高考概率统计试题汇编及分析Word.docx
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高考概率统计试题汇编及分析Word
2019高考全国一卷
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：
为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
解析：
（1）首先根据题意，随机试验一轮试验共4个结果，我们用符号+-分别表示治愈和未治愈。
则
甲+乙+，甲+乙-，甲-乙+，甲-乙-。
p=（1-）
p（X=0）=+=
p=（1-）
所以的分布列为：
（2）当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。
假设四轮试验都是甲+乙—，则甲药比乙药多四只，认为甲药更有效。
此时甲药得分为4分，乙药得分为-4分，所以甲药、乙药在试验开始时都赋予4分。
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则表示四轮试验都是甲-乙+，乙药有效，
表示四轮试验都是甲+乙-，甲药有效。
，，．假设，．
所以
可以描述为第i步有三种走法，倒退，不动和前进，倒退的概率为，不动的概率为，后退的概率为。
这其实是概率论中著名的“直线的随机游走问题”。
从数列的角度分析，实质上是一个递推公式，则
（i）证明：
=4
所以为等比数列
（ii）数列的通项公式为，
所以可以用叠加法求解：
﹍﹍﹍
可得
，所以
则
表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
另外设数列的前项和为
，所以
2019高考全国二卷
18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:
10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:
10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析：
（1）X=2就是10：
10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：
10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，如果打两个球甲都赢或乙都赢，则打完两球比赛就结束了，所以前两个球甲乙各赢一球，即前两球是甲、乙各得1分，后两球谁都赢，谁获胜，所以后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
2019全国三卷
17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：
将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。
经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：
记为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
17.解答:
依题意得，解得.
0.053+0.14+0.155+0.356+0.27+0.158=6
得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.
2019北京卷17题
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元）
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？
说明理由．
【分析】
（Ⅰ）由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；
（Ⅱ）首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.
（Ⅲ）由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】（Ⅰ）由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：
人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.
（Ⅱ）由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
且X可能的取值为0,1,2.
，，，
X分布列为：
X
0
1
2
其数学期望：
.
（Ⅲ）我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.
2019天津卷
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：
30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：
30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：
30之前到校的天数比乙同学在7：
30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
（Ⅰ）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
（Ⅱ）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【分析】
（Ⅰ）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
（Ⅱ）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:
30之前到校的概率均为，故，.
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与、事件与均相互独立，
从而由（Ⅰ）知：
.
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