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整数规划整数规划1u第一节第一节整数规划问题的提出整数规划问题的提出u第二节第二节分支定界法分支定界法u第三节第三节割平面法割平面法u第四节第四节0-1整数规划整数规划u第五节第五节指派问题指派问题2在在线线性性规规划划问问题题中中，有有些些最最优优解解可可能能是是分分数数或或小小数数，但但对对于于某某些些具具体体问问题题，常常有有要要求求解解答答必必须须是是整整数数的的情况。

情况。

第一节第一节整数规划问题的提出整数规划问题的提出3要要求求一一部部分分或或全全部部决决策策变变量量必必须须取取整整数数值值的的线线性性规规划划问问题题称称为为整整数数线线性性规规划划（IntegerlinearProgramming，简称，简称IP）。

）。

一、整数线性规划数学模型的一般形式一、整数线性规划数学模型的一般形式4整数线性规划数学模型的一般形式为：

整数线性规划数学模型的一般形式为：

5整数线性规划问题可以分为下列几种类型：

整数线性规划问题可以分为下列几种类型：

1.纯纯整整数数（全全整整数数）线线性性规规划划（pureintegerlinearprogramming）：

指指全全部部决决策策变变量量都都必必须须取取整整数数值值的的整数线性规划。

整数线性规划。

62.混混合合整整数数线线性性规规划划（mixedintegerlinearprogramming）：

指指决决策策变变量量中中有有一一部部分分必必须须取取整整数数值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。

值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。

3.0-1型型整整数数线线性性规规划划（zero-oneintegerlinearprogramming）：

指指决决策策变变量量只只能能取取值值0或或1的的整整数数线性规划。

线性规划。

7二、整数线性规划的松弛问题二、整数线性规划的松弛问题松松弛弛问问题题（slackproblem）：

不不考考虑虑整整数数条条件件，由由余余下下的的目目标标函函数数和和约约束束条条件件构构成成的的线线性性规规划划问问题题称称为该整数规划问题的松弛问题（为该整数规划问题的松弛问题（slackproblem）。

）。

8整数整数线性性规划划松弛松弛问题9maxz=2x1+3x2maxz=2x1+3x2整数规划整数规划松弛问题松弛问题101.整整数数线线性性规规划划的的可可行行解解集集合合是是其其松松弛弛问问题题可可行行解解集合的一个子集，即：

集合的一个子集，即：

三三、整整数数线线性性规规划划的的解解和和其其松松弛弛问问题的解之间的关系题的解之间的关系整数规划可行域整数规划可行域松弛问题可行域松弛问题可行域11整数线性规划的可行解集合整数线性规划的可行解集合其松弛问题可行解集合其松弛问题可行解集合从而可得出：

从而可得出：

|整整数数线线性性规规划划的的可可行行解解一一定定也也是是其其松松弛弛问问题题的的可可行行解。

解。

|松弛问题的可行解松弛问题的可行解不一定不一定是整数线性规划的可行解。

是整数线性规划的可行解。

|整整数数线线性性规规划划最最优优解解的的目目标标函函数数值值松松弛弛问问题题最最优优解的目标函数值（极大化问题）。

解的目标函数值（极大化问题）。

122.松松弛弛问问题题的的可可行行解解集集合合：

凸凸集集（任任意意两两个个可可行行解解的凸组合仍为可行解）的凸组合仍为可行解）整整数数线线性性规规划划的的可可行行解解集集合合：

不不是是凸凸集集（任任意意两两个个可可行行解解的的凸凸组组合合不不一一定定满满足足整整数数要要求求，因因而而不不一一定定仍为可行解）。

仍为可行解）。

13产产生生问问题题：

利利用用对对松松弛弛问问题题的的最最优优解解中中不不符符合合整整数数要要求求的的分分量量简简单单地地取取整整，是是否否能能得得出出整整数数规规划划问问题题的最优解呢？

的最优解呢？

143.对对松松弛弛问问题题的的最最优优解解中中不不符符合合整整数数要要求求的的分分量量简简单地取整，所得到的问题解：

单地取整，所得到的问题解：

|不一定是整数线性规划问题的最优解。

不一定是整数线性规划问题的最优解。

|甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。

甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。

15例：

例：

16解：

问题的最优解为：

解：

问题的最优解为：

x1=4.8，x2=0其其中中分分量量x1不不满满足足整整数数要要求求，从从而而对对分分量量x1进进行行“化整化整”：

17为可行解，但不是最优解（为可行解，但不是最优解（x1=4,x2=1更优）更优）18不满足约束条件不满足约束条件1，从而为不可行解。

，从而为不可行解。

19结结论论：

利利用用求求解解整整数数线线性性规规划划的的松松弛弛问问题题的的最最优优解解，再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。

再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。

20|纯整数规划问题：

可行解的数量是有限的。

纯整数规划问题：

可行解的数量是有限的。

|小小型型纯纯整整数数规规划划问问题题：

可可通通过过全全枚枚举举法法，从从中中筛筛选最优解。

选最优解。

|大大型型纯纯整整数数规规划划问问题题：

可可行行解解的的数数量量很很大大，无无法法使用全枚举法。

使用全枚举法。

|混混合合整整数数规规划划问问题题：

可可行行解解的的数数量量是是无无限限的的，无无法使用全枚举法。

法使用全枚举法。

第第2节节分支定界法分支定界法2120世世纪纪60年年代代由由LandDoig和和Dakin等等人人提提出出了了一一种种仅仅检检查查可可行行域域内内可可行行的的整整数数组组合合的的一一部部分分，就就能能定定出出最最优优整整数数解解的的方方法法，称称为为分分支支定定界界法法（branchandboundmethod）。

）。

一、分支定界法的提出一、分支定界法的提出22它它是是在在枚枚举举法法基基础础上上的的改改进进，是是一一种种隐隐枚枚举举法法（implicitenumeration）或或部部分分枚枚举举法法，不不是是一一种种有有效算法。

效算法。

23特特点点：

它它比比枚枚举举法法优优越越，因因为为它它仅仅在在一一部部分分可可行行解解的的整整数数解解中中寻寻找找最最优优解解，计计算算量量比比枚枚举举法法要要小小。

但但若变量数目很大，则其工作量也相当可观。

若变量数目很大，则其工作量也相当可观。

24步骤步骤1求解整数线性规划问题求解整数线性规划问题A的松弛问题的松弛问题B：

B没有可行解，没有可行解，A也没有可行解，停止；也没有可行解，停止；B有有最最优优解解，且且符符合合整整数数条条件件，B的的最最优优解解就就是是A的最优解，停止；的最优解，停止；B有最优解，但不符合整数条件，转步骤有最优解，但不符合整数条件，转步骤2。

二、分支定界法的步骤二、分支定界法的步骤25步骤步骤2分支和定界分支和定界分支分支在在B的的最最优优解解中中任任选选一一个个不不符符合合整整数数条条件件的的变变量量xj=bj，并构造两个约束条件，并构造两个约束条件，并并将将这这两两个个约约束束条条件件加加入入问问题题B，得得到到两两个个分分支支问题问题B1和和B2，并求解这两个分支问题，并求解这两个分支问题B1和和B2。

26A的的下下界界=max，max符符合合整整数数条条件件的的分分支支的目标函数值的目标函数值。

令初始令初始=0。

定界定界27步骤步骤3比较和剪枝：

比较和剪枝：

比较比较比比较较多多个个目目标标函函数数值值大大于于且且不不满满足足整整数数要要求求的的分分支支，选选择择目目标标函函数数值值最最大大的的分分支支继继续续分分支支，返返回回步步骤骤2。

28剪枝剪枝目标函数值小于目标函数值小于且不满足整数要求的分支：

且不满足整数要求的分支：

停止继续分支，即剪掉该枝。

停止继续分支，即剪掉该枝。

无可行解的分支：

停止继续分支，即剪枝。

无可行解的分支：

停止继续分支，即剪枝。

满足整数要求的分支：

停止分支，即剪枝。

满足整数要求的分支：

停止分支，即剪枝。

29例：

求解例：

求解30解：

（解：

（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题）利用单纯型法求解原问题的松弛问题B：

cj2300iCBXBbx1x2x3x40x340381050x42443018cjzj560031cj2300iCBXBbx1x2x3x46x253/811/8040/30x4923/80-3/8172/23cjzj11/40-3/4032最优解为：

最优解为：

（2）x1和和x2均为分数，任选均为分数，任选x1进行分支。

进行分支。

cj2300iCBXBbx1x2x3x46x288/23014/23-3/2340/35x172/2310-3/238/2372/23cjzj00-9/23-22/2333问题问题B2：

问题问题B1：

34问题问题B：

x1=，x2=，z=x13x14=035问题问题B1：

问题问题B：

36解：

问题解：

问题B的最终单纯形表：

的最终单纯形表：

增加了约束条件增加了约束条件x13后后cj5600iCBXBbx1x2x3x46x288/23014/23-3/2340/35x172/2310-3/238/2372/23cjzj00-9/23-22/2337将约束条件将约束条件x1+x5=3加入到单纯形表最后一行加入到单纯形表最后一行cj56000iCBXBbx1x2x3x4x56x288/23014/23-3/2305x172/2310-3/238/2300x5310001cjzj38将将x1的系数列向量变为单位向量，并计算检验数的系数列向量变为单位向量，并计算检验数cj56000iCBXBbx1x2x3x4x56x288/23014/23-3/2305x172/2310-3/238/2300x5-3/23003/23-8/231cjzj00-9/23-22/23039旋转运算旋转运算cj56000iCBXBbx1x2x3x4x56x231/8011/80-3/85x13100010x43/800-3/81-23/8cjzj00-3/40-11/4问题问题B1：

40问题问题B2：

问题问题B：

41解：

问题解：

问题B的最终单纯形表：

的最终单纯形表：

增加了约束条件增加了约束条件x14后后cj5600iCBXBbx1x2x3x46x288/23014/23-3/2340/35x172/2310-3/238/2372/23cjzj00-9/23-22/2342将约束条件将约束条件x1-x5+x6=4加入到单纯形表最后一行加入到单纯形表最后一行cj56000-MiCBXBbx1x2x3x4x5x66x288/23014/23-3/23005x172/2310-3/238/2300-Mx641000-11cjzj43将将x1的系数列向量变为单位向量，并计算检验数的系数列向量变为单位向量，并计算检验数cj56000-MiCBXBbx1x2x3x4x5x66x288/23014/23-3/23005x172/2310-3/238/2300-Mx620/23003/23-8/23-11cjzj003/23M-9/23-22/23-8/23M-M044旋转运算旋转运算cj56000-MiCBXBbx1x2x3x4x5x66x28/30101/34/3-4/35x141000-110x320/3001-8/3-23/323/3cjzj000-2-33-M问题问题B2：

45问题问题B：

x1=，x2=，z=问题问题B2：

x1=4，x2=，z=36问题问题B1：

x1=3，x2=，z=x13x14=0x23x2446（3）比比较较问问题题B1和和B2的的目目标标函函数数值值，选选择择问问题题B1进行分支：

进行分支：

问题问题B3