校验.docx

1、校验模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成

2、K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。CRC码的生成步骤 4、得到011-余数（校验位）5、编码后的报文（CRC码）10100111、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。 4、将余数拼到信息码左移后空

3、出的位置，得到完整的CRC码。 【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 解： 1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除海明校验 我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码。海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校

4、验位组成的。每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：1、确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。 如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。 校验位数的位数推求海明码时的一项基本考虑是确定所

5、需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k种不同状态。 这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：2k-1m+k码字格式 从理论上讲，校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、的位置上。图5列出了m=4，k=3时，信息位和校验位的分布情况。 码字位置B1B2B3B4B5B6B7校验位xxx信息位xxxx复合码字P1

6、P2D1P3D2D3D4图5 海明码中校验位和信息位的定位 校验位的确定 k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。其中：P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、（P1、D1、D2、D4、）位，（包括P1自己）P2负责校验海明码的第2、3、6、7、（P2、D1、D3、D4、）位，（包括P2自己）P3负责校验海明码的第4、5、6、7、（P3、D2、D3、D4、）位，（包括P3自己）对m=4，k=3，偶校验的例子，只要进行式次偶性测试。这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位的位置上进行。奇偶条件码 字 位 置1234567ABCx x xx xx xxxxxx图6 奇偶校验位置因

7、此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：A=B1B3B5B7=0 得P1=D1D2D4B=B2B3B6B7=0 得P2=D1D3D4C=B4B5B6B7=0 得P3=D2D3D4若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位P1、P2、P3值。和海明码，如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。而图8中则列出了全部16种信息（D1D2D3D4=00001111）的海明码。码字位置B1B2B3B4B5B6B7码位类型P1P2D1P3D2D3D4信息码-1-001校验位00-1-编码后的海明码0011001图7 四位信息码的海明编码 P1P2D1P3D2D3D400000

8、00110100101010101000011100110001001011100110000111111100000011001101101001100110111100101010100101101111111图8 未编码信息的海明码上面是发送方的处理在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：A=B1B3B5B7=0；B=B2B3B6B7=0；C=B4B5B5B7=0。若三个校验方程都成立,即方程式右边都等于0，则说明没有错。若不成立即方程式右边不等于0，说明有错。从三个方程式右边的值，可以判断那一位出错。例如，如果第3位数字反了，则C=0(此方程没有B3），A=B

9、=1（这两个方程有B3）。可构成二进数CBA，以A为最低有效位，则错误位置就可简单地用二进数CBA=011指出。同样，若三个方程式右边的值为001，说明第1位出错。若三个方程式右边的值为100，说明第4位出错。海明码的码距应该是3，所以能纠正1位出错。而奇偶校验码的码距才是2，只能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）。无校验的码距是1，它出任何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错。 这是关于海明码的经典说法，即码距为3，可以发现2位，或者纠正1位错。应满足2k-1m+k。 但在清华的王爱英主编的计算机组成与结构（该书已成为国内的权威）中还提出了一种码距为4的海明码，可以发现2位，

10、并且纠正1位错。应满足2(k-1)m+k。 由于王爱英书上对这两种概念没有很仔细解释（特别对码距为3的海明码），过渡很突然。有些书简单抄袭时没有仔细消化，所以出现一些概念错。对于一般码距为3的海明码，应该是“可以发现2位，或者纠正1位错”，而不是“可以发现2位，并且纠正1位错”。在试题中出现过类似的错误。 循环冗余校验码 在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。 CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。 循环冗余校验码（C

11、RC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫码。对于一个给定的码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式。根据可以生成K位信息的校验码，而叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式表示，将左移位，则可表示成，这样的右边就会空出位，这就是校验码的位置。通过除以生成多项式得到的余数就是校验码。 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制数有直接对应关系：X的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：的最高幂次为，转换成对应的二进制数有位。

12、多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。 如生成多项式为， 可转换为二进制数码11011。而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为。2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。 应满足以下条件： 生成多项式的最高位和最低位必须为1。 当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 不同位发生错误时，应该使余数不同。 对余数继续做模2除，应使余数循环。 将这些要求

13、反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示： NK码距dG(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+11011115113x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+111101000131263x5+x2+110010131215x10+x9+x8+x6+x5+x3+11110110100163573x6+x+1100001163515x12+x10+x5+x4+x2+1101000011010110411024x16+x15+x2+111000000000000101图9 常用的生成多项式 3、模2除（按位除） 模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余