弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题_精品文档.ppt

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1弹性与塑性力学基础弹性与塑性力学基础第第四四章章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的基本方程与方法的基本方程与方法温翠莲温翠莲1880502636024-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.1应力与应变关系的提出应力与应变关系的提出4.1.2胡克定律胡克定律4.1.3泊松比泊松比4.1.4广义胡克定律广义胡克定律4-2基本方程基本方程4.2.1弹性阶段本构关系弹性阶段本构关系4.2.2平衡方程平衡方程4.2.3几何方程几何方程4.2.4本构方程本构方程4-3边界条件边界条件4.3.1边界问题类型边界问题类型4.3.2位移边界问题位移边界问题4.3.3应力边界问题应力边界问题4.3.4混合边界问题混合边界问题弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法34-4-44按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题4-4-55按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题4-4-66平面问题和应力函数平面问题和应力函数4-4-77圣维南原理圣维南原理4-4-88叠加原理叠加原理4-4-99悬臂梁受均匀分布载荷作用悬臂梁受均匀分布载荷作用4-4-1010简支梁受均匀分布载荷作用简支梁受均匀分布载荷作用4-4-1111具有小圆孔的平板的均匀拉伸具有小圆孔的平板的均匀拉伸4-4-1212位错引起的应力与弹性应变能位错引起的应力与弹性应变能44-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.1问题的提出问题的提出弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用1515个变量来个变量来描述。

即：

描述。

即：

66个应力分量，个应力分量，33个位移分量，个位移分量，66个应变分量个应变分量。

已学的基本方程已学的基本方程99个。

包括：

变形体的平衡微分方程（微元个。

包括：

变形体的平衡微分方程（微元体的力平衡）体的力平衡）33个，几何方程（应变位移关系）个，几何方程（应变位移关系）66个。

个。

未知变量的个数（未知变量的个数（1515）多于方程数（）多于方程数（99）必须研究受力物体必须研究受力物体的应力与应变之间的关系的应力与应变之间的关系物理方程。

对于弹性问题，即广义物理方程。

对于弹性问题，即广义胡克定律。

胡克定律。

弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法54-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.2胡克定律胡克定律11、单向拉伸（压缩、单向拉伸（压缩）：

）：

材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，两者之间满足胡克定律。

其表达式如下：

性的，两者之间满足胡克定律。

其表达式如下：

拉伸或压缩方向：

拉伸或压缩方向：

xx=xx与拉伸或压缩垂直的方向：

与拉伸或压缩垂直的方向：

yy=zz=-=-xx式中：

式中：

弹性模量弹性模量，泊松比泊松比弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法64-1广义胡克定律广义胡克定律22、平面应力状态、平面应力状态:

对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的叠加原理叠加原理是适用的。

是适用的。

平面双向拉（压）应力平面双向拉（压）应力纯剪应力状态纯剪应力状态弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法74-1广义胡克定律广义胡克定律22、平面应力状态、平面应力状态:

由于应力由于应力x的作用：

的作用：

x方向应变为方向应变为y方向应变为方向应变为由于应力由于应力y的作用：

的作用：

y方向应变为方向应变为x方向应变为方向应变为弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础同时有同时有x和和y作用在作用在x方向及方向及y方向方向的应变为的应变为（4-3）平平面面应应力力时时的的胡胡克克定定律律第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法84-1广义胡克定律广义胡克定律22、平面应力状态：

、平面应力状态：

在在xx和和yy作用下，作用下，z方向的应变方向的应变z=-（xxyy）/E在剪应力作用下，在剪应力作用下，X-Y平面内的平面内的剪剪应变与纯剪时相同，即：

应变与纯剪时相同，即：

式中，式中，为剪切弹性模量为剪切弹性模量弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础纯剪应力状态纯剪应力状态第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法94-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.3广义胡克定律广义胡克定律用相同的方法，可以导用相同的方法，可以导出出三维应力状态下三维应力状态下的各的各向同性均匀材料的广义向同性均匀材料的广义胡胡克克定定律律，其其形形式式为为：

（4-4）（各向同性均匀材料的各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的的不同方向具有相同的、E、G值值）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法104-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式将式将式（4-4）的前三式左右两边相加后，则有的前三式左右两边相加后，则有如令如令则上式可写为则上式可写为或或（4-5）（4-5）表表明明：

弹弹性性变变形形时时，体体积积变变化化与与三三个个正正应应力力之之和和即即应应力力张张量量的的球张量成正比，而与应力偏量无关。

球张量成正比，而与应力偏量无关。

弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法114-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：

引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：

（4-6）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法124-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式由式由式（4-6）及式及式（4-5），可得，可得即：

即：

式中：

式中：

ex=x-0为应变偏量分量，为应变偏量分量，为应力偏量分量。

为应力偏量分量。

用相同的方法，可得：

用相同的方法，可得：

弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法134-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.4广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：

因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：

（4-7）弹弹性性阶阶段段应应力力主主轴轴和和应应变变主主轴轴重重合合（注注意意：

应应力力或或应应变变球球张张量量对对应力主轴或应变主轴无影响应力主轴或应变主轴无影响）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法144-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.3广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式各向同性体的胡克定律各向同性体的胡克定律（4-4）是以是以应力表示应变应力表示应变，在求解某些问题，在求解某些问题时，有时需要用时，有时需要用应变表示应力应变表示应力关系。

将式关系。

将式（4-4）第一式作如下改变第一式作如下改变即得式即得式（4-6）的第一式的第一式利用式利用式（4-5）将其代入式将其代入式（4-6）便可得便可得由上式可得由上式可得弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法154-1广义胡克定律广义胡克定律4.1.3广义胡克定律的不同形式广义胡克定律的不同形式如引用如引用=并注意到并注意到则有则有用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下（4-8）称为拉梅称为拉梅（Lam）弹性常数。

用体积应变表示应力时则有弹性常数。

用体积应变表示应力时则有（4-9）如令，如令，则式则式（4-9）可写成可写成（K体积弹性模量体积弹性模量）（4-9）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法164-2基本方程基本方程4.2.1平衡方程（平衡方程（33个方程）个方程）（4-10）或或（4-10）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法174-2基本方程基本方程4.2.2几何方程（应变位移关系，几何方程（应变位移关系，66个方程）个方程）（4-11）或或（4-11）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法184-2基本方程基本方程4.2.2几何方程几何方程由应变位移关由应变位移关系导出的应变系导出的应变协调方程：

协调方程：

（4-12）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法194-2基本方程基本方程4.2.3本构方程本构方程弹性阶段本构关系为广义胡克定律弹性阶段本构关系为广义胡克定律（4-13）或或（4-13）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法204-2基本方程基本方程4.2.3本构方程本构方程如用应变表示应力，则有如用应变表示应力，则有（4-14）或或（4-14）弹弹性性与与塑塑性性力力学学基基础础第四章第四章广义胡克定律和弹性力学解题广义胡克定律和弹性力学解题的的基本方程与方法基本方程与方法214-3边界条件边界条件解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。

弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。

4.3.1边界问题类型边界问题类型三类：

位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题三类：

位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题1、位移边界问题位移边界问题物体在全部边界上位移分量已知。

如平面问题位移边界条件为：

物体在全部边界上位移分量已知。

如平面问题位移边界条件为：

其中，其中，us和和vs是位移的边界值，是位移的边界值，和和在边界上是坐标的已知函数在边界上是坐标的已知函数2、应力边界问题应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标