主行temp=A（1:

n,i）;A（1:

n,i）=A（1:

n,indexr）;A（1:

n,indexr）=temp;%交换主列pos=order（i）;order（i）=order（indexr）;order（indexr）=pos;%主列的交换会造成未知数顺序的变化forj=（i+1）:

nif（A（i,i）=0）disp（对角元素为0！

）;return;endl=A（j,i）;m=A（i,i）;A（j,1:

n）=A（j,1:

n）-l*A（i,1:

n）/m;b（j）=b（j）-l*b（i）/m;endend,x=UpTriangleFun（A,b）;y=zeros（n,1）;fori=1:

nforj=1:

nif（order（j）=i）y（i）=x（j）;endendendx=y;xA=A;,例【3-4】求多元线性方程组的解,求解程序“li3_4.m”,x=（2.40,-19.20,-1.00,4.00）,3.1线性方程（组）求解,三LU矩阵分解求解,线性方程组变为：

LUx=b,令：

Y=Ux,则：

LY=b,3.1线性方程（组）求解,解两个三角行方程组，可得解。

A=LU,其中,functionx=LUfun（A,b）%实现LU分解求线性方程组Ax=b的解%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组中的常数向量%x为线性方程组中的解r=rank（A）;%flag=isexist（A,b）%判断方程组解的情况ifflag=0disp（该方程组无解！

）;x=;return;elsem,n=size（A）;L,U,P=lu（A）;%lu函数为MATLAB提供的函数实现矩阵LU分解b=P*b;%解Ly=by

（1）=b

（1）;ifm1fork=2:

my（k）=b（k）-L（k,1:

k-1）*y（1:

k-1）;endendy=y;,%解Ux=y得原方程组的一个特解x0（r）=y（r）/U（r,r）;ifr1fork=r-1:

-1:

1;x0（k）=（y（k）-U（k,k+1:

r）*x0（k+1:

r）/U（k,k）;endendx0=x0;%如果方程组有唯一解ifflag=1x=x0;return;else%如果方程组有无穷多解formatrat;z=null（A,r）;%求出对应齐次方程组的基础解系mz,nz=size（z）;x0（r+1:

n）=0;fork=1:

nzt=sym（char（10748+k）;K（k）=t;%取K=k1,k2,.;endx=x0;fork=1:

nzx=x+K（k）*z（:

k）;%将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式endendend,例利用LU分解求解如下线性方程组的解,3.1线性方程（组）求解,四Jacobi迭代法求解,迭代法是对任意给定的初始向量，按照某种方法逐步生成近似解序列，是解序列的极限为方程组的解。

设线性方程组：

Ax=b,若A非奇异，b不等于0，有唯一解x*，上式变换为：

x=Tx+C,取一初始向量x（0）为上述方程的近似解,x（k+1）=Tx（k）+C,满足条件：

3.1线性方程（组）求解,此迭代法收敛，x*为原方程组的解。

Jacobi迭代法工程常用此方法解决稀疏矩阵的迭代问题。

系数矩阵为,3.1线性方程（组）求解,若A非奇异，方程组Ax=b有唯一解x=A-1b.方程组通过变换为：

令,3.1线性方程（组）求解,令,有：

3.1线性方程（组）求解,算法：

（1）设定一个初始向量x（0）,将初始值带入矩阵方程，得到新向量x

（1）。

（2）将新向量x

（1）带入矩阵方程，得到另一个向量x

（2）。

（3）对于任意k步迭代，迭代格式为：

如果序列x（k）收敛于x*，则说明x*为方程组的解,Jacobi迭代程序：

3.1线性方程（组）求解,functionx,n=Jacobifun（A,b,x0,eps,var）%Jacobifun为编写的雅可比迭代函数%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组的常数向量%x0为迭代初始向量%eps为解的精度%var为迭代步数控制%x为线性方程组的解%n为求出所需精度的解实际的迭代步数ifnargin=3eps=1.0e-6;M=200;elseifnargin3errorreturnelseifnargin=5M=var1;end,3.1线性方程（组）求解,D=diag（diag（A）;L=-tril（A,-1）;U=-triu（A,1）;B=D（L+U）;f=Db;x=B*x0+f;n=1;%统计迭代次数whilenorm（x-x0）=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if（n=M）disp（Warning:

迭代次数太多，不收敛！

）;return;endend,3.1线性方程（组）求解,例【3-5】用Jacobi迭代法计算方程组,设初始值为x0=0,0,0计算程序“li3_5.m”X=2.39,2.18,-0.25,3.1线性方程（组）求解,五调用Matlab内部函数,5.1共轭梯度法，通过最优化求解，适用于系数矩阵为方阵m,调用格式如下：

x,flag,relres,iter=bicg（A,b,tol）,方程组的解,方程组成功的标志,解的相对误差,迭代的次数,求解器,系数矩阵,误差限,常数向量,3.1线性方程（组）求解,A=4,1,-1;2,-3,1;1,2,-5;b=12,-2,8;tol=1e-7;x,flag,relres,iter=bicg（A,b,tol）,x=2.3929，2.1786-0.2500flag=0relres=1.1384e-014iter=3,