概率统计试题.docx
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概率统计试题
概率统计试题
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
xx年1月
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
05-06-2《概率论与数理统计》试题A
本试题中可能用到的标准正态分布N?
0，1?
的分布函数?
?
x?
的部分值：
x?
?
x?
一、填空题1、掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________．
2、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量
Z?
2X?
2，则E?
Z?
?
____________．
3、设A、B是随机事件，P?
A?
?
，P?
A?
B?
?
，则P?
AB?
?
4、设总体X~B?
1，p?
，?
X1，X2，?
，Xn?
是从总体X中抽取的一
?
?
_____________________．个样本，则参数p的矩估计量为p5、设总体X～N（0,5），X1，X2，X3，X4，X5是总体的一个样本，
则
12222（X12?
X2?
X3?
X4?
X5）服从 分布。
5二、
袋中有4个白球，7个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．求第二次取出白球的概率.三、
对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为p1，第二台仪器发生故障的概率为p2．令X表示测试中发生故障的仪器数，求E?
X?
四、
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令X表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求
⑴X的概率函数．
⑵这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．
⑶若有一只鸟飞进该房间5次，求有4次它最多试飞了3次就飞出房间的概率。
五、
1
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
设随机变量X~N?
0,1?
，Y?
X?
1，试求随机变量Y的密度函数．
2六、
设二维随机变量?
X,Y?
的联合密度函数为
?
212?
xyx2?
y?
1f?
x，y4
?
其它?
0分别求出求X与Y的边缘密度函数；判断随机变量X与Y是否相互独
立？
七、
在总体X~N52，中随机抽取一个容量为36的样本，求
?
?
P?
?
X?
?
．
八、设总体X~N?
?
，?
，?
x，x，?
，x?
是从中抽取的一个样本
21216的样本观测值，算得x?
，求?
的置信度为的置信区间。
九、 设总体X~N?
?
，?
?
，其中?
是已知参数，?
22?
0是未知参
数．?
X1，X2，?
，Xn?
是从该总体中抽取的一个样本，
?
2； ⑴.求未知参数?
2的极大似然估计量?
?
2是否为未知参数?
2的无偏估计． ⑵.判断?
2
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
05-06-2《概率论与数理统计》试题B
一、填空题
1、袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，这2只球的颜色不相同的概率为
2、设随机变量X服从区间?
0，2?
上的均匀分布，则．EX2?
3、已知P（A）?
0?
3?
P（B）?
0?
4?
P（AB）?
0?
2?
则P（B|A）?
4、设总体X～N（0,1），X1，X2，X3，X4是总体的一个样本，则
222服从 分布。
Y?
X12?
X2?
X3?
X4?
?
5、设X1,X2是正态总体X~N（?
1）的样本，?
1?
^^21X1?
X2；34^11?
2?
X1?
X2；?
3?
X1均为?
的估计量，则这些估计量中是
32?
的无偏估计量的是 二、
一道选择题有四个答案，其中只有一个正确，某考生知道正确答案的概率为，不知道答案乱猜而猜对的概率为概率.
三、
掷2颗均匀的骰子，令：
1，求该考生答对这道题的4A?
?
第一颗骰子出现4点?
，B?
?
两颗骰子出现的点数之和为7?
．
⑴试求P?
A?
，P?
B?
，P?
AB?
；⑵判断随机事件A与B是否相互独立？
四、
袋中有5个球，分别编号1，2，3，4，5，从其中任取3个球，求取出的3个球中最大号码X的概率函数、数学期望、方差与标准差.五、
设X的密度函数为fX（x）?
?
密度函数六、
设二维随机变量?
X,Y?
服从平面区域
3
0?
x?
1?
2x2求Y?
X?
1的 其他?
0山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
D?
?
x，y?
：
x2?
y2?
1
上的均匀分布．
⑴.试求二维随机变量?
X,Y?
的联合密度函数； ⑵.求随机变量X及Y各自的边缘密度函数； ⑶.求E?
X?
，E?
Y?
及E?
XY?
；
⑷判断随机变量X与Y是否相互独立？
是否不相关？
七、
设总体X的分布律为
?
?
XP123?
22?
?
1其中01是未知参数，?
X1,本，求参数?
的矩估计量?
?
。
八． 设总体X的密度函数为
X2,?
?
12Xn?
是从中抽取的一个样
?
?
c?
x1?
x?
c．f?
xx?
c?
0其中c?
0是已知常数，而?
?
1是未知参数．?
X1,X2,?
Xm?
是
从该总体中抽取的一个样本，试求参数?
的最大似然估计量．九、
从一批零件，抽取9个零件，算得其直径的样本均值为x?
，
2设零件直径服从N（?
?
），且已知?
?
，求这批零件的直径的均值?
的置信水平为的置信区间。
4
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题A
一、填空题
1.设A，B相互独立，且P（A?
B）?
P（A）?
，则P（B）?
__________.2.已知X~N（2,?
2），且P{2?
X?
4}?
，则P{X?
0}?
__________.3.设X与Y相互独立，且E（X）?
2，E（Y）?
3，D（X）?
D（Y）?
1，则E[（X?
Y）2]?
___
n4.设X1,X2,?
Xn是取自总体N（?
?
2）的样本，则统计量12?
（Xi?
?
）2?
i?
1服从__________分布.
5.设X~B（2,p）,Y~B（3,p），且P{X?
1}?
二、选择题
1.一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】
a（a?
1）（A）a?
1；（B）；（C）a；（D）?
a?
.
?
a?
b?
a?
ba?
b?
1（a?
b）（a?
b?
1）?
?
25，则P{Y?
1}?
__________.9c1?
x?
32.设随机变量X的概率密度为p?
x则方差D（X）=【】?
?
0, 其他（A）2；（B）
11；（C）3；（D）. 233．设A、B为两个互不相容的随机事件，且P?
B?
?
0，则下列选项必然正确的是【 】
?
A?
P?
A?
?
1?
P?
B?
；?
B?
P?
AB?
?
0；?
C?
P?
AB?
?
1；?
D?
P?
AB?
?
0．
4.设f?
x?
?
sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取
值范围是【 】
?
A0,2?
?
B?
?
0,?
；
2?
?
3；D?
C,；．?
2225.设X~N?
，Y?
aX?
b，其中a、b为常数，且a?
0，
a2?
2?
b2； ?
B?
Na?
?
b,a2?
2?
b2；a2?
2a2?
2．
5
则Y~【 】 ?
A?
Na?
?
b,?
?
C?
N?
a?
?
b,?
?
； ?
D?
N?
a?
?
b,
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
三、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、设随机变量X的密度函数为f（x）?
常数A；P{0?
X?
A，求：
ex?
e?
x1ln3}；分布函数F（x）.2五、设随机变量X的概率密度为
?
6x（1?
x）,0?
x?
1f?
x0,其他?
求Y?
2X?
1的概率密度.
六、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：
的联合概率分布；P?
Y?
X?
.
七、二维随机变量的概率密度为
?
Ae?
（x?
2y）,x?
0,y?
0f（x,y）?
?
0,其他?
求：
系数A；X，Y的边缘密度函数；问X，Y是否独立。
八、设总体X的密度函数为
x?
1f（x,?
）?
?
x?
?
1?
x?
1?
0,其中未知参数?
?
1，X1,X2,?
Xn为取自总体X的简单随机样本，求参数?
的矩估计量和极大似然估计量.九、设总体X~N?
?
出
?
2?
，其中且?
与?
2都未知，
116x?
?
xi?
?
1，?
2?
0．现从总体X中抽取容量n?
16的样本观测值
?
x1，x2，?
，x16?
，算，
116?
xi?
x?
2?
，试在置信水平1下，求?
的s?
?
15i?
1置信区间．
6
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题B
一、填空题
1.设A，B为两随机事件，P（A）?
P（B|A）?
，则P（AB）?
______.
a?
K（K?
0,1,2,?
），?
?
0为常2.设随机变量X的分布律为P{X?
K}?
K!
数，则常数a= .
3.设D（X）?
4,D（Y）?
9,R（X,Y）?
，则D（X?
Y）?
_________.4.设X1,X2,?
X12是取自总体N（0,1）的样本，则统计量
Y?
2X12?
X2X822（X?
X29210?
X?
X）211212服从__________分布.
5.设X~B（2,p）,Y~B（4,p），且P{X?
1}?
二、选择题
5，则P{Y?
1}?
________.9?
4x3,0?
x?
11.设随机变量X有密度f（x）?
?
0其它?
则使概率P（X?
a）?
P（X?
a）的常数a?
【】.
14222.设随机变量X的概率密度函数为f（x），分布函数为F（x），对于任意
2
42
13
1?
14
实数x有【】
（A）0?
f（x）?
1； P（X?
x）?
0；（C）P（X?
x）?
F（x）；（D）P（X?
x）?
?
f（u）du
0x3.设A、B是事件，且A?
B，则下式正确的是【】.
P=P
P=P
?
PP
4.已知X~N（a,【】成立.?
）?
PP?
;?
;?
b?
1b?
?
1b?
?
1b?
15.设X与Y为任意二个随机变量，若已知cov（X,Y）?
0,则必有【】
7
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
（A）D（XY）?
D（X）D（Y）；（B）X与Y相互独立；（C）E（XY）?
E（X）E（Y）；（D）X与Y不独立
三、设每张体育彩票是一个7位数，求在某次摇奖时，出现7位数全不相同的概率；至少有两位数字相同的概率；恰好三个位置上数字相同，其余位置上数字全都不相同的概率。
四、随机变量X的概率密度为
?
A,当x?
1?
f?
x1?
x2?
0,当x?
1?
?
11?
求：
系数A；随机变量X落在区间?
?
?
内的概率；随
22?
?
机变量X的分布函数.
五、设随机变量X~N（0,1），求Y?
2X2?
1的概率密度.六、设的分布律为
YX12116132319118?
?
并且X与Y相互独立，求?
?
的值.七、设二维随机变量?
X,Y?
服从平面区域
D?
?
x，y?
：
x2?
y2?
1
上的均匀分布．
⑴.试求二维随机变量?
X,Y?
的联合密度函数； ⑵.求随机变量X及Y各自的边缘密度函数； ⑶.求E?
X?
，E?
Y?
及E?
XY?
；
⑷判断随机变量X与Y是否相互独立？
是否不相关？
八、设总体X服从拉普拉斯分布
?
?
1?
?
f（x;?
）?
e,x
2?
其中?
?
0.如果取得样本观测值为x1,x2,?
xn，求参数?
的极大似然估计值.
8
|x|山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
九、从一批零件，抽取25个零件，算得其直径的样本均值为x?
，设零件直径服从N（?
?
2），且已知?
?
，求这批零件的直径的均值?
的置信水平为的置信区间。
附：
（24）?
（24）?
（25）?
（25）
9
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
06-07-2《概率论与数理统计》试题A
一、选择题
1．设A、B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是
（A）A与B互不相容； （B）A与B相容；（C）P?
AB?
?
P?
A?
P?
B?
； （D）P?
A?
B?
?
P?
A?
。
2．假设事件A和B满足P（BA）?
1，则
（A）A是必然事件； （B）事件A与B相互独立；（C）A?
B； （D）A?
B。
3．下列函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是
（A）F?
x?
?
111?
?
Fx?
arctanx?
；（B）；2?
21?
x?
1x?
1?
e?
x?
x?
0；（C）F?
x（D）其中?
?
Fx?
?
2f?
t?
dt，?
0,x?
0f?
t?
dt?
1。
4．设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N?
0,1?
和
N?
1,1?
，则
11； （B）P?
X?
Y?
1?
?
；2211（C）P?
X?
Y?
0?
?
； （D）P?
X?
Y?
1?
?
。
2215．设随机变量X~t?
n?
?
n?
1?
，Y?
2，则。
X （A）P?
X?
Y?
0?
?
Y~Y~F?
n,1?
；Y~F?
1,n?
。
Y~?
2?
n?
?
1；?
2?
n?
；
二、填空题
1．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，目标被命中的概率为 。
2．设连续型随机变量X的概率密度为f?
x?
?
则常数A= 。
3．设随机变量X和Y的相关系数为，EX?
EY?
0,
A，x
1?
x210
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
EX2?
EY2?
2，则E?
X?
Y?
?
。
24．设随机变量X的数学期望E?
X?
?
100，方差D?
X?
?
10，则根据切比雪夫不等式P?
80?
X?
1xx年试题及参考答案
YX121 2 11 4411 44求X和Y的边缘概率分布PX?
xi?
和PY?
yi?
。
X和Y是否独立？
5．设Z~U?
0,2?
?
，X?
cosZ，Y?
cos?
Z?
a?
，试求X和Y的数学期望和方差；
试讨论X和Y能否线性相关？
若能，何时线性相关？
6．设总体X的概率密度为
1?
x?
0?
x?
1 f?
x
0,其他?
其中1是未知参数，X1,X2,?
Xn是取自总体X的样本，求参数?
?
。
的极大似然估计量?
7．测量铅的比重16次，得x?
，S?
，设测量值服从正态分布，求铅的比重的置信度为的置信区间。
（
?
?
?
15?
?
?
15?
?
）
8．一种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时。
现从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命
X~N（?
1002），试在显著性水平?
?
下确定这批元件是否合格。
（?
?
?
25?
?
?
25?
?
）
12
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
06-07-2《概率论与数理统计》试题B
一、选择题
1．对于任意两个事件A与B，有P?
A?
B?
?
（A）P?
A?
?
P?
B?
； （B）P?
A?
?
P?
B?
?
P?
AB?
；（C）P?
A?
?
P?
AB?
； （D）P?
A?
?
P?
B?
。
2．对于任意两件事A和B，与A?
B?
B不等价的是
（A）A?
B； （B）B?
A；（C）AB?
?
； （D）AB?
?
。
3．设Fi?
x?
是Xi的分布函数，i?
1,2，为使F?
x?
?
aF1?
x?
?
bF2?
x?
是分布函数，下列给定的各组值中应取
（A）a?
3,b?
?
2； （B）a?
2,b?
2；
5533（C）a?
1,b?
3； （D）a?
1,b?
?
3。
22224．设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为
X0 1p11 22则随机变量Z?
max?
X,Y?
的分布律为
11,P?
z?
1?
?
；（B）P?
z?
0?
?
1,P?
z?
1?
?
0；221331（C）P?
z?
0?
?
P?
z?
1?
?
；（D）P?
z?
0?
?
P?
z?
1?
?
。
4444（A）P?
z?
0?
?
5．设X1,X2,?
Xn是正态总体简单随机样本，样本均值和样本二阶中
2心矩分别为X和Sn，则n?
1X?
?
~Sn（A）t?
n?
； （B）t?
n?
1?
；（C）N?
0,1?
； （D）二、填空题
1．在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立重复试验，则A至少发生一次的概率为 。
13
?
2?
n?
。
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
2．设连续型随机变量X的概率密度为
?
A,x?
1?
f?
x1?
x2，
?
0,x?
1?
则常数A= 。
3．设随机变量X和Y的相关系数为，EX?
EY?
0,EX2?
EY2?
3,则E?
X?
Y?
?
。
24．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式
P?
X?
E?
X?
?
2?
?
。
5．设二维随机变量?
X,Y?
的分布列为
YX010 1 ab 已知随机事件?
X?
0?
与?
X?
Y?
1?
相互独立，则a、b的值分别为 。
三、计算
1．袋中有9个球，现从中任取两个，求：
两球均为白球的概率；
两球中，一个是白球，一个是黑球的概率；至少有一球是黑球的概率。
2．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率为、和。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地取一箱，而顾客开箱随机的查看4只，若无残品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求
顾客买下该箱杯子的概率；
顾客买下的一箱确实没有次品的概率。
?
e?
x,x?
0,3．设随机变量X的概率密度为fX?
x求随机变量
?
0, x?
?
eX的概率密度fy?
y?
。
14
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
4．
设随机变量?
X,Y?
的联合概率密度为
?
210?
x?
1,0?
y?
2?
x?
xy, f?
x,y3?
其他?
0, 试求：
X和Y的边缘概率密度；
概率P?
X?
Y?
1?
。
4’．
设二维随机变量?
X,Y?
的联合分布列为
YX010 1 11 4411 44求X和Y的边缘概率分布PX?
xi?
和PY?
yi?
。
X和Y是否独立？
i?
1,2，5．设X1，X2独立，Xi~N0,?
2，令Y1?
X1?
1X1?
X2，问Y1和Y2同分布吗？
独立吗？
26．设总体X的概率密度函数为Y21X2，2 当x0, f?
xx, 当xe这里?
和0?
都是参数。
又设X1,X2,?
Xn为该总体的简单样本，?
。
设?
已知，求?
的矩估计?
7．设某铁矿区的磁化率X服从正态分布N（?
?
），其中?
未知，
2现抽取容量为41的样本，得样本均值x?
，样本方差S?
22写出参数?
的置信水平为的双侧置信区间。
（
15
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
?
?
?
40?
?
?
15?
?
）
8．从一台车床加工的一批轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得样本方差S?
，已知椭圆度服从正态分布，问该批轴料椭圆度的
2总体方差与规定的方差?
0?
有无显著差异？
（
222?
（14）?
，?
（14）?
?
（15）?
，?
（15）?
）
16
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
07-08-1《概率论与数理统计》试题A
一．选择题1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：
未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。
设事件Ai表示“发现i件次品”?
i?
0,1,2,3?
。
用A0,A1,A2,A3表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是
（A）A1A2;（B）A1?
A2;（C）A0?
A1?
A2?
;（D）A3?
A1?
A2?
.2．设事件A与B互不相容，且P?
A?
?
0，P?
B?
?
0，则下面结论正确的是
?
?
（C）P?
AB?
?
P?
A?
P?
B?
; （D）P?
AB?
?
P?
A?
.
（A）2X?
Y~N?
0,1?
; （B）（C）2X?
Y?
1~N?
1,9?
; （D）4．设总体X~N（A）A与B互不相容; （B）PBA?
0;
Y~N?
2,4?
，3．设随机变量X~N?
1,2?
，且X与Y相互独立，则
2X?
Y232X?
Y?
1~N?
0,1?
;
23~N?
0,1?
.
?
?
?
?
，?
?
22是未知参数，?
X1,X2,?
Xn?
是来自
总体的一个样本，则下列结论正确的是
1n（A）S?
（Xi?
X）2~?
2（n?
1）;?
n?
1i?
121n22（B）?
（Xi?
X）~?
（n）;
ni?
1（C）（D）
（n?
1）S2?
21?
1?
2?
（Xi?
1n22?
X）~?
（n?
1）;i?
2?
（Xi?
1ni?
X）2~?
2（n）
5．设总体X~N?
?
?
?
，?
X,X212,?
Xn?
是来自总体的一个样本，则
?
2的无偏估计量是
1n1n1n222（A）?
Xi?
X?
;（B）?
?
Xi?
X?
;（C）?
Xi;（D）X2.?
n?
1i?
1ni?
1ni?
1
17
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
二．填空
1．已知A,B两个事件满足条件P?
AB?
?
PAB，且P?
A?
?
p，则
?
?
P?
B?
?
_________.2．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为,此密码被破译出的概率是 .
2x,0?
x?
1,3．设随机变量X的密度函数为f?
x，用Y表示对X的?
其他?
0,111,，则5433次独立重复观察中事件?
X1?
则P?
Y?
2?
?
.?
出现的次数，
2?
4．设两个随机变量X和Y相互独立，且同分布：
P?
X?
?
1?
?
P?
Y?
?
1?
?
1，P?
X?
1?
?
P?
Y?
1?
?
1，则P?
X?
Y22?
?
.
?
，则
2?
?
0,?
?
5．设随机变量X的分布函数为：
F?
xAsinx,?
?
1,?
?
x?
0?
0x?
x?
?
2A?
.三．计算
1．盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。
第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。
第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。
2．设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布律为：
12P?
X?
1?
?
P?
X?
2?
?
33求Z?
X?
Y的分布律。
3．设随机变量X的密度函数为：
f?
x?
?
Ce?
xx
2试确定常数C；求PX?
1；求Y?
X的密度函数。
4．设二维连续型随机变量?
X,Y?
的联合概率密度为：
?
?
18
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
?
1?
xy,?
f?
x,y4
?
?
0x?
1,y?
1其他
求随机变量X和Y的边缘概率密度；求EX,EY和DX,DY；
X和Y是否独立？
求X和Y的相关系数R?
X,Y?
，并说明X和
Y是否相关？
求P?
X?
Y?
1?
。
5．设总体X的分布律为P?
X?
x1?
p?
x?
1p?
x?
1,2,?
?
，
X1,X2,?
Xn是来自总体X的一个样本。
求参
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