中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教案.docx

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中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教案

中职数学职业模块第一章

《三角计算及其应用》

教学设计教案

第一课时：

两角和与差的余弦

（一）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的余弦公式．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

本节课的教学重点是两角差的余弦公式．

【教学难点】

难点是公式的推导和运用．

【教学设计】

介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到，进而提出如何计算的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论，都是初中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导的公式作准备．教材利用的公式推导的公式的步骤是：

利用，推出．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

揭示课题

1．1两角和与差的余弦公式

创设情境兴趣导入

问题我们知道，显然

由此可知

动脑思考探索新知

在单位圆（如上图）中，设向量、与x轴正半轴的夹角分别为和，则点A的坐标为（），点B的坐标为（）．

因此向量，向量，且,．

于是，又

，

所以．

（1）

又

（2）

利用诱导公式可以证明，

（1）、

（2）两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式

（1.1）

　（1.2）

公式（１.１）反映了的余弦函数与，的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了的余弦函数与，的三角函数值之间的关系．

巩固知识典型例题

例1　求的值．

分析可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和．

解　

（转下节）

第二课时：

两角和与差的余弦

（二）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的余弦公式．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．

【教学难点】

难点是公式的运用．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】（接上节）

巩固知识典型例题

例1　求的值．

分析可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和．

解　

例2　设并且和都是锐角，求的值．

分析可以利用公式（1.1），但是需要首先求出与的值．

解　因为，，并且和都是锐角，所以

，．

因此，

.

例3分别用或，表示与

解=

．

故．

令,则,代入上式得

，

即.

运用知识强化练习

1．求的值.

2．求的值．

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

两角和与差的余弦公式内容是什么？

结论：

两角和与差的余弦公式

（1.1）

　　（1.2）

自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？

你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

已知且均为锐角，求的值．

继续探索活动探究

（1）读书部分：

教材

（2）书面作业：

教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）

（3）实践调查：

用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式

课后反思：

第三课时：

两角和与差的余弦公式与正弦公式

（一）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正弦公式．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．

【教学难点】

运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．

【教学设计】

公式的推导过程是，首先反向应用例3中的结论，然后再利用公式，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将看做整体，这样才能应用公式．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

揭示课题

1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式．

*创设情境兴趣导入

问题

动脑思考探索新知

由于=对于任意角都成立，所以

.

.

由此得到，两角和与差的正弦公式

（1.3）

（1.4）

巩固知识典型例题

例5求的值.

分析可以利用公式（1.4），将15°角可以看作是60°角与45°角之差．

解

．

例6　已知求的值．

解由于，故

所以

（转下节）

第四课时：

两角和与差的余弦公式与正弦公式

（二）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正弦公式．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．

【教学难点】

运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．

【教学设计】

公式的推导过程是，首先反向应用例3中的结论，然后再利用公式，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将看做整体，这样才能应用公式．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

（接上节）

巩固知识典型例题

例7求的值．

分析所给的式子恰好是公式（1.3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式．

解

=

．

【小提示】

逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化．

运用知识强化练习

1．求的值．

2．求的值．

3．求的值．

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

两角和与差的正弦公式内容是什么？

结论：

两角和与差的余弦公式

（1.3）

（1.4）

归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？

重点和难点各是什么？

自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？

你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

已知，且＜＜，求的值．

继续探索活动探究

（1）读书部分：

教材

（2）书面作业：

教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做）

（3）实践调查：

用两角和与差的正弦公式印证一组诱导公式

课后反思：

第五课时：

倍角公式

（一）

【教学目标】

知识目标：

了解二倍角公式．．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．

【教学难点】

运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．

【教学设计】

要明确二倍角的概念：

是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式和是分别用角的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式和的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

揭示课题

1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式．

动脑思考探索新知

在公式（1.3）中，令，可以得到二倍角的正弦公式

．

即

　　　　　　　　　　（1.5）

同理，公式（1.1）中，令，可以得到二倍角的余弦公式

　　　　　　　　　（1.6）

因为，所以公式（1.6）又可以变形为

，　　

或　　.

还可以变形为

，

或.

公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用．

【小提示】

二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角．如与，与，与等．

巩固知识典型例题

例8　已知，且为第二象限的角，求、的值．

解　因为为第二象限的角，所以

，

故　　　　　，

　　　　　．

例9已知，且，求、的值．

分析与，与之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算

解由知，所以

，

故．

由于，且，所以

．（转下节）

第六课时：

倍角公式

（二）

【教学目标】

知识目标：

了解二倍角公式．．

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．

【教学难点】

运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．

【教学设计】

要明确二倍角的概念：

是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式和是分别用角的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式和的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

巩固知识典型例题

例8　已知，且为第二象限的角，求、的值．

解　因为为第二象限的角，所以

，

故　　　　　，

　　　　　．

例9已知，且，求、的值．

分析与，与之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算

解由知，所以

，

故．

由于，且，所以

．

【注意】

要用公式（1.6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围.

运用知识强化练习

已知，且为第一象限的角，求、．

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？

结论：

自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？

你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

已知，且求．

继续探索活动探究

（1）读书部分：

教材

（2）书面作业：

教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做）

（3）实践调查：

通过公式推导，了解公式间内在联系．

第七课时：

正弦型函数

（一）

【教学目标】

知识目标：

掌握正弦型函数的性质．

能力目标：

（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

（2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．

【教学重点】

利用正弦型函数的性质，求