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结构力学位移法
第7章位移法
1.教学目的
掌握位移法的基本概念；
正确的判断位移法基本未知量的个数；
熟悉等截面杆件的转角位移方程；
熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法
了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
2.主要章节
§7-1位移法的基本概念
§7-2杆件单元的形常数和载常数一位移法的前期工作
§7-3位移法解无侧移刚架
§7-4位移法解有侧移刚架
§7-5位移法的基本体系
§7-6对称结构的计算
衣§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）
§7-8小结
§7-9思考与讨论
三•学习指导
位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规
^定。
四•参考资料
《结构力学（I）基本教程第3版》P224〜P257
第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位
移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由
结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：
①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）②基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）
§7-1位移法的基本概念
1.关于位移法的简例
为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：
课本P225o图7-1
和图7-2所示。
（a）
（b）
（a）
（b）
第一步：
从结构中取出一个杆件进行分析。
（杆件分析）
图7-2中杆件AB如已知杆端B沿杆轴向的位移为Ui
（即杆件的伸长）贝U杆端力
FNi^Ui
li
（7-1）
E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，h-为杆件长度
EAi
li
--使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力
--刚度系数
公式（7-1）的物理意义：
表明杆件的杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系---杆件的刚度方程。
第二步：
把各杆件综合成结构。
（整体分析）
各杆端位移Ui与基本未知量之间的关系为：
UiSini（a）
5
B点的平衡条件为Fy0得：
FmSiniFp（b）
i1
由7-1式和（a）式带入（b）式得:
2
i1卞Sini
5EA
Fp（c）
（c）式就是位移法的基本方程，它表明结构的位移
与荷载Fp之间的关系。
由（c）式
可得:
Fp
5呂Si『i
i1li
（d）完成了位移法中的关键一步
求各杆轴力可将求得的
代入（a）式得ui
Fp
5邑Sin2
i1li
-Sin
i
i再代入（7-1）得:
FNi
%Sini
li
Fp
（e）
在图7-1中如果只是两根杆时结构是静定的（相当于固定一个结点的方式，用两根不共线的链杆）。
当杆数大于2时，结构式超静定的。
所以用位移法计算时，计算方法并不因结构是静定结构还是超静定结构而有所不同。
由以上简例可以归纳出位移法的要点如下：
（1）位移法的基本未知量是结构的结点位移（图7-1中的B点的位移）
（2）位移法的基本方程是平衡方程（B点的y方向的投影平衡方程式Fy0）
（3）建立基本方程的过程分为两步：
a：
将结构拆成杆件，进行杆件分析得出杆件的刚度方程；b：
再把杆件综合成结
构，进行整体分析得出基本方程。
（4）根据位移法方程解出基本未知量并由此计算各杆的内力。
位移法就是将结构拆了再搭的计算过程一基本思路。
杆件分析是结构分析的基础，杆件
的刚度方程是位移法的基本方程的基础。
因此位移法也称为刚度法。
位移法与力法的区别：
1.主要区别是基本未知量不同：
力法是取结构中的多余未知力作为基本未知量；位移法是以结点位移（线位移和角位移）作为基本未知量。
2.建立的基本方程不同：
力法是由变形协调条件建立位移方程；位移法是由平衡条件建立的平衡方程。
注：
力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。
1
I
>f
1
如左图所示：
力法计算，9个基本未知量;
位移法计算，1个基本未知量
2.位移法计算刚架的基本思路
以上结合链杆系的情况对位移法的基本思路做了简短的说明。
现在再结合刚架的情况作进一步的介绍。
在刚架的分析中，通常只考虑弯曲变形，忽略剪切和拉伸变形。
下面结合简单实例说明位移法的基本思路。
B
&
A
A
gB
B
图7-3
如图7-3a所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件ABBC在结点B处有相同的转角9，称为结点B的角位移。
将整个刚架分解为ABBC杆件，则AB杆件相当于两端固定的单跨粱，固定端B发生一转角9（图7-3b），BC杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在B端发生角位移（图7-3c）。
如果能够求出角位移，贝唯够计算出杆件的内力，问题的关键是求结点的角位移。
用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。
对于位移法的基本计算将在今后具体分析。
§7-2等截面杆件的刚度方程
1.教学目的
本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。
2.主要内容
1.由杆端位移求杆端弯矩
（1）
由杆端位移求杆端弯矩
（2）
2.由荷载求固端弯矩
（1）
由荷载求固端弯矩
（2）
三•学习指导
本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系和符号。
根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两个问题：
由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。
四•参考资料
《结构力学教程（I）》P227〜P232
7.2.1由杆端位移求杆端弯矩
（1）
图7-4为等截面杆件，截面惯性矩为常数。
已知端点A和B的角位移分别是9a和9b，
两端垂直于杆轴的相对线位移为△，拟求杆端弯矩Mab、Mba
图7-4
在位移法中位移的正负号规定为：
结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正点一定要注意与以前的不同。
应用单位荷载法可得出：
日屈二召必冊-&肚曲十y
门121"A
比“鬲如亠矛呢+了
杆件的线刚度i=EI/l
解联立方程可得：
业务三去疔厘十右刃卫-6i#
M=2i9A-\-4a巳—&*
利用平衡条件可求出杆端剪力如下：
张二加二-孚巧-千叭+学右
于是可将上式写为：
Afjis
4i
2i
—
石
Ma
二
21
4t
12i
_张_
6i
6j
_A_
~T
"7
则矩阵
--1V
412i6i「
称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。
上面公式利用力法计算过程：
1.用力法来计算简支梁在两端力偶Mab、MBA作用下产
生的杆端转角A、B。
EI
厂
MAB
mp图
1（c）
l
EI
（3Mab
-m
BA）
1_[（MabMba）1
El[2
Mba1
2
El
（3MBA
Mab）
6
2.考虑两端有相对竖向位移?
图7-5
I!
I!
AB—
杆件的线刚度i=EI/l,所以:
&豆二禹必血一石肚曲+了
下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。
7.2.1由杆端位移求杆端弯矩
（2）
根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程
4!
2i
—
石
M£iA
二
2i
4t
12i
6i
A
[T
"7
以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。
对于图7-6aB端为固定支座，9b=0，则得
对于图7-6bB端为铰支座，MBa=0，则得
3i6-3i-
对于图7-6cB端为滑动支座,
0B=0和FqAB=0FqBA=O，则得
图7-6
F面将讨论由荷载引起的固端弯矩
723由荷载求固端弯矩
（1）—载常数
对于常见的三种粱：
两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下
表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力用MAb、MBa、Fqba、
fQ^ba表示，其正负号要注意。
因为它们只与荷载形势有关的常数，所以又称载常数。
下面是
固端弯矩和剪力，表7-10
弩戡ilii岂村的阖甥弯JHfli計力
简图
固唏少力
皿临
*
（MJ
FpoA
端
同
工
nniniintnin
%■宀瞬
-F“（+字）
-回嶋盘矩t触时创为疋）
-g-
£7G■"S
JT
HJTitHI"
3
_F屛
S-
EiaA
A~
简田
K4IW炬《以駅时仲丹向为庄）
皿土-备
一噩定臭一■«支
=0
O
-一
4
4
-網囲定另一«桶功支乘
J
10
ga_3__仁扌+##
才—_3环』
=磊F卜心=■一备片
11
A3_
Ar=/,-r2
ijr3KZaAz
皿Sa1
_3皿4
2AZ
最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为:
加恥二4诂卫+2】比-+M爲
M函=2诂卫+G%—磁学+M免
上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。
§7-3无侧移刚架的计算
1.教学目的
本节是位移法在计算刚架中的直接应用，能够正确的确定基本未知量，熟练的掌握转角位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。
2.主要内容
1.一般概念及过程
2.实例分析
3.学习指导
本节的关键是转角位移方程的应用，其中荷载项可查表计算，注意正负号的规定，要多进行练习。
4.参考资料
《结构力学（I）》P232〜P235
7.3.1一般概念及过程
无侧移刚架：
刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。
下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程。
图7-8a为一连续粱，试分析内力。
167
20kii
BA
1L57
kNm
3.21
（7
15.S
图7-8
1.基本未知量只有结点B的角位移9b
2.查表列出各杆的固端弯矩
F
AB
FpL
8
15Mpa；MBa15Mpa；MBe
8
qL
8
9Mpa
3.各杆的杆端弯矩:
4.建立位移法基本方程，结点
B为隔离体图7-8b，列平衡方程，并求解
同二0M函+A/■却二0
即7油g+
s.=-4-
5.计算各杆杆端弯矩
=-16.72kl<*tn11.57kN-mM託二一1157kNm
最后画出弯矩图（图7-8c）。
画图时注意弯矩画在受拉一侧
般的情况，每一个刚结点由一个结点转角
----基本未知量；与此相应，在每一个刚结
点处又可写一个力矩平衡方程----基本方程。
刚架分析
7.3.2实例分析
利用位移法计算图7-9a刚架的内力
L
rj
4/
pn
k4/^7
[3i
\31
7^
总J
L
4tn
5m
（乱）
图7-9
1.基本未知量
共有两个刚结点，因而有两个基本未知量：
9b和9c
2.用转角位移方程表达杆端弯矩
固端弯矩
iL=40kN-m
S
2
=-X—=-41.7kN灿
肚12
应=41.7kiJ-ni
各杆线刚度的计算
_4EI.5£Z_._4出
也——11卫亡—15—*
3BI3.3E11
站44讲62
列各杆的杆端弯矩
M戲=赛酬禺十“红=孑為+40
bc*=亜真。
丑斗2工+21/=4日$4-—41.7Af^g=务涸卫+巫斡召u十“俭=宓垂十4%+41.7M個二玉异
M昶=4i/$=33s=L5务
=4心%=2&cM比=&c
3.利用结点BC的力矩平衡方程（图7-9b）
倉M舸+Mu+朋型=Q
即10日占十2日口一17二0
yM芒二0M酸十M妙+M=0
即+
4.求基本未知量
9b=1.150c=-4.89
5.计算杆端弯矩并画弯矩图（图7-9c）
=43.5kN*m
=—46.9kN,m
Moe
=245kN-m
=-147kI-T+m
二1了kN加
”才
-一9.78kN'in
=-4.89kN,fn
§7-4有侧移刚架的计算
1.教学目的
通过本节的学习，要能够正确的确定位移法基本未知量----刚结点的角位移、独立的结
点线位移，掌握转角位移方程的应用并能够求解有侧移刚架的内力。
2.主要内容
1.基本未知量的选取
2.基本方程的建立及应用
3.学习指导
本节的关键是转角位移方程的应用，注意独立线位移的确定，及截面平衡方程的建立，注意与无侧移刚架的相同点与不同点。
4.参考资料
《结构力学（I）》P235〜P242
7.4.1基本未知量的选取
结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设：
（1）忽略由轴力引起的轴向变形；
（2）结点位移都很小；
（3）直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。
如图7-5所示的两个刚架，在荷载作用下发生变形（角位移没有标出），结点处都有水平位移-----结点线位移。
图7-5a图7-5b
根据假设，图8-5a结点C和D的水平位移相等，因此，只有一个结点线位移，同理图7-5b结点E和F的水平位移相等，结点C和D的水平位移相等，有两个结点线位移。
一般的如何确定位移法的基本未知量，主要有：
一个刚结点有一个角位移；
一层有一个独立结点线位移-----独立结点线位移的数目等于刚架的层数
对于图7-5a的结构共有三个基本未知量----两个角位移、一个独立结点线位移，图7-5b共有6个基本未知量----四个角位移、二个独立结点线位移。
对于独立结点线位移还可以采用铰化法进行判断，即将所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，则体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移的个数。
下面具体考虑如何进行计算
742基本方程的建立及应用
用位移法计算有侧移的刚架时，基本思路与无侧移刚架基本相同，但应考虑
1.在基本未知量中，要包括结点线位移；
2.在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。
下面结合实例进行分析：
2让1
"丨ISn,lrBiI
2i=1;=1
乐A［加虽弘
L如仏（I.）
273
A
10.55
伍）
4.69
图7-6
图7-6a所示的刚架，试做出弯矩图。
1.确定基本未知量
共有两个未知量----刚结点C的转角9c和横梁CD的水平线位移△
2.建立各杆的转角位移方程
3.建立位移基本方程，求解基本未知量取结点C为隔离体，列力矩平衡方程得
AC、BD杆为隔离体（图7-6d、e），
为了建立与独立线位移的相应的平衡方程，分别取求出FQCA和FQDB
05A_A
"I--12
建立与独立线位移相应的平衡方程，取横梁CD为隔离体（图7-6c），列水平投影平衡方程
通过基本方程求解基本未知量
4.计算杆端弯矩
5.画弯矩图（图7-6f）
一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等,正好全部求解基本未知量。
§7-5位移法的基本体系
1.教学目的
通过本节的学习，了解位移法的基本体系与典型方程的物理意义和解法，能够应用基本体系进行内力分析。
2.主要内容
1.位移法基本体系的概念
2.实例分析
三•学习指导
本节的主要内容是位移法的基本体系，学习过程中，应与力法的基本体系相联系，注重概念的理解，特别是相关的物理意义。
四•参考资料
《结构力学（I）》P297〜P301
7.5.1位移法基本体系的概念
前面讨论了基于转角位移方程的位移法基本运算，下面从基本体系的角度说明其物理意义。
在有侧移的刚架一节中讨论了图7-7a所示的刚架，下面以此为例介绍位移法的基本体系,
目的是可以进行相互对照
nJ
图7-7
为了统一，将未知量都用△表示，以便于与力法中的基本未知量X相对照。
结构的基本体系（图7-7b），在刚结点C增加刚臂约束控制结点C的转角，在结点D加水平支杆控制结点D的水平位移。
与此同时，结点B不能转动，结点C的不能移动，这个超静定结构称为位移法的基本结构（图7-7c）。
现在利用基本体系来建立基本方程。
1.控制附加约束，使结点位移△1和△2全部为零，结构处于锁住状态，施加荷载，可求
出结构的内力，同时在附加约束中产生反力Fip和F2P。
这些约束力在原结构中是没有的。
2.再控制附加约束，使控制点发生位移如果位移与原结构相同，则附加约束反力完全消失，附加约束不起作用，基本体系与原结构完全相同。
由此得出基本体系转化为原结构的条件：
基本结构在给定荷载以及结点位移△1和△2共
同作用下，附加约束反力应等于零。
即
Fi=0
F2=0
利用叠加原理进行计算
1.荷载单独作用----相应的反力Fip和F2p（图7-8a）。
2.单位位移△1=1单独作用----相应的约束力kn和k21（图7-8b）o
3.单位位移△2=1单独作用----相应的约束力k21和k22（图7-8c）o
图7-8
叠加以上结果即可得到位移法的基本方程
—上］£］十左］』空+冋』二〔|理=%扛1+屁亠+只肚—0
物理意义是基本体系应当处于放松状态，附加约束力应全部为零
般情形为
上11A］+比口込+…+対』”十码F二0
J也1十…十=0
耳白+址山+…+7"+弘丸
以上就是位移法的典型方程，其系数矩阵称为结构的刚度矩阵
通过反力互等定律得
kij=kji
可知结构的刚度矩阵为对称矩阵
8.5.2实例分析
下面将应用基本体系的思想，分析图7-7a所示的结构
1.基本结构在荷载作用下的计算
Ca）压
D
◎
110
1
楝—
J
c
D
1
*千
3刁
eA
%图
3kN
0
图7-8
做基本结构在荷载作用下的弯矩图（图7-8a），利用结点C和横梁的平衡条件（图7-8b、
c），求出
Fip=3kNm
F2P=-3kN
2.基本结构在单位转角△1=1作用下的计算
图7-9
当基本结构在结点C发生转角△1=1时，作弯矩图Mi（图7-9a），利用结点C和横梁的平衡
条件（图7-9b、c），求出
kn=7i
k21=-i
2.基本结构在单位水平位移△2=1作用下的计算
图7-10
3.当基本结构在结点C、D发生线位移△2=1时，作弯矩图M2（图7-10a），利用结点C和
横梁的平衡条件（图7-10b、c），求出
ki2=-ik22=5i/12
4.列位移法基本方程，并求解出结点位移
7zAj十3=0
.5.
—zA1HiA*>—3=0
L123
A.=0.911=937-
ii
利用叠加原理
M—M丛丄++
作出弯矩图
§7-6对称结构的计算
1.教学目的
通过本节的学习，正确理解半结构法，从而选择适当的半结构进行简化计算，能够充分应用对称性质，求解对称结构。
2.主要内容
1.奇数跨对称结构
2•偶数跨对称结构
三•学习指导
对称的连续粱和刚架结构在工程中有广泛的应用。
作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。
在对称荷载作用下：
变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。
在反对称荷载作用下：
变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪力图是对称的。
利用这些结论，计算对称的连续粱和刚架时，只需计算结构的半边结构。
由于结构的计算仍采用力法或位移法，因此本节主要讨论半边结构的取法。
对称结构是工程中应用较多的结构，要正确理解对称结构的性质，掌握对称结构不同荷载作用下的应用条件，掌握的关键是将对称结构进行简化，从而达到计算简化的目的。
四•参考资料
《结构力学（I）》P302〜P306
761奇数跨对称结构
1.对称荷载
图7-11
图7-11a为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向位移，因此在计算中取半刚架图7-11b，C取为滑动支承端。
2.反对称荷载
图7-12
图7-12a为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有竖向位移，可有转角和水平位移，因此在计算中取半刚架图7-12b，C端取辊轴支座。
奇数跨结构的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载）下面讨论双跨的情况
762偶数跨对称结构
1.对称荷载
图7-13
图7-13a为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱CD没
有弯矩和剪力，不计轴向变形，因此在计算中取半刚架图8-13b，C端为固定支座。
2.反对称荷载
2
图7-14
图7-14a为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，在计算中取半刚架图8-12b的形式，对称截面处的立柱的轴惯性矩取原来的一半I/2。
双跨结构的简化是在对称轴上取不同的支座约束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下的结构也不相同。
要注意区别。
§7-7小结
位移法是以刚结点的转角和独立结点
升级会员 