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第五章几何非线性有限元分析,在经典的材料力学和弹性力学中有一个基本假设，即位移与应变关系是线性的，且应变为小量，这样得到的最后方程是线性的这对很多情况是合理的，在这种假设下得到了不少合理精度的解但在实际工程领域内，往往这个线性假设不再适用,例如航空薄壁结构，在某些载荷情况下的薄板和薄壳，机械上的柔软支架等，位移可以较大，因此，位移与应变关系不可用线性关系来描述更有一些力学现象，例如金属的塑性变形，金属辗压成形等，应变超过10%以上，因此要用大应变（或称有限应变）理论凡考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论均属于几何非线性问题几何非线性问题包括大位移的小应变问题以及大位移大应变问题本章将简要介绍几何非线性问题的有关理论,5.1有限应变与应力,在有限应变分析中，有二种定义应变张量的方法

（一）格林（Green）应变，也称格林-拉格朗日（Green-Lagrange）应变，定义为,其中为初始坐标，为变形后的坐标（图5.1）由上式可见，格林应变是参照变形前的坐标系，这种参照方法称为拉格朗日坐标参照法这里研究的的是物体变形后的应变，但其参考标架则选在变形前,图5.1结构的变形,

（二）柯西（Cauchy）应变，也称阿尔曼西（Almansi）应变或欧拉（Eular）应变定义为,上式同样是研究变形后的应变，但将坐标取在当前坐标上由于它是参照变形后的坐标系上的，这种参照方法叫做欧拉参照法,引入位移向量则有,在直角坐标系下，将位移向量代入二种应变式就得到二种应变用位移来表示的公式：

如果位移分量以及它的一阶偏导数是小量，那么方程右端位移分量偏导数的二次项可以忽略，则应变可写为：

也可以不考虑前后坐标值的差别则拉格朗日应变与欧拉应变没有区别，都与微小变形的应变相同这个应变张量称为柯西（Cauchy）应变张量，以后在大应变分析中是有意义的,图5.2应力的定义,与应变的定义相似，应力也有不同的定义,

（一）欧拉（Eular）应力，又称柯西（Cauchy）应力，它是用当前坐标系定义的应力,因为它考虑了物体的变形，也即面上的力的真实作用面积，所以也称真应力，用符号表示，作用于面上的力可写为（图5.2）：

的面是当前坐标（变形后）下的面,

（二）拉格朗日应力，也称第一皮阿拉-克希霍夫（FirstPiola-Kirchoff）应力,对于可以用变形前坐标与构形来定义应力，即采用拉格朗日体系，,其中是变形前的面称为拉格朗日应力,（三）克希霍夫应力，也称第二皮阿拉-克希霍夫（SecondPiola-Kirchoff）应力,拉格朗日应力不是对称形式，不便于数学运算，因此，将拉格朗日应力前乘以变形梯度得到对称的应力张量：

这样定义的应力称为克希霍夫应力,上面定义的克希霍夫应力看上去不很自然。

但是它有物理基础克希霍夫应力与格林应变在能量上是共轭的同样欧拉应力与阿尔曼西应变在能量上也是共轭的,三种应力张量之间存在下列关系：

式中和分别表示变形前和变形后的密度,是变形梯度矩阵的行列式变形梯度可以看作一个线性变换，它把参考构形中质点的邻域映射到现时构形的一个邻域或者说，它把初始的线元变换到现时的线元所以，变形梯度刻划了整个的变形，它既包含了线元的伸缩，也包含了线元的转动,5.2变形率和本构关系,设物体在时，该物体有构形，物体一质点的坐标为（），在时间时，物体有构形，质点运动至，,在时间时，物体运动有构形，质点运动至对于变形体及其上的质点运动状态，可以随不同的坐标选取方法而有不同的描述方法，大致有以下五种：

（一）物质描述：

独立变量为和，即给出任意时刻中各个质点的位置这种描述法很少用于连续介质力学和有限元法中,

（二）参照描述：

独立变量为任意选择的参照构形中质点的当前坐标与时间，其中参照构形的选择是任意的，而且不影响计算结果这种描述法称为拉格朗日描述（LagrangianDescription）当选择的构形时,称为全拉格朗日描述或总体拉格朗日描述（TotalLagrangianDescription简写为T.L）这时，位移是以原始构形为出发点,（三）相对描述：

用时间的构形为参考构形的当前质点坐标这就是说，选用时刻的位置作为参考依据以观察从到时的运动情况以此类推，从到的过程则是以的位置作为参考实际上这是前一种T.L体系的一种修正在分析时，每一次都要修改它的参考构形因此称为更新的拉格朗日描述（UpdatedLagrangianDescription简写为U.L）,Cesscotto等人提出了广义拉格朗日描述（generalizedLagrangiandescription,简写为G.L.D）在广义拉格朗日描述中,平衡方程是参照任意一个时刻（）已知的变形构形,若,则广义拉格朗日描述就是总体拉格朗日描述,若,则它就是更新的拉格朗日描述,（四）空间描述：

独立变量是质点当前位置和在瞬时的运动是以变形后该时刻的构形为观察的依据这种描述称为欧拉描述（EulerianDescription）在欧拉描述法中，有限元网格在空间中是固定的，材料流过这些网格，因此,它适用于流体及定常运动过程，如稳态挤压过程当分析物体的本构关系与当时应变或变形有关，以及有分布力作用于物体表面时，欧拉描述就不方便了由于拉格朗日描述的坐标附着在物质点上，因而易于引入本构关系和处理表面载荷问题,（五）任意拉格朗日-欧拉描述（ArbitraryLagrangian-EulerianDescription,简写为ALE）：

任意拉格朗日-欧拉描述又称耦合拉格朗日-欧拉描述、拟欧拉描述或混合拉格朗日-欧拉描述在ALE描述中,另外引入了一个独立于初始构形和现时构形的参照构形,在物体变形过程中,观察者始终跟随参照构形运动,因而,对观察者而言,参照构形是固定不动的,而初始构形和现时构形都相对于参照构形运动,在非线性有限元法的平衡方程中，可以用不同的本构关系定义来得到应变能变化率方程，在某些本构关系中是根据物体变形率来定义的在空间描述中，物体的瞬时运动是用速度矢量场给出的：

是物质质点的速度，这个质点在时刻位于空间的点处在这里要特别注意坐标为的空间中的点和位于这点的物质质点之间的区别。

例如，我们比较速度向量和时，它们是在空间中同一个点在不同时刻和观察到的速度，但它们不是同一质点在不同时刻和的速度,因而一般不代表在瞬时位置的质点的加速度。

为确定质点的加速度，必须考虑在时间内所考察的质点的无限小位移，实际上，在时刻位于的那个质点，在时刻已运动到坐标为的那个点根据泰勒定理，略去高阶无限小项，当时有：

即,式中的偏导数是在和取值，上式右端第一项可以解释为由速度场的时间相关性引起的，称为加速度的当时部分，也即通常的时间导数；第二项是非均速度场中质点运动的贡献，称为加速度的对流部分,上式定义的加速度是与运动着的物质质点相关联的，因此叫做速度的物质导数这种物质导数的概念适用于任何与运动着的质点相关联的其它物理量，这些物理量可以是标量（如密度，温度等）和张量（如应力张量）于是按下式定义了一个物理量的物质导数：

例如，密度的物质导数是：

如果在空间中固定的坐标系内考虑一个无限小的空间体积元，可以认为流入这个体元的质量的净速率等于质量累积的速率，于是我们有方程：

这个方程叫连续性方程它可以用密度的物质导数写出：

连续性方程在物理上表示质量守恒如果密度的变化是非常小，以致可以忽略不计连续性方程可简化为：

在下面我们引入变形张量之后，就会看出上式表示体应变率为零而在物质描述中用下列方程表示：

参照欧拉坐标系，我们考虑两个相邻的质点，它们有瞬时坐标，此两点的速度差为：

其中是速度向量，表示速度梯度，它可分为两部分：

参照小应变的定义，上式第一项为小应变情况下的变形率，用表示，第二项为旋转率，用表示，即：

是对称张量，称为Cauchy应变率张量，是反对称张量,称为旋转率张量,在经典弹性理论中，在等温和绝热线弹性理论范畴内，可以用三种等价的方式来定义应力应变关系（本构关系）,常数,在讨论大位移、大转动的有限应变本构关系时，将上述关系加以推广，形成类似的关系

（一）弹性介质弹性材料是对过去的历史没有记忆的材料，这种材料对变形和温度的反应完全取决于当前的状态这里仅限于考虑等温过程,假设存在一个无应力的自然状态，在这个状态的一个适当确定的有限邻域内，欧拉应力张量与阿尔曼西应变张量之间存在一一对应的关系：

我们最熟悉的弹性关系即为这一类介质：

如果四阶材料张量是应变张量的函数，则为非线性弹性；如果是常数张量，则是线性弹性，但它不是小变形情况的虎克定律，因为式中的量是相对于现时构形定义的，只有在小变形条件下，和分别退化为通常的工程应力和无限小应变，上式就退化为通常的虎克定律,

（二）超弹性（Hyperelastic）介质单位质量应变能的变化率等于应力做功率，这是由能量原则来定义本构关系，这种定义的本构关系的材料称为超弹性材料按照定义，在欧拉坐标系下，我们有,其中是瞬时的材料密度，为柯西应力（真应力），为柯西应变率本构关系可写为：

在拉格朗日坐标系下，本构关系用克希霍夫应力与格林应变表示时可写成：

或者写成：

可以证明，这两个公式是等价的这两个公式表明克希霍夫应力张量与格林应变率之积等于柯西应力张量与柯西应变率之积，即都等于单位应变能变化率具有这种应力和应变关系者称应力与应变是共轭关系,（三）亚弹性材料（Hypoelastic）应变率分量是变形率分量的齐次线函数，即：

式中为常数，这种定义材料本构关系称为亚弹性材料它比较适合经典弹性理论的习惯，只不过用变化率代替物理量本身,这个定义的关键之处在于应力变化率我们知道，当物体做刚体运动时变形率为零但是，一个应力状态下的物体在做刚体运动时，应力的时间导数与物质导数均不等于零，,例如考虑一个承受单向应力并绕轴转动的杆，在杆平行于轴的瞬时，在以后的另一瞬时，例如当杆平行于轴时，我们又有.这样，刚体运动改变了应力张量的分量（相对于空间固定的坐标系而言）因此，虽然杆中的应力状态没有变，但刚度运动却改变了应力张量,看来在本构方程中使用与变形率相关联的应力率时，时间导数和物质导数均不是一个适当的度量。

一个合于需要的应力对时间的导数必须是关于刚体转动具有不变性一些学者提出了形式不同的应力变化率公式，它们均满足不随刚体运动而变化的条件下面介绍的焦曼（Jaumann）应力率是当前用得较多的一种,其中是旋转率焦曼应力率是不受刚体转动影响的客观张量此外还有特罗斯德尔（Truesdell）应力率：

如果所考虑的质点邻域做刚体运动，那么和为零，那么前两个公式相同，因此，特罗斯德尔应力率也是不受刚体运动影响的客观张量如果将应力率作为应力和变形率的函数来给出本构关系时，这些不同定义的应力率之间的差别不是本质的,为得到克希霍夫应力张量的物质导数，需计算的物质导数由连续方程我们有：

将克希霍夫应力与柯西应力之间的关系式取物质导数可得到：

利用适当的哑标并注意到的对称性，最后可得到：

上式右端的括号内恰好是特罗斯德尔应力率，因此，当所考虑质点的邻域做瞬时地刚体运动时，克希霍夫应力的物质速率为零，而应力保持常数这就是说，克希霍夫应力对时间的物质导数是客观张量,一般来说，前述三种定义的本构关系并不等价实际材料适合哪种定义，只有通过试验来确定,5.3几何非线性有限元方程的建立,几何非线性有限元法至今没有一个统一的方法从不同的能量原理，应变位移方程和不同的应力和应变可以得到不同的非线性有限元方程,在建立几何非线性方程时，选择的能量平衡方程大体有两类：

（一）从虚功原理出发，直接使用应力与共轭应变；

（二）由增量变形的变分原理出发，使用应力率和应变率下面分别介绍这两种方法,5.3.1全拉格朗日列式法（T.L）,先介绍用虚功原理导出相应的有限元方程方法设一个运动的物体，假定对于时刻以前的解均已得到，当前的目标是去建立一个方程，由方程可解得时刻的各未知量,我们知道柯西应力与阿尔曼西应