结构力学位移法.docx

1、结构力学位移法第7章位移法1.教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。2.主要章节 7-1位移法的基本概念 7-2杆件单元的形常数和载常数一位移法的前期工作 7-3位移法解无侧移刚架 7-4位移法解有侧移刚架 7-5位移法的基本体系 7-6对称结构的计算衣 7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） 7-8小结 7-9思考与讨论三学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它 不仅可以解超静定结构，同时还可以

2、求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。四参考资料结构力学（I）基本教程第3版P224P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较 早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构， 按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章 位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理 可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。 因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良 好的

3、基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也 是学习电算应用的一个基础。本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：直接写平衡返程的形式（便 于了解和计算）基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵 位移法相对比，加深理解） 7-1位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路， 我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225o图7-1和图7-2所示。(a)(b)(a)(b)第一步：从结构中取出一个杆件进行分析。（杆件分析）图7-2中杆件

4、AB如已知杆端B沿杆轴向的位移为Ui（即杆件的伸长）贝U杆端力FNi Uili(7-1 )E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，h-为杆件长度EAili-使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力- 刚度系数公式（7-1 ）的物理意义：表明杆件的杆端力 FNi与杆端位移ui之间的关系-杆件的刚度 方程。第二步：把各杆件综合成结构。（整体分析）各杆端位移Ui与基本未知量 之间的关系为：Ui Sin i （a）5B点的平衡条件为 Fy 0得： FmSin i Fp (b)i 1由7-1式和（a）式带入（b）式得:2i1卞Sin i5 EAFp ( c)（c）式就是位移法的基本方程，它表明结构的位移与荷载F

5、p之间的关系。由（c）式可得:Fp5呂Siii1 li（d）完成了位移法中的关键一步求各杆轴力可将求得的代入（a）式得uiFp5 邑 Sin2i 1 li-Sinii再代入（7-1 ）得:F Ni%Sin iliFp(e)在图7-1中如果只是两根杆时结构是静定的（相当于固定一个结点的方式，用两根不共 线的链杆）。当杆数大于2时，结构式超静定的。所以用位移法计算时，计算方法并不因结 构是静定结构还是超静定结构而有所不同。由以上简例可以归纳出位移法的要点如下：（1） 位移法的基本未知量是结构的结点位移（图 7-1中的B点的位移）（2） 位移法的基本方程是平衡方程（B点的y方向的投影平衡方程式 Fy

6、 0）（3） 建立基本方程的过程分为两步：a：将结构拆成杆件，进行杆件分析得出杆件的刚度方程； b：再把杆件综合成结构，进行整体分析得出基本方程。（4） 根据位移法方程解出基本未知量并由此计算各杆的内力。位移法就是将结构拆了再搭的计算过程一基本思路。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法的基本方程的基础。因此位移法也称为刚度法。位移法与力法的区别：1.主要区别是基本未知量不同：力法是取结构中的 多余未知力作为基本未知量；位移法是以 结点位移（线位移和角位移）作为基本未知量。2.建立的基本方程不同：力法是由变形协调条件建立 位移方程；位移法是由平衡条件建立的 平衡方程。注：力法的基本未

7、知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。1I f1如左图所示：力法计算，9个基本未知量;位移法计算，1个基本未知量2.位移法计算刚架的基本思路以上结合链杆系的情况对位移法的基本思路做了简短的说明。现在再结合刚架的情况作 进一步的介绍。在刚架的分析中，通常只考虑弯曲变形，忽略剪切和拉伸变形。下面结合简单实例说明位移法的基本思路。B&AAg BB图7-3如图7-3a所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件 AB BC在结点B处有相同的转 角9，称为结点B的角位移。将整个刚架分解为 AB BC杆件，则AB杆件相当于两端固定 的单跨粱，固定端B发生一转角9 （图7-3b ），B

8、C杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱， 受荷载作用，同时在 B端发生角位移（图7-3c）。如果能够求出角位移，贝唯够计算出杆 件的内力，问题的关键是求结点的角位移。用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚 架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。对于位移法的基本 计算将在今后具体分析。 7-2等截面杆件的刚度方程1.教学目的本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和 弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。2.主要内容1.由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端位移求杆端弯矩（2）2.由荷

9、载求固端弯矩（1）由荷载求固端弯矩（2）三学习指导本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系 和符号。根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两 个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。四参考资料结构力学教程（I ）P227P2327.2.1由杆端位移求杆端弯矩（1）图7-4为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A和B的角位移分别是9 a和9 b，两端垂直于杆轴的相对线位移为 ，拟求杆端弯矩Mab、Mba图7-4在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正 点一定要注意与以前的不同。应用单

10、位荷载法可得出：日屈二召必冊-&肚曲十y门 1 2 1 A比“鬲如亠矛呢+ 了杆件的线刚度i=EI/l解联立方程可得：业务三去疔厘十右刃卫-6i#M= 2i9A- 4a 巳& *利用平衡条件可求出杆端剪力如下：张二加二-孚巧-千叭+学右于是可将上式写为：Afjis4i2i 石M a二214t12i_张_6i6j_ A_T7则矩阵-1V412i6i称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为 刚度系数，又称为形常数。上面公式利用力法计算过程：1.用力法来计算简支梁在两端力偶 Mab、M BA作用下产生的杆端转角 A、 B。EI厂M ABm p图1 (c)lEI(3Mab-mBA )1_ ( M ab M

11、ba ) 1El 2M ba 12El(3 M BAM ab )62.考虑两端有相对竖向位移 ?,图7-5I! I!A B 杆件的线刚度i=EI/l,所以:&豆二禹必血一石肚曲+ 了下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。7.2.1由杆端位移求杆端弯矩(2)根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程4!2i 石M iA二2i4t12i6iAT7以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。对于图7-6a B端为固定支座，9 b = 0 ，则得对于图7-6b B端为铰支座，MBa = 0，则得3i6-3i-对于图7-6c B端为滑动支座,0 B =0 和 FqAB= 0 FqBA = O，则

12、得图7-6F面将讨论由荷载引起的固端弯矩723由荷载求固端弯矩（1）载常数对于常见的三种粱：两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力， 又称固端弯矩和剪力用M Ab、M Ba、Fqba、fQba表示，其正负号要注意。因为它们只与荷载形势有关的常数，所以又称 载常数。下面是固端弯矩和剪力，表7-1 0弩戡ilii岂村的阖甥弯JHfli計力简图固唏少力皿临*（MJFpoA端同工nniniintnin% 宀瞬-F“（ +字）-回嶋盘矩t触时创为疋）-g-7G SJTHJTitHI3_F屛S-EiaAA简 田K4IW炬以駅时仲丹向为庄）皿土 -备一

13、噩定臭一 支= 0O-一44-網囲定另一桶功支乘J10ga_3_ 仁扌+#才_3环=磊 F 卜 心= 一备片11A 3_Ar = /, - r2ijr 3KZaAz皿 Sa 1_ 3皿42AZ最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为:加恥二4诂卫+ 2】比-+ M爲M函=2诂卫+G% 磁学+M免上式也称为等 截面直杆的转角 -位移方程。7-3无侧移刚架的计算1.教学目的本节是位移法在计算刚架中的直接应用，能够正确的确定基本未知量，熟练的掌握转角 位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。2.主要内容1.一般概念及过程2.实例分析3.学习指导本节的关键是转角位移方程的应用，其中荷载项可查表计

14、算，注意正负号的规定，要多 进行练习。4.参考资料结构力学（I ）P232P2357.3.1 一般概念及过程无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程。图7-8a为一连续粱，试分析内力。16720kiiBA1L57kN m3.21(715.S图7-81.基本未知量只有结点B的角位移9 b2.查表列出各杆的固端弯矩FABFpL815Mpa ； M Ba 15 Mpa； M Be8qL89 Mpa3.各杆的杆端弯矩:4.建立位移法基本方程，结点B为隔离体图7-8b，列平衡方程，并求解同二 0 M 函+ A/却二 0即7油g +s.=-4

15、-5.计算各杆杆端弯矩= -16.72 kl3=0L 12 3A. = 0.911 =937-i i利用叠加原理M M 丛丄 + +作出弯矩图 7-6对称结构的计算1.教学目的通过本节的学习，正确理解半结构法，从而选择适当的半结构进行简化计算，能够充分 应用对称性质，求解对称结构。2.主要内容1.奇数跨对称结构2偶数跨对称结构三学习指导对称的连续粱和刚架结构在工程中有广泛的应用。作用于对称结构上的任意荷载，可以 分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下：变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。 在反对称荷载作用下：变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪

16、力图是对称 的。利用这些结论，计算对称的连续粱和刚架时，只需计算结构的半边结构。由于结构的计算仍采用力法或位移法，因此本节主要讨论半边结构的取法。对称结构是工程中应用较多的结构，要正确理解对称结构的性质，掌握对称结构不同荷 载作用下的应用条件，掌握的关键是将对称结构进行简化，从而达到计算简化的目的。四参考资料结构力学（I ）P302P306761奇数跨对称结构1.对称荷载图 7-11图7-11a为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向 位移，因此在计算中取半刚架图 7-11b，C取为滑动支承端。2.反对称荷载图 7-12图7-12a为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在

17、对称轴上没有竖向位移，可有转角和水 平位移，因此在计算中取半刚架图 7-12b，C端取辊轴支座。奇数跨结构的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载） 下面讨论双跨的情况762偶数跨对称结构1.对称荷载图 7-13图7-13a为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱 CD没有弯矩和剪力，不计轴向变形，因此在计算中取半刚架图 8-13b，C端为固定支座。2.反对称荷载2图 7-14图7-14a为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，在计算 中取半刚架图8-12b的形式，对称截面处的立柱的轴惯性矩取原来的一半 I /2。双跨结构的简化是在对称轴上取不同的支座约束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下 的结构也不相同。要注意区别。 7-7小结位移法是以刚结点的转角和独立结点