复杂排列数与组合数练习题.docx
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复杂排列数与组合数练习题
复杂排列数与组合数练习题
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固
1.分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，?
，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，?
，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:
由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
两个位置.
1
先排末位共有C3
1
然后排首位共有C最后排其它位置共有A43
113
C3A4?
288
由分步计数原理得C4
练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不
种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2.人站成一排
其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一
个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有A55A2
2A22?
480种不同的排法
练习题:
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为0
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,
则节目的出场顺序有多少种？
解:
分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步
将4舞蹈插
4
入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,
4
由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55A6
练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为0四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其
他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的
3
全排列数,则共有不同排法种数是：
A77/A3
4
设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其
4
余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A7种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
EABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
1mAnn
练习题：
6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊
1
元素有A24种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5
215个位置上任意排列有A55种,则共有A4A4A5种
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题：
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规
定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是46
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:
第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素
装入4个不同的盒内有A4根据分步计数4种方法，
4原理装球的方法共有C52A4
练习题：
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不
同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有19种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在
两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：
把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A2再排小集团2种排法，
2222
AA内部共有A2种排法，由分步计数原理共有222A2A2种排法.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一
行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，
54
那么共有陈列方式的种数为A22A5A4
55
2.男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种
十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个
空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。
二班三
班
六班七班
将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，m?
1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?
1
练习题：
1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C94
3
.x?
y?
z?
w?
100求这个方程组的自然数解的组数C10十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：
这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C53,
12123C5,和为偶数的取法共有C5C5?
C5只含有1个偶数的取法有C5。
再淘汰和123
C5?
C5?
小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出
它的反面,再从整体中淘汰.
练习题：
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
2014高考数学排列与组合专项训练
一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略
例1：
用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24个B．30个C．40个D．60个
例2：
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
例3：
平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有____个．例4：
在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?
例5：
某种产品有4只次品和6只正品．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?
例6：
由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A、210个B、300个C、464个D、600个
三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
例7：
4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种．
四、正难则反、等价转化策略
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数，再减去不符合要求的排列数，从而使问题获得解决的方法．其实它就是补集思想．
例8：
马路上有编号为1、2、3、?
、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯
方法共有_______种．
例9：
有2个a，3个b，4个c共九个字母排成一排，有多少种排法?
例10：
四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A．150种B．147种C．14种D．141种
例11：
从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种．
五、解相邻问题——采用“捆绑”策略
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列．
事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。
让这些特殊元素合成一个元素，与普通元素排列后，再松绑．
例12：
A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不同排法有
A．24种B．60种C．90种D．120种
例13：
5人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法?
例14：
计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种?
A、B、
C、
D、
例15：
5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有_____种．
六、解不相邻问题——采用“插孔”策略
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素在
这些排好的元素之间及两端的空隙中插入．
例16：
7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是
A．1440种B．3600种C．4320种D．4800种
例17：
要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问有多少种不同排法?
分析：
先将6个歌唱节目排成一排有
个“间隔”可以插入4个舞蹈节目有种排法，6个歌唱节目排好后包括两端共有7·6！
＝604800种不同排法．种，故共
例18：
从1，2，3，?
，2000这2000个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?
例19：
一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?
七、解定序问题——采用除法策略
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”．例20：
信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________．
例21：
有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?
例22：
不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?
解：
若3堆有序号，则有
有/＝9240种．·
，但考虑有两堆都是3支，无须区别，故共八、解分排问题—采用直排处理的策略
把n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理．
例23：
两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8位学生坐。
则不同的坐法种数是
A、
B、
C、
D、
九、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列．
例23：
三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有
A．36种B．18种C．12种D．6种
十、解较复杂的排列问题——采用构造型策略
对较复杂的排列问题，可通过构造一个相应的模型来处理．
例24：
某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有_________种．
例25：
将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少1个名额，
问名额分配方法有多少种?
例26：
6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法?
例27：
对正方体的8个顶点作两两连线。
其中异面直线的有对．
A．156B．174C．192D．210
强化练习：
1.用0到9这十个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
2、三个女生和五个男生排成一排
如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
3、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
4、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．
5．5名男生、2名女生站成一排照像：
两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
排列组合
复习巩固
1.分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有
m种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，?
，在第n类办法中
有mn2.分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，?
，做第n步有mn种不同
3.分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
二.相邻元素捆绑策略
例2.人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈
2个相声,3个独唱
舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不n同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种
六.环排问题线排策略例6.人围桌而坐,共有多少种坐法?
1mAn一般地,n个不同元素作圆形排列,共有!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有n
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
1
将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个
m?
1空隙中，所有分法数为Cn?
1
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
十二.平均分组问题除法策略
例12.本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An避免重复计数。
练习题：
1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______
十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：
十四.构造模型策略
例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2
盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
十六.分解与合成策略
例16.0030能被多少个不同的偶数整除
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后
的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归策略
例17.5人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
2
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种
不同的取法一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.
二十一：
住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：
一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.
排列组合易错题正误解析
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.
例在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种.
3A4
3C434
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例45本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
480种240种120种96种
例某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有种.
5040126010630
4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有
36个个6个2个
5忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.
例如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.
例已知ax
?
b?
0是关于x的一元二次方程，其中a、b?
{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值
种数是
1024种1023种1536种1535种
7题意的理解偏差出错
例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有种.
358633384A8?
A6?
AA5?
A3A8?
AA6?
A5
8解题策略的选择不当出错
例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，
则不同的分配方案有.
16种18种37种种
3
排列与组合习题
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为
A．40B．50C．60D．70
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有
A．36种
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