关于层次分析法和灰色关联分析法的研究精.docx
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关于层次分析法和灰色关联分析法的研究精
论文题目:
关于层次分析法和灰色关联分析法的研究
目录..............................................................................................................................................I摘要..................................................................................................................................................IAbstract..........................................................................................................................................II1引言..........................................................................................................................................12层次分析法..............................................................................................................................22.1层次分析法的步骤..........................................................................................................22.1.1层次结构的建立.................................................................................................22.1.2构建判断矩阵.......................................................................................................32.1.3层次排序和一致性检验.......................................................................................52.1.4层次总排序及一致性检验...................................................................................8
2.2层次分析法结论............................................................................................................10
3灰色关联分析法.......................................................................................................................123.1灰色关联的具体步骤....................................................................................................123.1.1确定分析序列...................................................................................................123.1.2无量纲化...........................................................................................................133.1.3求关联度...........................................................................................................143.2灰色关联结论................................................................................................................153结论........................................................................................................................................16参考文献:
...................................................................................................................................17附录...............................................................................................................................................18致谢...........................................................................................................................................20
摘要
层次分析法是将半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法,是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统性强等特点。
灰色关联分析目的是寻求系统各因素之间的重要关系,而灰色关联度是灰色关联分析的基础,其算法基本思想是根据行为序列曲线几何形状的相似性来确定序列之间联系的紧密型。
本文尝试将这两种思想应用于NBA常规赛最有价值球员（MVP的评判上。
通过结果研究层次分析法和灰色关联分析这两种思想的差异性、优缺点。
关键词:
层次分析法;灰色关联分析;NBA;MVP
Abstract
AnalyticHierarchyProcessisasemi-stereotypes,semi-quantitativeproblemintoaneffectivemethodofquantitativeproblems,istoanalyzethemulti-objective,multi-criterialargecomplexsystemapowerfultoolforclearthinking,methodissimple,usingthesurfacewidesystemic.Grayrelationalanalysisseekstheimportantrelationshipbetweenthefactorsofthesystem,andthegrayrelationalgradegrayrelationalanalysis.Thebasicideaofthealgorithmisbasedonthesimilarityofbehaviorsequencecurvegeometrytodeterminethesequenceofthelinkbetweencompact.ThispaperattemptstoapplythesetwoideasonthejudgmentoftheNBAregularseasonMostValuablePlayer（MVP.Bytheresultsofanalytichierarchyprocessandgrayrelationalanalysisofthesetwoideologicaldifferences,advantagesanddisadvantages.
Keywords:
AnalyticHierarchyProcess;GreyRelationalAnalysis;NBA;MVP
1引言
在日常生活中,人们要对许多较为复杂、较为模糊的问题做出决策。
如生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要做出最佳生产决策,消费者面对众多的商品要做出最佳的购买决策。
科研单位要根据自己的科研能力、项目的科学意义及实用价值项目的研究经费等因素选择最适合的课题,当你面临报考学校,挑选专业,或者选择工作岗位是,都要做出慎重决策等等,这些都是难于用定量进行分析的问题,当我们面对这些问题时,影响我们做出决策的因素很多,一些因素存在定量指标,可以定量描述,但更多的因素不存在定量指标,只能定性的对它们进行比较。
在处理这些比较复杂又比较模糊的问题时,如何进行全面的、系统的分析比较,并最终做出较为明智的决策呢?
T.L.Saaty等在20世纪70年代末提出了一种定性和定量相结合、系统化层次化的分析方法,称为层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,简称AHP。
层次分析法是将半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法,是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统性强等特点。
它使人们的思维过程层次化,通过逐层比较多种关联因素来分析、决策或控制事物的发展提供定量的依据。
其基本思想,是根据问题的性质和要达到的目标,将问题按层次分析成各个组成因素,再按支配关系分组成有序的递阶层次结构。
对同一层次内的因素,通过两两比较的方式确定诸因素之间的相对重要性权重。
下一层次的因素的重要性,既要考虑本层次,又要考虑到上一层次的权重因子逐层计算,直至最后一层一般是要比较的各个方案权重大小。
灰色关联分析法是由中国学者邓聚龙教授于1982年创立的,该理论是以“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象,主要通过对“部分”已知信息的生成、开发,提取有价值的信息,实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
灰色关联度分析法是将研究对象及影响因素的因子值视为一条线上的点,与待识别对象及影响因素的因子值所绘制的曲线进行比较,比较它们之间的贴近度,并分别量化,计算出研究对象与待识别对象各影响因素之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断待识别对象对研究对象的影响程度。
两种思想都都为我们决策带来了方便,但有时我们却无从选择哪一种方法,本文运用两种思想分析NBA常规赛最有价值球员,进而比较层次分析法和灰色关联在实际运用中的区别,为大家在实际解决问题、做出决策时能够在这两种方法中更有效的做出选择。
2层次分析法
2.1层次分析法的步骤
层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过程是一致的。
层次分析过程大致可以分为四个步骤:
（1建立层次结构模型。
在深入分析面临的问题后,讲决策问题分为三个层次。
最上层为目标层O;最下层为方案层P;中间层为准则层C（准则层可以分为若干个子层,个层次的联系用相连的直线表示。
（2构造判断矩阵。
通过相互比较确定各层次中的因素对于上一层次中每一因素的所有判断矩阵。
（3单层排序及一致性检验。
通过判断矩阵求出各层次中的因素对于上一层每一因素的权重向量,并进行一致性检验。
（4层次总排序及一致性检验。
将层次中的因素对于上一层次的权重向量及上一层对于总目标的权重向量综合,确定该层次对于总目标的权重向量,并对总排序进行一致性检验。
2.1.1层次结构的建立
首先要把问题条理化、层次化,构造出一个层次分析的结构模型。
在这个结构模型下,复杂问题被分解成人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按照其属性分成若千组,形成不同层次。
同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一层次元素的支配。
这些层次大体上可以分为三类:
1、最高层这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或者理想结果,因此也称目标层。
2、中间层这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需要考虑的准则、子准则,因此也称为准则层
3、最低层表示为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或者方案层。
上述各个层次之间的支配关系不一定是完全的,即可以存在这样的元素,它并不支持下一层次的所有元素而仅仅支持其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构,我们称为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关,一般它可以不受限制。
根据问题研究NBA最有价值球员（MVP我们可以画出如下的阶梯层次结构图:
图2-1阶梯层次结构图
2.1.2构建判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。
此外,当影响某因素的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
设现在要比较n个因子}x,...,x{n1=X错误!
未找到引用源。
对某因素Z的影响大小,怎样比较才能提供可信的数据呢?
Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
即每次取两个因子ix对jx的影响大小之比,全部比较结果用矩阵错误!
未找到引用源。
n*nija（=A表示,称Z—X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵。
容易看出,若错误!
未找到引用源。
与错误!
未找到引用源。
对Z的影响之比为ija错误!
未找到引用源。
则错误!
未找到引用源。
与错误!
未找到引用源。
对Z的影响之比应为
ij
jia1
a=
错误!
未找到引用源。
。
定义1:
若矩阵错误!
未找到引用源。
满足
（i错误!
未找到引用源。
>0;（ii错误!
未找到引用源。
ij
jia1
a=（i,j=1,„,n,则称之为正互反矩阵。
要确定错误!
未找到引用源。
的值,我们常用1~9和它倒数作为ija的取值范围量化尺度如下:
表2-1量化尺度表
从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断能力,既增加了作判断的难度,又容易因此而提供虚假数据。
Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性,实验结果也表明,采用1~9标度最为合适。
当然,也有其他一些不错的标度方法可以选择。
最后,应该指出,一般地作错误!
未找到引用源。
2
1-n（n次两两判断是必要的。
有人认为把所有元素都和某个元素比较,即只作n−1次比较就可以了。
这种作法的缺点在于,任何一个判断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。
进行错误!
未找到引用源。
次比较可以提供更多的信息,通过各种不同角度的反复比较,从而得出一个合理的排序。
在研究NBA球员的综合实力中,通过对30名球迷调查（详细调查结果见附录我们可以大致得出判断矩阵:
表2-2A-B判断矩阵
AB1B2B112B2
1/21
其中21,BB分别指的球队战绩和比赛数据。
实地调查和网上查找分析,球队战绩相对
于比赛数据更为重要。
表2-3错误!
未找到引用源。
111CB判断矩阵
对比打分
相对重要程度说明
1同等重要两个元素相比,具有同等重要性
3略微重要两个元素相比,一个元素比另一个元素稍微重要5基本重要两个元素相比,一个元素比另一个元素明显重要7确实重要两个元素相比,一个元素比另一个元素强烈重要9
绝对重要
两个元素相比,一个元素比另一个元素极端重要
2,4,6,8两相邻度程度的中间值
需要折中时采用
11112111112
1
1
11C,12C分别指的是方案层的主队战绩和客队战绩。
根据调查发现两个因数同等重要。
表2-4错误!
未找到引用源。
判断矩阵
B2
C21C22C23C24C25C26C27C28C211448881616C221/41122244C231/41122244C241/81/21/211122C251/81/21/211122C261/81/21/211122C271/161/41/41/21/21/211C28
1/16
1/4
1/4
1/2
1/2
1/2
1
1
其中错误!
未找到引用源。
、C22、C23、C24、C25、C26、C27、C28分别表示得分、助攻、篮板、盖帽、抢断、命中、失误、犯规。
2.1.3层次排序和一致性检验
判断矩阵A对应于最大特征值maxλ的特征向量W,经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,也就是每一个判断矩阵各个因素针对器其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰,较客观地反映出一对因子影响力的差别。
但综合全部比较结果时,其中难免包含一定程度的非一致性。
如果比较结果是前后完全一致的,则矩阵A的元素还应当满足:
错误!
未找到引用源。
n,...,2,1k,i,aaaikjkij=∀=
定理1:
正互反矩阵A的最大特征根maxλ必为正实数,其对应特征向量的所有分量均为正实数。
A的其余特征值的模均严格小于maxλ。
定理2:
若A为一致矩阵,则（1A必为正互反矩阵。
（2A的转置矩阵错误!
未
找到引用源。
TA也是一致矩阵。
（3A的任意两行成比例,比例因子大于零,从而rank（A=1（同样,A的任意两列也成比例。
（4A的最大特征值,其中maxλ=n,其中n为矩阵A的阶。
A的其余特征根均为零。
（5若A的最大特征值maxλ对应的特征向量为错误!
未找
到引用源。
TW
...（n21ωωω=,则n,...,2,1j,i,aj
i
ij=∀=ωω错误!
未找到引用源。
即错误!
未找到引用源。
A=⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn2n1nn
22212
n12111.....................
ωω
ωωωωωωωωω
ωωωωωωω
定理3:
n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根maxλ=n,且当正互反矩阵A非一致时,必有maxλ>n。
根据定理3,我们可以由maxλ是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。
由于特征根连续地依赖于错误!
未找到引用源。
故maxλ比n大得越多,A的非一致性程度也就越严重,maxλ对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出错误!
未找到引用源。
在对因素Z的影响中所占的比重。
从人类的认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反一致性准则,在逻辑上是不合理。
因此,对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验,以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下:
（i计算一致性指标CI=错误!
未找到引用源。
1
-nn
max-λ
（ii查找相应的平均随机一致性指标RI。
对n=1,2,„,9,Saaty给出了RI的值,
表2-5RI值
n
1234567891011RI
000.580.901.121.241.321.411.451.491.51
RI的值是这样得到的,用随机方法构造500个样本矩阵:
随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵,求得最大特征根的平均值max'λ,并定义RI=错误!
未找到引用源。
1
-nn
'max-λ
（ⅲ计算一致性比例CR=
RI
CI
错误!
未找到引用源。
当CR<0.10时,认为矩阵的不一致程度在容许范围内,可用其特征向量作为权向量。
即可初步确认该判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。
层次单排序的方法有归一化求和法和求根法两种,我们在这里主要是使用归一化求和
法来进行计算,具体如下:
（1对判断矩阵B的每一列进行归一化如∑==
n
1
kkj
ij
ij-
b
bb:
错误!
未找到引用源。
。
（2写出归一化后的矩阵-B如:
-B=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----
--
-
-
-nn2n1nn22221
n112
11
b...bb............b...bbb...bb错误!
未找到引用源。
并求列和为∑=--
=
n1
jij
ib
W
（3写出权向量W:
错误!
未找到引用源。
∑=-
-
=n
1
iiii/WWW,W=错误!
未找到引用源。
[]n21...WWW
（4一致性检验:
由矩阵理论得出特征根:
n21....,,λλλ;和判断矩阵一致性指标:
CI=错误!
未找到引用源。
。
用随机一致性比率CR<0.1作为矩阵具有满意的一致性的判据。
表2-6A-B判断矩阵
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