信号与线性系统分析第三章_精品文档.ppt

1、第三章 离散系统的时域分析,1.LTI离散系统的时域分析：,2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换,时域分析法：序列的变量-k,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积和,建立线性差分方程并,注意：离散系统与连续系统的分析方法并行相似,连续系统,离散系统,微分方程,差分方程,卷积积分,卷积和,变换域（傅氏、s）,变换域（离散傅氏、z）,系统函数,系统函数,系统描述,分析方法,离散与连续对比,2.1 LTI离散系统的响应,差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对

2、应的齐次解和不同激励对应的特解零输入响应和零状态响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则,，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等,，称为f(k)的移位序列。,仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)（3）差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f

3、(k)2 f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m),2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差,描述LTI离散系统：常系数线性差分方程,差分方程迭代解举例,例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,

4、激励f(k)=2k(k),求y(k)。,解：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k)k=2 y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2 k=3 y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 k=4 y(4)=3y(3)2y(2)+f(4)=10,二、差分方程的经典解,1.齐次解,与微分方程经典解类似:y(k)=yh(k)+yp(k),y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0特征方程 1+an-1 1+a0 n=0，即 n+an-1n 1+a0=0其根i(i=1，2，n)称为差分方

5、程的特征根。,不同特征根所对应的齐次解,2.特解yp(k),激励f(k),响应y(k)的特解yp(k),特解的形式与激励的形式类似,或,差分方程全解举例,例：系统方程 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解：特征方程 2+4+4=0 特征根 1=2=2 齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k 特解 yp(k)=P(2)k,k0 代入差分方程 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k 解得 P=1/4 所以特解 yp(k)=2k2,k0故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k

6、+C2)(2)k+2k2,k0 代入初始条件解得 C1=1,C2=1/4,三.零输入响应和零状态响应,一般而言，如果单输入单输出的LTI系统的激励，其全响应为，那么，描述该系统激励 与响应 之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，它可以写为：,全响应 y(t)=yzi(k)+yzs(k),借助经典方法,卷积和方法（后面学）,1.零输入响应,称为零输入响应，用yzi(k)表示。,差分方程：齐次,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0,没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应，,k0,激励没有接入f(k)=0,yzi(-1)=y(-1),yzi(-2)=y(-2),-,yzi(

7、-n)=y(-n),yzi(1)=？,yzi(2)=？,-,yzi(n)=？,连续系统yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),零输入举例,例1：系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k0；初始状态 y(1)=0,y(2)=1/2 求系统的零输入响应,解：yzi(k)零输入响应满足：,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,yzi(1)=y(1)=0yzi(2)=y(2)=1/2,递推求 yzi(0)、yzi(1),yzi(k)=3yzi(k 1)2yzi(k 2),yzi(1)=3yzi(0)2yzi(1)

8、=3,yzi(0)=3yzi(1)2yzi(2)=1,初始值代入并解得 Czi1=1,Czi2=2,yzi(k)=(1)k 2(2)k,k0,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k,特征根 1=1，2=2,1.零状态响应,差分方程：非齐次,当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)产生的响应，,称为零状态响应，用yzs(k)表示。,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),yzs(-1)=yzs(-2)=-yzs(-n)=0,yzs(0)、yzs(1)、-yzs(n)=？,若其特征根均为单根

9、：,连续系统yzs(j)(0-)=0,借助微分方程,例1：系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k0；求系统的零状态响应,零状态举例,解：零状态响应yzs(k)满足,yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f(k),yzs(1)=yzs(2)=0,yzs(1)=3yzs(0)2yzs(1)+2=1,递推求初始值 yzs(0),yzs(1),yzs(0)=3yzs(1)2yzs(2)+1=1,yzs(k)=3yzs(k 1)2yzs(k 2)+2k k0,特征根 1=1，2=2,yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f

10、(k),求得 Czs1=1/3,Czs2=1,零状态响应,yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k),=Czs1(1)k+Czs2(2)k+(1/3)2k,代入初始值,k,0,yzi(k),yzs(k),起始储能,激励,y(k)全响应,零输入响应,由yzi(k)起始条件,由yzs(k)起始条件,y(0)、y(1)-起始条件,待定系数代差分方程,待定系数代差分方程,零状态响应,强迫响应,自由响应,零输入零状态举例,例2：系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励 f(k)=2k,k0 初始状

11、态 y(0)=0,y(1)=2 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzs(k)零状态响应 同例1,yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,yzs(0)=1、yzs(1)=1,（2）yzi(k)零输入响应,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,零输入响应,yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0,解为 yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k,特征根 1=1，2=2,yzi(0)=?、yzi(1)=?-,根据 y(k)=yzi(k)+yzs(k),yzi(0)=y(0)-yzs(0)=-1,yzi(1)=y(1)-

12、yzs(1)=3,yzi(k)=-(2)k k0,单位序列和单位阶跃序列 单位序列响应 阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,一、序列(k)和(k),这两个序列是普通序列-非奇异函数,1.单位(样值)序列(k),取样性质：,定义：,1,-1,-2,2,0,1,f(t)(t)=f(0)(t),f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0),f(k)(k k0)=f(k0)(k k0),f(k)(k)=f(0)(k),2.单位阶跃序列(k)定义,(k)与(k)的关系,(k)=(k)(k 1),或(k)=(k)+(k 1)+,定义,K-j=ij=0 i=kj=i=-,二、单位序列响应,单位序列(k

13、)所引起的零状态响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k),求h(k)的方法：解差分方程；z变换法（第六章）由于(k)仅在k=0时等于1，而在k0时为零，因 而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的 函数形式相同。,单位序列响应例1,例1 求图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,根据h(k)的定义 有 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k)h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1 h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,解：差分方程为：y(k)-y(k-1)-2y

14、(k-2)=f(k),(2)求h(k),对于k 0，h(k)满足齐次方程 h(k)h(k 1)2h(k 2)=0特征方程(+1)(2)=0 h(k)=C1(1)k+C2(2)k，k0 h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1 解得 C1=1/3,C2=2/3 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0或写为 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k),单位序列响应例2,例2 系统方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)-f(k-2)求单位序列响应h(k)。,解 h(k)满足 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2)令只有(k)作用

15、时，系统的单位序列响应h1(k),它满足 h1(k)h1(k 1)2h1(k 2)=(k)根据线性时不变性 h(k)=h1(k)h1(k 2)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)(1/3)(1)k 2+(2/3)(2)k2(k 2),三、阶跃响应,g(k)=T(k),0,由于,(k)=(k)=(k)(k 1),所以,h(k)=g(k)=g(k)g(k-1),当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用h(k)表示。经典法;由h(k)求出,求g(k)的方法:,单位阶跃响应例1,例:差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k

16、),解:经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(-1)=g(-2)=0 对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齐次解：gn(k)=c1(-1)k+c2(2)k 特解：gp(k)=p=-,g(k)=c1(-1)k+c2(2)k-k0,所以：c1=1/6;c2=4/3,g(k)=1/6(-1)k+4/3(2)k-(k),利用h(k)求g(k):,卷积和 卷积和图解法 不进位乘法求卷积 卷积和的性质,3.3 卷积和,一、卷积和,1.序列的时域分解,任意序列f(k)可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+,信号f(k)分解为单位序列叠加,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k-i),h(k-i),f(i)(k-i),由齐次性：,f(i)h(k-i),由叠加性：,f(k),yzs(k),卷积和,3.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k),为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为,f(k)=f1(k)*f2(k