二次型及其标准形.ppt

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第五节第五节二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为都为二次型；二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形.11用和号表示用和号表示对对二次型二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法22用矩阵表示用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系解解例例设设四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：

寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：

寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解11写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例22从而得特征值从而得特征值22求特征向量求特征向量33将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组44将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为解解例例33五、小结五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第六节第六节用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？

为标准形？

问题的回答是肯定的。

下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。

下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解例例11含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为所用变换矩阵为解解例例22由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得再配方，得所用变换矩阵为所用变换矩阵为二、小结二、小结将将一个二次型化为标准形，可以用一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩第七节第七节正定二次型正定二次型一、惯性定理一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型二、正二、正（负负）定二次型的概念定二次型的概念例如例如三、正三、正（负负）定二次型的判别定二次型的判别推论对称矩阵推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：

为正定的充分必要条件是：

的特征值全为正的特征值全为正这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理33对称矩阵对称矩阵为为正定正定的充分必要条件是：

的充分必要条件是：

的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵为为负定负定的充分必要条件是：

奇数阶主的充分必要条件是：

奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例例11判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例22判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知是正定矩阵，是正定矩阵，例例33判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：

）的判别方法：

（1）

（1）定义法定义法；

（2）

（2）顺次主子式判别法顺次主子式判别法；（3）（3）特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导作业：

作业：

P13628，32