高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34 一利用导数证明不等式原卷版文.docx

高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34 一利用导数证明不等式原卷版文.docx

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高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34一利用导数证明不等式原卷版文

2021年高考理科数学一轮复习：

题型全归纳与高效训练突破

专题3.4高考解答题热点题型

（一）利用导数证明不等式

一、题型全归纳

题型一单变量不等式的证明

【题型要点】单变量不等式的证明方法

（1）移项法：

证明不等式f（x）＞g（x）（f（x）＜g（x））的问题转化为证明f（x）－g（x）＞0（f（x）－g（x）＜0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）－g（x）；

（2）构造“形似”函数：

对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；

（3）最值法：

欲证f（x）＜g（x），有时可以证明f（x）max＜g（x）min.

类型一直接将不等式转化为函数的最值问题

【题型要点】将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由

或

直接证得不等式.

【例1】已知函数

.

（1）讨论

的单调性；

（2）当

时，证明

类型二　转化为两个函数的最值进行比较

【题型要点】

（1）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．

（2）在证明过程中，等价转化是关键，此处f（x）min>g（x）max恒成立．从而f（x）>g（x），但此处f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x的值”．　

【例2】（2020·福州模拟）已知函数f（x）＝elnx－ax（a∈R）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＝e时，证明：

xf（x）－ex＋2ex≤0.