一五一一六四.docx

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一五一一六四

一五一、所有三角形都是等腰三角形

这道题需要用到一些你现在还没学到的欧几里得几何学知识不过也并不复杂．你只要知道以下几个事实就可以明白了．

等腰三角形有两条相等的边．（第三条边也可以相等，这样就是等边三角形了，但是它也算等腰三角形．）由于绘制三条边都不等的三角形比较容易，因此本节的标题显然是错误的．尽管如此，下面是表明该标题是正确的几何证明．

（）设有一任意三角形．

（2）绘制一条直线，将顶角平分，因此角等于角．在底边的中点处绘制一条直线，使之与底边垂直，那么．它与前面的直线相交于三角形内的一点．

（）从向另外两个角和处绘制直线．绘制和，使得角、、和是直角．

（）三角形和是全等的．即，它们有相同的形状和大小（不过一个三角形是另一个三角形的翻转过来的样子）．原因是角等于角，角等于角，边是两个三角形的共同边．

（）因此，线段等于．

（）因而线段等于．

（）因为是的中点，与成直角，所以线段等于．

（）但是现在三角形和是全等的．原因是，，角等于角．

（）因此．

（）将第步和第步结合起来，．因此线段等于，即三角形是等腰三角形．

上面的证明中哪里出错了？

（提示：

并不是因为使用了全等三角形．）

【答案】见解析

【解析】错误在于天真地断定在三角形内．如果你精确地绘图，会发现它不在三角形内．事实也证明，恰好也在三角形外的点和之一上．在这种特定的情况下，不在和内．但是另一个点在三角形“内”（嗯，在它的边上，但不是它外面）．这里位于和之间．下图清晰地表达了我的意思：

现在论点不成立了．我们还发现，且（第步和第步）．但是在第步，，而不是．然而，仍然是．因此我们得出线段和相等的结论．

像这样的谬论解释了为什么数学家如此迷恋证明中的隐性逻辑假设．

一五二、根据年龄的平方猜出生年份

那是年月日的午夜，均不到岁的阿尔菲和贝蒂在谈论日历．

“曾经有一年是我父亲的年龄的平方，”贝蒂骄傲地说，“他活到了岁！

”

“将来有一年会是我的年龄的平方，”阿尔菲回答道，“虽然我不知道我能不能活到岁”．

贝蒂的父亲和阿尔菲分别是哪一年出生的？

【答案】见解析

【解析】我们要求的平方数在前后．做一个小试验，可以知道，．由这一数据可以推算，贝蒂的父亲生于年（因此他死于年），阿尔菲生于年．

排除其他答案的过程是：

之前，贝蒂父亲出生的年份可能会是年，因此他会死于年，这样贝蒂就会超过退休年龄了．阿尔菲的下一个可能的出生年份会是年，那样他不可能在年之前出生．

一五三、哥德尔定理

年，数学家、逻辑学家库尔特·哥德尔证明了两个颇具独创性的重要定理，它们给数学中形式推理的力量设置了不容忽视的限制．哥德尔的这两个定理回应了戴维·希尔伯特开创的一个研究计划，他确信整个数学可以放在一个公理的基础上．也就是说，应当能够列出一个基本假设清单，或者说是“公理”，并由这些公理推断其他数学定理．另外，希尔伯特预期能够证明下面两个关键特性：

□系统是逻辑上一致的——不可能推断出两个互相矛盾的声明．

□系统是完整的——每个声明要么有一个证明，要么有一个反证．

希尔伯特想出来的这种公理的“系统”比算法的基础性更强——有点像乔治·康托年提

出并在接下来的几年里发展着的集合理论．以集合为出发点，产生了一些定义整数、算法的常规操作及负数、有理数、实数及复数等的方法．因此，将集合理论作为一种公理，会对数学的其余部分自动起作用．证明集合理论的公理系统是一致而完整的，也会对数学的其余部分产生同样的作用．由于集合理论在概念上比算法简单，因此这似乎是一种合理的推广方式．事实上，甚至还有一种候选的集合

理论公理化方式，是由伯川德·拉塞尔和艾尔弗雷德·诺思·怀特海在他们长达三卷的论文《数学原理》中提出的．此外还有其他多种方式．

希尔伯特成功地将他的计划中重要部分问前推进了一点，但是哥德尔仍然证明了希尔伯的课题有

一些瑕疵．哥德尔在年发表了论文“关于《数学原理》中形式上不可判定的命题及相关系统I”，其中证明了没有这样的做法能成功，使得希尔伯特的计划流产了．

哥德尔竭尽全力将他的证明放在严格逻辑的上下文中，并且避免几个微妙的逻辑陷阱．事实上，他的论文中的大部分是专门建立这些背景思想的，它们的技术性非常强，称为“递归可枚举集合”．

这个论文的高潮可以非正式地描述为两个生动的定理：

□在包括算法颇为丰富的形式系统中存在不可判定的声明（在该系统中既不能被证明也不能被反

证的声明）．

□如果一个包括算法丰富的形式系统逻辑上是一致的，那么不可能在该系统中证明它的一致性．

第一条定理并不只是说对某些恰当的声明的证明或反证比较难．它强调了不存在证明，也不存在反证．这意味着“真”和“假”之间的区别不等同于“可以证明”和“不可证明”之间的区别．在传统逻辑中（包括在《数学原理》中使用的逻辑）每个声明要么是真的，要么是假的，而且不能两者都成立．由于任一真声明的否定非是假的，假声明的否定是真的，因此传统逻辑遵循“排中律”：

给定任一声明，那么和非中只有一个为真，另一个为假．要么等于，要么不等于．两者必取其一，不能两者都是真．

现在，如果有一个证明，那么一定是真的——这是数学家建立他们的定理的真实性的方法（在数学意义上）．如果有反证，那么非一定为真，因此一定为假．但是哥德尔证明了对于某些声明，无论是还是非，都有证明．因此，一个声明可以被证明，被反证，或者既不能被证明，也不能被反证．如果都不能，那么就说该声明“不可判定”．因此，现在有第三种可能性，“中间状态”不再被排除在外．

在哥德尔之前，数学家们本能地以为任何真声明都是可证明的，任何假声明都是不可证明的．寻找证明或反证可能非常难，但是没有理由怀疑一定存在证明或反证．因此数学家认为“可以证明”等同于“真”，“不可证明”等同于“假”．他们更喜欢证明和反证的实际概念，而不是真和假这样深奥棘手的哲学概念，因此他们大多满足于证明和反证．因此当有人发现有一个逻辑上没有人能企及的瑕疵时，他们比较苦恼．在常规算法中也是如此！

哥德尔通过寻找逻辑悖论“这个声明是假的”的形式版本来建立他的不可判定声明，或者更精确的版本“这个声明没有证明”．然而，在数学逻辑中，不允许声明指代自身．事实上，“这个声明”在形式系统中并没有实际意义．哥德尔通过将数字代码与每个形式声明关联起来，找到了一种不必打破规则就可以获得大致相同结果的巧妙的方式．这样，任何声明的证明都对应于相应代码数字的某种转换序列．因此，形式系统可以建模算法，但是算法也可以建模形式系统．

在这个建立过程中，假设形式系统逻辑上是一致的，大体上解释为“这个声明没有证明”的声明一定是不可判定的．如果有证明，那么为真，因此与它的规定特性“没有证明”相矛盾．但是事先假设该系统逻辑上是一致的，因此不会发生这种情况．另一方面，如果没有证明，那么是真的．因此，非没有证明．所以和非都没有证明．

从这里到第二条定理之间有一小步要走．如果形式系统是一致的，那么肯定没有它是一致的证明．我总是想，这相当似是而非．将算法看作一名熟练的汽车销售人员．希尔伯特想问销售人员：

“你诚实吗？

”，并得到保证诚实的回答．哥德尔争辩道，如果你问他这个问题，他说，“是的，我是诚实的，”这并不能保证他是诚实的．你是否会因为有人说他说的是真的，就相信他说的是真的？

法庭肯定不会就这样相信．

因为技术上比较复杂，所以哥德尔在一个算法的一个特定形式系统中证明了他的定理，即在《数学原理》中的那个．因此，一个可能的后果可能是该系统是不充分的，需要一些更好的东西来填充．但是哥德尔在他的论文的前言中指出，对于算法的任何其他形式系统，应用的原理也是相似的．修改公理没有益处．他的接班人填充了必需的细节，希尔伯特的计划注定要完蛋．

现在大家知道了，有几个重要的数学问题是不可判定的．最著名的可能是图灵机的中止问题（它实际上是要寻找一种方法，来事先判断一个计算机最终会给出答案并停机，还是永远计算下去）．阿兰·图灵证明了有些程序是不可判定的——没有办法证明它们会停机，也没有办法证明他们不会停机．

【答案】

【解析】

一五四、如果不是分数，如何计算它呢？

的近似值为并不精确，甚至很不精确．但是对于一些简单情况来说，用这个分数来代替足够了．由于我们知道不是分数，因此将它计算到非常高的精度的方式并不是那么显而易见．数学家使用了很多巧妙的公式来得到的精确值，这些公式都是精确的，而且都涉及了一些会永远进行下去的过程．只要在达到“永远”之前停止，就能找到相当接近的近似值．

事实上，数学为我们提供的东西非常丰富，因为的固有魅力之一是它出现在大量漂亮公式中的趋势．它们通常是无穷级数，无穷乘积，或无穷分数（用省略号表示）——这毫不奇怪，因为没有简单的有限表达式，除非你用微积分的形式掩人耳目．下面是几个典型公式．

第一个公式是最早的表达式之一，由弗朗索瓦·韦达在年发现．它与边的多边形有关：

下一个公式是约翰·威利斯于年发现的：

大约在年，詹姆斯·格雷戈里和莱布尼茨都发现了：

这种收敛太慢了，因而对计算没有任何帮助；也就是说，优秀的近似值需要许多项．但是在和世纪，人们常常用密切相关的级数来求的前几百位小数．在世纪，洛德·布龙克尔发现了一个无穷“连续分数”：

欧拉发现了一堆公式，如下所示：

（顺便提一下，似乎没有这样的公式：

它非常神秘，人们并没有完全理解它．特别要说明的是，这个和不是任何简单有理数乘以．我们知道这个级数的和是无理数．）

对于其他公式，需要用“西格玛符号”来求和．其中心思想是我们可以用更紧凑的形式来书写的级数：

让我展开这个公式．漂亮的符号是希腊字母的大写，用来“求和”，表示将它右边的所有数加在一起，也就是．下面的“”表示我们从开始加起，根据惯例，是依次增加的正整数．上方的表示“无穷”，代表一直加这些数直至永远．因此，这个公式与我们前面看到的级数表达式相同，只不过写成了这样的指令：

“对于，，，将项相加，一直继续下去．”

大约年，乔纳森和彼得·波温发现了这个级数：

它的收敛极快．年，大卫·贝利、彼得·波温和西蒙·普劳夫发现了一个空前的公式：

为什么这个公式如此特殊？

因为它可以实现计算的特定位的数字，而不需要先计算它前面的数字．美中不足的是它们不是十进制数字：

它们是十六进制（基数），通过它我们也可以计算基数为（八进制）、基数为（四进制）、基数为（二进制）的给定数字．年，法布里·巴拉德用这个公式得出的第亿位十六进制数字为．在两年的时间里，这一记录被提升到了万亿位十六进制数（万亿二进制数字）．

的十进制数的当前记录由泰昌金田和他的伙伴保持，他们在年计算出了前亿位数．

【答案】

【解析】

一五五、无限财富

在概率论出现的早期，有人（主要是伯努利家族的各个成员，他家代都是数学家）花了大量精力研究一个奇怪的问题——圣彼得堡悖论．

你跟银行玩抛硬币游戏，一直抛硬币直到它第一次落地时正面朝上．你持续抛硬币的时间越长，银行付出的就越多．事实上，如果你在抛第一次时就是正面朝上落地，银行会付你英镑．如果你第二次抛的时候正面朝上，银行付你英镑．如果在第三次抛时正面朝上，银行会付你英镑．一般来说，如果你在抛第次时正面朝上，银行会付你英镑．

问题是：

你愿意付多少钱来玩这个游戏？

答案是：

你应当从长远的观点来计算你的“预期”赢率，概率规律会告诉你如何计算．在第一次抛硬币时正面朝上落地的概率是，然后你赢得了英镑，因此第一次抛硬币的预期收益是英镑．第二次抛硬币才出现正面朝上落地情况的概率是，然后你赢得了英镑．因此，在二次抛硬币时的预期收益是继续这样做，第次抛硬币的预期收益是．总之，你的预期收益金额是

永远继续下去，它是无限的．因此，你应付银行无限多的英镑来玩这个游戏．

如果有问题的话，问题出在哪里？

【答案】见解析

【解析】无论你赢得多少，数目都是有限的（除非游戏永远继续，你总是在抛硬币，在这种情况下你能赢得无限多的金钱