信号与线性系统分析第三章_精品文档.ppt

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第三章离散系统的时域分析,1.LTI离散系统的时域分析：

2.特点：

比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换,时域分析法：

序列的变量-k,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：

概述：

求出响应与激励关系,经典法,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积和,建立线性差分方程并,注意：

离散系统与连续系统的分析方法并行相似,连续系统,离散系统,微分方程,差分方程,卷积积分,卷积和,变换域（傅氏、s）,变换域（离散傅氏、z）,系统函数,系统函数,系统描述,分析方法,离散与连续对比,2.1LTI离散系统的响应,差分与差分方程前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解零输入响应和零状态响应,一、差分与差分方程,设有序列f（k），则,，f（k+2），f（k+1），f（k-1），f（k-2）等,，称为f（k）的移位序列。

仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。

1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：

（1）一阶前向差分定义：

f（k）=f（k+1）f（k）

（2）一阶后向差分定义：

f（k）=f（k）f（k1）（3）差分的线性性质：

af1（k）+bf2（k）=af1（k）+bf2（k）（4）二阶差分定义：

2f（k）=f（k）=f（k）f（k-1）=f（k）f（k-1）=f（k）f（k-1）f（k-1）f（k-2）=f（k）2f（k-1）+f（k-2）（5）m阶差分:

mf（k）=f（k）+b1f（k-1）+bmf（k-m）,2.差分方程,包含未知序列y（k）及其各阶差分的方程式称为差分方程。

将差分展开为移位序列，得一般形式y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=bmf（k）+b0f（k-m）,差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

差分方程的阶数：

未知序列最高与最低序数的差,描述LTI离散系统：

常系数线性差分方程,差分方程迭代解举例,例：

若描述某系统的差分方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已知初始条件y（0）=0,y

（1）=2,激励f（k）=2k（k）,求y（k）。

解：

y（k）=3y（k1）2y（k2）+f（k）k=2y

（2）=3y

（1）2y（0）+f

（2）=2k=3y（3）=3y

（2）2y

（1）+f（3）=10k=4y（4）=3y（3）2y

（2）+f（4）=10,二、差分方程的经典解,1.齐次解,与微分方程经典解类似:

y（k）=yh（k）+yp（k）,y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=bmf（k）+b0f（k-m）,齐次方程y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=0特征方程1+an-11+a0n=0，即n+an-1n1+a0=0其根i（i=1，2，n）称为差分方程的特征根。

不同特征根所对应的齐次解,2.特解yp（k）,激励f（k）,响应y（k）的特解yp（k）,特解的形式与激励的形式类似,或,差分方程全解举例,例：

系统方程y（k）+4y（k1）+4y（k2）=f（k）已知初始条件y（0）=0，y

（1）=1；激励f（k）=2k，k0。

求方程的全解。

解：

特征方程2+4+4=0特征根1=2=2齐次解yh（k）=（C1k+C2）

（2）k特解yp（k）=P

（2）k,k0代入差分方程P

（2）k+4P

（2）k1+4P

（2）k2=f（k）=2k解得P=1/4所以特解yp（k）=2k2,k0故全解为y（k）=yh+yp=（C1k+C2）

（2）k+2k2,k0代入初始条件解得C1=1,C2=1/4,三.零输入响应和零状态响应,一般而言，如果单输入单输出的LTI系统的激励，其全响应为，那么，描述该系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，它可以写为：

全响应y（t）=yzi（k）+yzs（k）,借助经典方法,卷积和方法（后面学）,1.零输入响应,称为零输入响应，用yzi（k）表示。

差分方程：

齐次,y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=0,没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应，,k0,激励没有接入f（k）=0,yzi（-1）=y（-1）,yzi（-2）=y（-2）,-,yzi（-n）=y（-n）,yzi

（1）=？

yzi

（2）=？

-,yzi（n）=？

连续系统yzi（j）（0+）=yzi（j）（0-）=y（j）（0-）,零输入举例,例1：

系统方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已知激励f（k）=2k,k0；初始状态y

（1）=0,y

（2）=1/2求系统的零输入响应,解：

yzi（k）零输入响应满足：

yzi（k）+3yzi（k1）+2yzi（k2）=0,yzi

（1）=y

（1）=0yzi

（2）=y

（2）=1/2,递推求yzi（0）、yzi

（1）,yzi（k）=3yzi（k1）2yzi（k2）,yzi

（1）=3yzi（0）2yzi

（1）=3,yzi（0）=3yzi

（1）2yzi

（2）=1,初始值代入并解得Czi1=1,Czi2=2,yzi（k）=

（1）k2

（2）k,k0,yzi（k）+3yzi（k1）+2yzi（k2）=0,yzi（k）=Czi1

（1）k+Czi2

（2）k,特征根1=1，2=2,1.零状态响应,差分方程：

非齐次,当系统的初始状态为零，仅由激励f（k）产生的响应，,称为零状态响应，用yzs（k）表示。

y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=bmf（k）+b0f（k-m）,yzs（-1）=yzs（-2）=-yzs（-n）=0,yzs（0）、yzs

（1）、-yzs（n）=？

若其特征根均为单根：

连续系统yzs（j）（0-）=0,借助微分方程,例1：

系统方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已知激励f（k）=2k,k0；求系统的零状态响应,零状态举例,解：

零状态响应yzs（k）满足,yzs（k）+3yzs（k1）+2yzs（k2）=f（k）,yzs

（1）=yzs

（2）=0,yzs

（1）=3yzs（0）2yzs

（1）+2=1,递推求初始值yzs（0）,yzs

（1）,yzs（0）=3yzs

（1）2yzs

（2）+1=1,yzs（k）=3yzs（k1）2yzs（k2）+2kk0,特征根1=1，2=2,yzs（k）+3yzs（k1）+2yzs（k2）=f（k）,求得Czs1=1/3,Czs2=1,零状态响应,yzs（k）=

（1）k/3+

（2）k+（1/3）2k,k0,yzs（k）=Czs1

（1）k+Czs2

（2）k+yp（k）,=Czs1

（1）k+Czs2

（2）k+（1/3）2k,代入初始值,k,0,yzi（k）,yzs（k）,起始储能,激励,y（k）全响应,零输入响应,由yzi（k）起始条件,由yzs（k）起始条件,y（0）、y

（1）-起始条件,待定系数代差分方程,待定系数代差分方程,零状态响应,强迫响应,自由响应,零输入零状态举例,例2：

系统方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已知激励f（k）=2k,k0初始状态y（0）=0,y

（1）=2求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

解：

（1）yzs（k）零状态响应同例1,yzs（k）=

（1）k/3+

（2）k+（1/3）2k,k0,yzs（0）=1、yzs

（1）=1,

（2）yzi（k）零输入响应,yzi（k）+3yzi（k1）+2yzi（k2）=0,零输入响应,yzi（k）+3yzi（k1）+2yzi（k2）=0,解为yzi（k）=Czi1

（1）k+Czi2

（2）k,特征根1=1，2=2,yzi（0）=?

、yzi

（1）=?

-,根据y（k）=yzi（k）+yzs（k）,yzi（0）=y（0）-yzs（0）=-1,yzi

（1）=y

（1）-yzs

（1）=3,yzi（k）=-

（2）kk0,单位序列和单位阶跃序列单位序列响应阶跃响应,3.2单位序列响应和阶跃响应,一、序列（k）和（k）,这两个序列是普通序列-非奇异函数,1.单位（样值）序列（k）,取样性质：

定义：

1,-1,-2,2,0,1,f（t）（t）=f（0）（t）,f（t）（t-t0）=f（t0）（t-t0）,f（k）（kk0）=f（k0）（kk0）,f（k）（k）=f（0）（k）,2.单位阶跃序列（k）定义,（k）与（k）的关系,（k）=（k）（k1）,或（k）=（k）+（k1）+,定义,K-j=ij=0i=kj=i=-,二、单位序列响应,单位序列（k）所引起的零状态响应，记为h（k）。

h（k）=T0,（k）,求h（k）的方法：

解差分方程；z变换法（第六章）由于（k）仅在k=0时等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的h（k）和系统的零输入响应的函数形式相同。

单位序列响应例1,例1求图所示离散系统的单位序列响应h（k）。

根据h（k）的定义有h（k）h（k1）2h（k2）=（k）

（1）h

（1）=h

（2）=0

（1）递推求初始值h（0）和h

（1）。

h（k）=h（k1）+2h（k2）+（k）h（0）=h

（1）+2h

（2）+（0）=1h

（1）=h（0）+2h

（1）+

（1）=1,解：

差分方程为：

y（k）-y（k-1）-2y（k-2）=f（k）,

（2）求h（k）,对于k0，h（k）满足齐次方程h（k）h（k1）2h（k2）=0特征方程（+1）

（2）=0h（k）=C1

（1）k+C2

（2）k，k0h（0）=C1+C2=1,h

（1）=C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h（k）=（1/3）

（1）k+（2/3）

（2）k,k0或写为h（k）=（1/3）

（1）k+（2/3）

（2）k（k）,单位序列响应例2,例2系统方程为y（k）-y（k-1）-2y（k-2）=f（k）-f（k-2）求单位序列响应h（k）。

解h（k）满足h（k）h（k1）2h（k2）=（k）（k2）令只有（k）作用时，系统的单位序列响应h1（k）,它满足h1（k）h1（k1）2h1（k2）=（k）根据线性时不变性h（k）=h1（k）h1（k2）=（1/3）

（1）k+（2/3）

（2）k（k）（1/3）

（1）k2+（2/3）

（2）k2（k2）,三、阶跃响应,g（k）=T（k）,0,由于,（k）=（k）=（k）（k1）,所以,h（k）=g（k）=g（k）g（k-1）,当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列（k）时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用h（k）表示。

经典法;由h（k）求出,求g（k）的方法:

单位阶跃响应例1,例:

差分方程为y（k）-y（k-1）-2y（k-2）=f（k）,解:

经典法：

g（k）-g（k-1）-2g（k-2）=（k）g（-1）=g（-2）=0对k0,g（k）-g（k-1）-2g（k-2）=1齐次解：

gn（k）=c1（-1）k+c2

（2）k特解：

gp（k）=p=-,g（k）=c1（-1）k+c2

（2）k-k0,所以：

c1=1/6;c2=4/3,g（k）=1/6（-1）k+4/3

（2）k-（k）,利用h（k）求g（k）:

卷积和卷积和图解法不进位乘法求卷积卷积和的性质,3.3卷积和,一、卷积和,1.序列的时域分解,任意序列f（k）可表示为f（k）=+f（-1）（k+1）+f（0）（k）+f

（1）（k-1）+f

（2）（k-2）+f（i）（ki）+,信号f（k）分解为单位序列叠加,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h（k）的定义：

（k）,h（k）,由时不变性：

（k-i）,h（k-i）,f（i）（k-i）,由齐次性：

f（i）h（k-i）,由叠加性：

f（k）,yzs（k）,卷积和,3.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1（k）,为f1（k）与f2（k）的卷积和，简称卷积；记为,f（k）=f1（k）*f2（k