校验.docx
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校验
模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。
所以实际上就是异或。
然后再移位移位做下一位的模2减。
步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。
若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：
在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。
对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G（x）。
根据G（x）可以生成K位信息的校验码，而G（x）叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：
假设发送信息用信息多项式C（X）表示，将C（x）左移R位，则可表示成C（x）*2R，这样C（x）的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。
通过C（x）*2R除以生成多项式G（x）得到的余数就是校验码。
CRC码的生成步骤
4、得到011-------余数（校验位）
5、编码后的报文（CRC码）1010011
1、将x的最高幂次为R的生成多项式G（x）转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C（x）*2R
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G（x）=x3+x+1。
4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G（x）=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C（x）左移3（R）位变成1010000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除
海明校验
我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。
实现这种纠正的方法之一是海明码。
海明码是一种多重（复式）奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：
1、确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。
2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。
选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。
3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。
4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
校验位数的位数
推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。
考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。
在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。
这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k种不同状态。
这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。
于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。
于是导出下一关系：
2k-1≥m+k
码字格式
从理论上讲，校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、…的位置上。
图5列出了m=4，k=3时，信息位和校验位的分布情况。
码字位置
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
校验位
x
x
x
信息位
x
x
x
x
复合码字
P1
P2
D1
P3
D2
D3
D4
图5海明码中校验位和信息位的定位
校验位的确定
k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。
其中：
P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P1、D1、D2、D4、…）位，（包括P1自己）
P2负责校验海明码的第2、3、6、7、…（P2、D1、D3、D4、…）位，（包括P2自己）
P3负责校验海明码的第4、5、6、7、…（P3、D2、D3、D4、…）位，（包括P3自己）
对m=4，k=3，偶校验的例子，只要进行式次偶性测试。
这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位的位置上进行。
奇偶条件
码字位置
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
图6奇偶校验位置
因此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：
A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0得P1=D1⊕D2⊕D4
B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0得P2=D1⊕D3⊕D4
C=B4⊕B5⊕B6⊕B7=0得P3=D2⊕D3⊕D4
若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位P1、P2、P3值。
和海明码，如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。
而图8中则列出了全部16种信息（D1D2D3D4=0000～1111）的海明码。
码字位置
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
码位类型
P1
P2
D1
P3
D2
D3
D4
信息码
-
-
1
-
0
0
1
校验位
0
0
-
1
-
-
-
编码后的海明码
0
0
1
1
0
0
1
图7四位信息码的海明编码
P1
P2
D1
P3
D2
D3
D4
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
图8未编码信息的海明码
上面是发送方的处理
在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：
A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0；
B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0；
C=B4⊕B5⊕B5⊕B7=0。
若三个校验方程都成立,即方程式右边都等于0，则说明没有错。
若不成立即方程式右边不等于0，说明有错。
从三个方程式右边的值，可以判断那一位出错。
例如，如果第3位数字反了，则C=0（此方程没有B3），A=B=1（这两个方程有B3）。
可构成二进数CBA，以A为最低有效位，则错误位置就可简单地用二进数CBA=011指出。
同样，若三个方程式右边的值为001，说明第1位出错。
若三个方程式右边的值为100，说明第4位出错。
海明码的码距应该是3，所以能纠正1位出错。
而奇偶校验码的码距才是2，只能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）。
无校验的码距是1，它出任何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错。
这是关于海明码的经典说法，即码距为3，可以发现2位，或者纠正1位错。
应满足2k-1≥m+k。
但在清华的王爱英主编的《计算机组成与结构》（该书已成为国内的权威）中还提出了一种码距为4的海明码，可以发现2位，并且纠正1位错。
应满足2（k-1）≥m+k。
由于王爱英书上对这两种概念没有很仔细解释（特别对码距为3的海明码），过渡很突然。
有些书简单抄袭时没有仔细消化，所以出现一些概念错。
对于一般码距为3的海明码，应该是“可以发现2位，或者纠正1位错”，而不是“可以发现2位，并且纠正1位错”。
在试题中出现过类似的错误。
循环冗余校验码
在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。
CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。
检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：
在K位信息码后再拼接位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫码。
对于一个给定的码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式。
根据可以生成K位信息的校验码，而叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：
假设发送信息用信息多项式表示，将左移位，则可表示成，这样的右边就会空出位，这就是校验码的位置。
通过除以生成多项式得到的余数就是校验码。
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：
X的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。
可以看出：
的最高幂次为，转换成对应的二进制数有位。
多项式包括生成多项式G（x）和信息多项式C（x）。
如生成多项式为，可转换为二进制数码11011。
而发送信息位1111，可转换为数据多项式为。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。
在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
●生成多项式的最高位和最低位必须为1。
●当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
●不同位发生错误时，应该使余数不同。
●对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。
但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N
K
码距d
G（x）多项式
G（x）
7
4
3
x3+x+1
1011
7
4
3
x3+x2+1
1101
7
3
4
x4+x3+x2+1
11101
7
3
4
x4+x2+x+1
10111
15
11
3
x4+x+1
10011
15
7
5
x8+x7+x6+x4+1
111010001
31
26
3
x5+x2+1
100101
31
21
5
x10+x9+x8+x6+x5+x3+1
11101101001
63
57
3
x6+x+1
1000011
63
51
5
x12+x10+x5+x4+x2+1
1010000110101
1041
1024
x16+x15+x2+1
11000000000000101
图9常用的生成多项式
3、模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。
所以实际上就是异或。
然后再移位移位做下一位的模2减。
步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。
若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余
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