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第第第第11页页页页第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析1.LTI1.LTI连续系统的时域连续系统的时域分析分析：

2.2.特点：

特点：

比较直观、比较直观、物理概念物理概念清楚，是学习各种变换清楚，是学习各种变换时域时域分析法：

分析法：

函数的变量函数的变量-tt域域分析法的分析法的基础基础3.3.时域分析法主要内容：

时域分析法主要内容：

概述：

求出响应与激励关系求出响应与激励关系经典法经典法零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应冲击响应与卷积积分冲击响应与卷积积分建立线性微分方程建立线性微分方程并并第第第第22页页页页第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应连续系统的响应2.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分卷积积分2.4卷积积分的性质卷积积分的性质第第第第33页页页页一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解二、关于二、关于0-0-与与0+0+值值三、零输入响应三、零输入响应四、零状态响应四、零状态响应五、全响应五、全响应2.1LTI连续系统的响应连续系统的响应第第第第44页页页页一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+a1y

（1）（t）+a0y（t）=bmf（m）（t）+bm-1f（m-1）（t）+b1f

（1）（t）+b0f（t）高等数学中经典解法高等数学中经典解法：

完全解完全解=齐次解齐次解+特解。

特解。

对于单输入对于单输入-单输出系统的激励为单输出系统的激励为f（tf（t），响应为，响应为y（ty（t），则描述，则描述LTILTI连续系统连续系统激励与响应之间关系的数激励与响应之间关系的数学模型是学模型是nn阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程，它可写为：

，它可写为：

或缩写为：

aann=1=1第第第第55页页页页1.齐次解齐次解齐次方程：

齐次方程：

特征方程：

特征根：

后由初始条件定后由初始条件定特征根特征根n个单实特征根个单实特征根齐齐次次解解r重实根重实根1对共轭复根对共轭复根r重共轭复根重共轭复根齐次解的形式由特征根齐次解的形式由特征根定定:

待待定系数定系数Ci在求得全在求得全解解第第第第66页页页页2.特解特解特特解解的的函函数数形形式式与与激激励励函函数数形形式式有有关关如如下下表表，将将特特解函数式解函数式代入原方程代入原方程，比较定出待定系数。

，比较定出待定系数。

激励激励f（t）响应响应y（t）的特解的特解yp（t）常数常数常数常数特征根均不为特征根均不为0特征根特征根=特征根特征根=r重特征根重特征根特征根特征根j有有r重特征根为重特征根为0第第第第77页页页页例：

描述某例：

描述某LTILTI系统的微分方程为：

系统的微分方程为：

求输入求输入时的全解。

时的全解。

解：

齐次解齐次解yh（t）齐次微分方程齐次微分方程:

其特征方程为：

其特征根其特征根则微分方程的齐次解为则微分方程的齐次解为：

全全解解=齐次解齐次解+特解特解例例题题第第第第88页页页页特解特解Py（t）：

当当，其特解可设为：

其特解可设为：

将特解代入微分方程中：

整理得：

微分方程的特解为：

则微分方程的全解为：

第第第第99页页页页由已知条件：

由已知条件：

联立求解得：

第第第第1010页页页页3.全解全解完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解注意：

注意：

齐次解齐次解的函数形式：

仅与系统本身的特性有关的函数形式：

仅与系统本身的特性有关特解中待定系数：

特解带入非齐次方程，对比求；特解中待定系数：

特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数：

在全解求得后由初始条件定。

齐次解中待定系数：

在全解求得后由初始条件定。

与激励与激励ff（tt）的函数形式无关的函数形式无关又叫又叫固有响应固有响应或或自由响应自由响应特解特解的函数形式：

的函数形式：

又叫强迫响应又叫强迫响应由激励确定由激励确定自由响应自由响应强迫响应强迫响应第第第第1111页页页页二二关于关于0-和和0+值值t=0t=0+f（t）接入接入t=0t=0t=0t=0-yy（j）（j）（0（0-）反映的是历史状态反映的是历史状态与激励与激励f（t）f（t）无关无关初初始状态或始状态或起始值起始值yy（j）（j）（0（0+）冲击函数匹配法冲击函数匹配法（00-、f（t）f（t））共同决定共同决定00+tt可能变化可能变化f（t）f（t）=右侧是否包含右侧是否包含（t）（t）、,（t）-第第第第1212页页页页0-和和0+初始值初始值举例举例例：

描述某例：

描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为已知已知解：

解：

配平的原理：

微分方程左右两端的配平的原理：

微分方程左右两端的（t）及各阶导数及各阶导数应该平衡，令应该平衡，令第第第第1313页页页页等号两端等号两端及其各阶导数的系数应分别相等及其各阶导数的系数应分别相等对等号两端从对等号两端从00-到到00+进行积分进行积分对等号两端从对等号两端从00-到到00+进行积分进行积分已知已知已知已知第第第第1414页页页页三三.零输入零输入响应响应没没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；微分方程为齐次方程，即：

微分方程为齐次方程，即：

若其特征根均为单根，则其零输入响应若其特征根均为单根，则其零输入响应:

CCzijzij-待定系数待定系数由于输入为零，故初始值由于输入为零，故初始值:

第第第第1515页页页页四四.零零状态响应状态响应系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的响应。

响应。

方程为非齐次方程方程为非齐次方程:

初始状态初始状态:

若微分方程的特征根均为单根若微分方程的特征根均为单根,则其零状态响应为：

则其零状态响应为：

其中其中：

CCzsjzsj-待待定系数定系数yypp（t）（t）-特特解解第第第第1616页页页页五五.全响全响应应由由yy（j）（j）（0（0+）由由yyzizi（j）（j）（0（0+）由由yyzszs（j）（j）（0（0+）自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应y（t）=yzi（t）+yzs（t）第第第第1717页页页页响应及各阶导数初始值响应及各阶导数初始值响应：

响应：

y（t）=yzi（t）+yzs（t）y（j）（t）=yzi（j）（t）+yzs（j）（t）（j=0,1,2,-n-1）且且y（j）（0-）=yzi（j）（0-）+yzs（j）（0-）y（j）（0+）=yzi（j）（0+）+yzs（j）（0+）第第第第1818页页页页零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应举例举例例例1：

描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”（t）+3y（t）+2y（t）=2f（t）+6f（t）已知已知y（0-）=2，y（0-）=1，f（t）=（t）求该系统的零输入求该系统的零输入响应、零响应、零状态响状态响应和全响应。

应和全响应。

解：

求解零输入响应求解零输入响应yyzizi（t）（t）形式同齐次方程：

形式同齐次方程：

yzi”（t）+3yzi（t）+2yzi（t）=0齐次方程的特征根为齐次方程的特征根为：

1，2零输入响应：

零输入响应：

yzi（t）=Czi1et+Czi2e2tyzi（0+）=yzi（0-）=y（0-）yzi,（0+）=yzi,（0-）=y,（0-）解得：

解得：

系统的零输入响应为系统的零输入响应为:

第第第第1919页页页页求解零状态响应求解零状态响应初始状态：

初始状态：

先求：

代入微分方程得：

求得零状态方程的齐次解为：

代入初始值得：

零状态响应为：

特解为特解为33当当t0t0时，时，第第第第2020页页页页系统的全响应为：

系统的全响应为：

全响应自由响应强迫响应全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应暂态响应稳态响应暂态响应稳态响应第第第第2121页页页页例例2：

描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y（t）+2y（t）=f”（t）+f（t）+2f（t）若若f（t）=（t）时，时，求零状态响应。

求零状态响应。

分析：

LTI系统零状态响应：

线性和微分特性系统零状态响应：

线性和微分特性设设f（t）作用于系统：

零状态响作用于系统：

零状态响应应y1（t）根据根据LTILTI系统微分特性：

系统微分特性：

y1（t）=T0,f（t）即：

满即：

满足足y1（t）+2y1（t）=f（t）根据线性性质：

根据线性性质：

第第第第2222页页页页系统的全响应为：

系统的全响应为：

全响应自由响应强迫响应全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应暂态响应稳态响应暂态响应稳态响应第第第第2323页页页页2.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应概述：

概述：

1.1.学习了学习了22种种求求LTILTI系统响应的方法系统响应的方法自由响应自由响应+强迫响应强迫响应零输入相应零输入相应+零状态响应零状态响应下面一节的内容，针对下面一节的内容，针对零状态零状态响应的求取，响应的求取，找寻一种好方法。

找寻一种好方法。

第第第第2424页页页页2.2.把一激励信号（函数），分解为把一激励信号（函数），分解为冲击冲击函数或阶函数或阶跃函数之和跃函数之和（积分），只要求出了系统对冲击函积分），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用数或阶跃函数的响应，利用LTILTI系统的特性，系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就是下面要学习的内容。

是下面要学习的内容。

第第第第2525页页页页一、冲激响应一、冲激响应1定义LTI系统系统x（0）=0对于对于LTI系统，当系统，当起始状态为零起始状态为零时，输入为单位时，输入为单位冲激函数冲激函数（t）所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为单位冲激响称为单位冲激响应，简称冲激响应，应，简称冲激响应，记记h（t）。

第第第第2626页页页页2系统冲激响应的求解例例11描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为yy”（t）+5y（t）+5y（t）+6y（t）=（t）+6y（t）=f（tf（t），求其冲激响应，求其冲激响应h（t）h（t）。

解：

根据解：

根据h（t）h（t）的定义有的定义有h”（t）+5h（t）+6h（t）=（t）h（0-）=h（0-）=0由于由于（tt）及其导数在及其导数在t0+时都为零，因而方程式时都为零，因而方程式右右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与与齐次齐次解的形式相同。

解的形式相同。

微分方程的特征根为：

-2，-3。

故系统的冲激响应为：

h（t）=（C1e-2t+C2e-3t）（t）第第第第2727页页页页因方程右端有因方程右端有（t）（t），故利用系数平衡法。

故利用系数平衡法。

hh”（t）（t）中中含含（t）（t），hh（t）（t）含含（t）（t），hh（0（0+）hh（0（0-），h（t）在在t=0连续，即连续，即h（0+）=h（0-）。

积分得积分得由上式可得由上式可得h（0+）=h（0-）=0,h（0+）=1+h（0-）=1h（t）=（C1e-2t+C2e-3t）（t）求得求得CC11=1,C=1,C22=-1,=-1,所以所以h（t）=（e-2t-e-3t）（t）第第第第2828页页页页总结总结：

若

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