届河南省中原名校联盟高三上学期第一次质量考评数学理试题解析版.docx

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届河南省中原名校联盟高三上学期第一次质量考评数学理试题解析版

2021届河南省中原名校联盟高三上学期第一次质量考评数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据集合的描述，结合对数函数的性质及不等式求集合，应用集合运算求交集；

【详解】

由题意得，，故．

故选：

B．

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，属于简单题；

2．已知复数，则的共轭复数（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】利用复数的乘除运算化简复数，再求共轭复数即可.

【详解】

由题意，，

故．

故选:

C．

【点睛】

本题主要考查复数的乘除运算以及共轭复数的定义，属于基础题.

3．已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】二倍角正余弦公式、诱导公式，结合已知求函数值即可；

【详解】

，

故选：

B．

【点睛】

本题考查了应用三角恒等变换化简求值，属于简单题；

4．的展开式中的系数为（）

A．B．32C．64D．

【答案】C

【解析】根据，分中取2个y、取4个y，和中取3个y、取3个y的两种情况利用通项公式求解.

【详解】

由题意，展开式中含的项为：

，

故所求系数为64．

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查二项展开式的项的系数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.

5．已知，，，则，，的大小关系正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据对数的性质，分别确定，，的大致范围，即可得出结果.

【详解】

由对数函数的性质可得，即；

又，故，即；

，即．

故．

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查比较对数式的大小，属于基础题型.

6．已知实数，满足不等式组，则的最大值为（）

A．20B．18C．12D．4

【答案】A

【解析】画出不等式组所表示的平面区域，然后平移直线，当直线在y轴上截距最大值时，目标函数取得最大值．

【详解】

不等式组表示的平面区域阴影部分如图所示：

平移直线，当直线在y轴上截距最大值时，经过点A，

此时目标函数取得最大值．

由，可得，

故的最大值为．

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.

7．已知双曲线C的方程为，其离心率，则双曲线C的上焦点F到其渐近线的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由标准方程及离心率即可得双曲线C的方程为且上焦点，结合点线距离公式即可求距离；

【详解】

设双曲线C实轴长为，又，，即，

∴，可知：

上焦点，双曲线C的方程为，

∴双曲线C的渐近线方程为，即．

故上焦点F到渐近线的距离为.

故选：

B．

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，利用离心率求双曲线方程，结合点线距离公式、双曲线的渐近线方程求点线距；

8．函数在内的极小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】利用正弦函数差角公式化简函数，求导后，令导函数等于零，求出极值点，再判断极值点左右导函数的符号即可得答案.

【详解】

∵

，

∴，

令，得，

由，得，

∴或，即或．

令，得，

结合，得或；

令，得，结合，得，

∴当时，取得极小值

．

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查导数的应用，考查函数的极值与极值点的求解，同时考查了三角函数的恒等变形，属于基础题.

9．已知函数，若为偶函数，且时，，若在上的值域为，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】作出分段函数的图象，结合为偶函数，即可得图象，数形结合即可得的取值范围.

【详解】

由题意，可以画出函数的大致图象如下．

由，，结合图象可知，故选B．

故选：

B

【点睛】

本题主要考查了利用偶函数图象的对称性，由函数的值域求定义域，属于中档题.

10．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”，图1是上底为a，下底为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】先利用台体的体积算出，的体积可以减去一个长方体和2个三棱柱的体积算出.

【详解】

设“方亭”的高为h，则，

，

∴．设，则，即，

∴，

故选D．

【点晴】

此题考几何体的体积计算，关键是弄清几何体的组成，利用好体积公式.

11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于两点（设点A在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若为等边三角形，的面积为，四边形的面积为，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由直线的方程与联立，算出的坐标，即可求出和四边形的面积.

【详解】

由条件可得，，直线的方程为，与联立，消去y，整理得，解得或，故，则，则的面积为，四边形的面积为，故．

故选D．

【点晴】

求三角形和四边形面积时，我们常常采用坐标法，转换成平行于坐标轴的线段，利用点的坐标求出线段的长度，进而算出面积.

12．已知函数（为常数）满足，，若在上的最大值和最小值分别为，，则的值为（）

A．或15B．或11C．或9D．5或

【答案】A

【解析】根据正弦型函数的性质，求得函数的值域为，令，列出方程组，求得，分和两种情况讨论，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

因为，可得，

故的最大值为，最小值为，即的值域为．

令，因为，可得，

故，解得．

①当时，，

可得在上单调递减，在上单调递增，

所以的最大值为，最小值为，

即；

②当时，，

同理可得．

综上或11，所以或15.

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的性质，以及二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】根据，求导，再求出，又，然后由点斜式写出切线方程.

【详解】

因为，

所以得，

所以，又，

故所求的切线方程为，即．

故答案为：

．

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为__________．

【答案】

【解析】利用向量垂直数量积为0即可列式，即可得，再利用向量夹角公式，结合，即可求解.

【详解】

因为，

所以，可得：

．

又因为，所以，

设与的夹角为，

，

因为，

所以．

故答案为：

．

【点睛】

本题主要考查了向量垂直数量积为0，以及向量夹角公式，属于基础题.

15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为，则的最小值为__________．

【答案】80

【解析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有，根据面积公式有，再应用余弦定理可得，结合目标式有，利用基本不等式即可求最小值；

【详解】

由及正弦定理可得，

∴，即，又，

故，故．

因为的面积为，所以，即，故，

由余弦定理可得，

∴，当且仅当时等号成立，故的最小值为80．

故答案为：

80．

【点睛】

本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最值；

16．已知正三棱锥的底面边长为3，其外接球的球心在三棱锥的内部，且外接球的表面积为，若D为BC中点，则异面直线PD与AB所成角的余弦值为__________．

【答案】

【解析】根据外接球的表面积为，可得其半径为2，设的中心为，则外接球的球心O一定在上，在中，由勾股定理解得,又求得，然后取AC中点E，连接PE，DE，则，得到即为异面直线PD与AB所成角，然后在中，利用余弦理求解.

【详解】

如图所示：

因为外接球的表面积为，

所以其半径为2，

设的中心为，则外接球的球心O一定在上，

因为正三棱锥的底面边长为3，得，

在中，由勾股定理可得，

解得（舍去）或，

又，故，

取AC中点E，连接PE，DE，则，

故即为异面直线PD与AB所成角，

在中，，，

由余弦理可得．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查正三棱锥的外接球问题以及异面直线所成的角的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列是等比数列，若，且，，成等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】

（1），；

（2），.

【解析】

（1）应用等差数列的性质，等比数列的通项公式，结合已知条件即可求的通项公式；

（2）结合

（1），将通项公式裂项，得，进而求前项和；

【详解】

（1）由，，成等差数列，可得，

设数列的公比为，则，则，

设，则在上单调递增，而，故满足，

∴．又由得，故，

故的通项公式为，．

（2）由

（1）可得，

∴，.

【点睛】

本题考查了等比数列，其中结合已知条件，应用等差中项性质求等比数列的基本项并得到通项公式，根据新数列与已知数列关系，应用裂项法求新数列的前n项和；

18．如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．

求证：

；

若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】证明见解析；.

【解析】利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明；

建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线与平面所成的角的正弦值．

【详解】

解：

由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，

，底面圆，

在底面圆上，．

，为正三角形，

又因为为的中点，，

又因为，且平面，平面，

平面，

平面，．

如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

故，，，

设平面的法向量为，

由，可得，

令，得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成的角的正弦值为．

【点睛】

本题考查线线垂直的判定，以及线面所成角的正弦值的求法，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.

19．在5月31日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数量（单位：

盒）的茎叶图如下所示．

（1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”’，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图，填写下列2×2列联表．并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别：

初级烟民

非初级烟民

合计

甲单位烟民数（单位：

个）

乙单位烟民数（单位：

个）

合计

（2）设吸烟盒数的平均数为，方差为，若出现吸烟盒数不在内的烟民，则需要对该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟民．（参考数据：

）

附：

，其中．

0.1

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

【答案】

（1）列联表见解析，没有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别；

（2）在乙单位抽取的烟民中，有需要跟踪观察的烟民．

【解析】

（1）根据题中数据，直接得出列联表，由公式求出，结合临界值表，即可得出结果；

（2）根据所给数据，先求出平均数和方差，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】

（1）填写的2×2列联表如下：

初级烟民

非初