初一数学有理数经典讲义.docx

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一、有理数的相关概念：

1.负数

（1）正数：

大于0的数叫做正数。

（2）负数：

在正数前面加上“-”的数叫做负数。

a）“-”读作负号。

b）一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号

（3）0：

既不是正数也不是负数。

取一个基准量，记为0；大于（高于）基准量的数为正数，小于（低于）基准量的数为负数；

习题：

1、某仓库运进货物30吨，记作30吨，那么－50吨表示（）；

2、物体向东运动4m，记作4m，那么向西运动5m，记作（）

3、某零件的直经尺寸在图纸上是100．05（mm），表示这种零件的标准尺寸是______（mm），合格产品的零件尺寸范围是（mm）。

2.有理数

分类1：

有理数整数正整数负整数0分数正分数负分数分类2：

有理数正有理数正整数正分数负有理数负整数负分数0

数的分类注意：

a）0非正非负，0是整数，0是自然数

b）小数可以化为分数，所以小数属于分数

习题：

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

，，，，0，－3.01，，．

整数集合:

{}分数集合:

{}

负数集合:

{}正数集合:

{}

3.数轴：

用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

三要素：

原点、正方向、单位长度

a）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

b）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

c）选取适当的长度为单位长度。

方向表示正负，距离表示数。

数轴上，唯一的点——唯一的数

（1）给数描点，给点读数

（2）比较大小：

从左到右，由小变大；

（3）会找有特定限制的数，比如，小于4的正整数。

习题：

1、把5，－6，－2，3，0，，－4在数轴上表示出来，并用“〈”把它们连接起来。

2、a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是　　（　）

（Ａ）a+b<0　　　　　（Ｂ）a+c<0

　（Ｃ）a－b>0　（Ｄ）b－c<0ab0c

3、在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖个点。

4.相反数：

在原点两侧，到原点距离相等的两个数（只有符号不同的两个数）

（1）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0；

反之，如果一个数的相反数是负数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是正数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是0，那么这个数必然为0；

（2）0的相反数为0，所以如果一个数与它的相反数相等，那么这个数必然为0；

（3）求数或式子的相反数，直接在数或式子前加负号，注意式子的相反数要在整体前加负号。

（4）互为相反数的两个数，和为0；和为0的两个数，互为相反数。

（5）化简时，奇数个负号，结果为负；偶数个负数，结果为正。

习题：

1、如果，那么=______；

2、若a与b互为相反数，则a+b=；

3、化简符号：

－[－（－3）]=；－[＋（－3）]=。

4、相反数是它本身的数是　　　　　　；

5.绝对值：

数轴上某点到原点的距离，就是这点所表示的数的绝对值。

（1）正数的绝对值是本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

反之，绝对值等于本身的数必然为正数和0；绝对值为它的相反数的数为负数和0；

（2）绝对值非负：

正数和负数的绝对值都为正数；0的绝对值为0，0的绝对值最小;

（3）0的绝对值考点：

如果一个数的绝对值为0，那么这个数必然为0;如果一个式子的绝对值为0，那么这个式子必然为0；如果两个式子的绝对值之和为0，那么这两个式子同时为0；

（4）绝对值为某正数的数有两个，这两个数互为相反数；

所以当绝对值确定时，数并不能确定，而是一正一负都有可能。

（5）如果一个数与它的绝对值和为0，那么这个数为负数或0

（6）比较大小：

a）绝对值法：

两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的小；正数与负数，正数大于负数。

b）数轴法：

在数轴上表示（想象）出两个数的位置，右边>左边。

（7）一个数由符号和绝对值两部分组成，这两部分确定了，这个数就确定了。

习题：

1、绝对值是它本身的数是　　　　

2、如果|x＋8|＝5，那么x＝　　　　　　。

3、绝对值不大于4的整数共有___个，其中最小的是___，绝对值最小的是____．

4、已知，则。

5.当a﹤0时，；的相反数是，绝对值为5的数是，

6.绝对值最小的数是，绝对值等于的数是。

7.绝对值小于3的整数有个，它们是；绝对值大于6小于13的所有负整数的和是。

8.已知，，则。

9.若，，且a﹥0，b﹤0，则。

10.满足的数有个。

11.若，则。

12.的绝对值与的相反数的差是。

13.若、互为倒数，、互为相反数，，

14.若、互为相反数，、互为倒数，有理数在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式的值是。

15.若，则0，若，则0。

16.已知，，求的值。

33.已知a﹤0,b﹤0，且︱a︱﹤︱b︱，试用“﹤”号将、、、连接起来。

17.有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是

A.︱b︱﹥-aB.︱a︱﹥-bC.b﹥aD.︱a︱﹥︱b︱

18.已知，求、的值。

0

19.已知，求的值。

20.，则。

21.如果，那么。

6.倒数：

乘积为1的两个数互为倒数。

（1）注意：

互为倒数的两个数乘积为1，而非-1；所以，正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；0没有倒数。

（2）互为倒数的两个数，乘积为1；反之，乘积为1，互为倒数。

（3）倒数为本身的数有两个，1和-1.

习题：

1、倒数是它本身的数是　　　　　　；

2、若、互为相反数，、互为倒数，有理数在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式的值是。

二、有理数的运算

（一）有理数的加减法

1、有理数的加法

（1）加法法则：

a）同号两数相加，符号不变，绝对值相加。

b）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.

c）一个数同0相加，仍得这个数。

（2）加法计算的步骤：

先确定和的符号，再确定和的绝对值。

（3）加法运算律：

加法交换律：

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：

a+b=b+a。

加法结合律：

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：

（a+b）+c=a+（b+c）

加法结合律一般遵循：

互为相反数的数结合；同分母（易通分）的数结合；和为整数（10、100、1000等数的倍数）的数结合；同号的数结合；具体情况，灵活运用。

2、有理数的减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：

a-b=a+（-b）

减法法则，实现了变减法为加法。

3、有理数的加减混合运算

根据减法法则，变减法为加法，统一为加法运算。

代数和：

的加减法算式视为省略加号的几个有理数的和，称这个算式的结果为这几个有理数的代数和。

化为代数和形式后，运算还要按照有理数的加法运算法则进行。

去括号法则：

括号前为正号，去括号后括号里各数不改变符号；括号前为负号，去括号后括号里各数改变符号；

添括号法则：

括号前添正号，添括号后括号里各数不改变符号；括号前添负号，添括号后括号里各数改变符号。

（二）有理数的乘除法

1、有理数的乘法：

（1）有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.

乘法运算的步骤，与加法运算一样，先确定积的符号，再确定积的绝对值。

（2）乘法运算律

乘法交换律：

有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：

ab=ba

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：

（ab）c=a（bc）

结合律一般遵循：

能约分的数结合；乘积为整数（10、100、1000的倍数）的数结合。

乘法分配律：

一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：

a（b+c）=ab+ac（有时正用，有时逆用）

（3）连乘法积的符号：

几个非0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：

负因数为奇数个时，积为负数；负因数为偶数个数，积为正数。

可先确定符号，再确定得数。

2、有理数除法法则：

（1）两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

（2）除以一个不等于0的数，等于乘以一个数的倒数。

化简分数时，任意改变分子、分母、分数的符号中的两个，分式的值不变；分数线可以看成除号。

3、有理数乘除法混合运算：

按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

（三）有理数的乘方

1、乘方：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

n个相同的因数a相乘，记做an中，a叫做底数，n叫做指数。

根据有理数的乘法法则可以得出：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

注意（-a）n与-an的区别；an与（-a）n的关系：

掌握1-20的数的平方，1-10数的立方。

2、有理数的混合运算顺序

（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

3、科学记数法：

把一个大于10的数表示成a*10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），叫做科学记数法。

a：

1≤︱a︱＜10；n：

小数点移动的位数

会用科学记数法表示数；会求科学记数法所表示的原数。

4、近似数：

与实际数有差别但是可以代表实际数的数。

近似数通常通过四舍五入获得，用精确度表示近似数与实际数近似的程度。

精确度（精确到的位数）：

个位、十位、百位、千位……

十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.001）、万分位（0.0001）……

有效数字：

从左边第一个非0数字起，到末位数字为止，所有数字都是这个数的有效数字。