关于层次分析法和灰色关联分析法的研究精.docx

1、关于层次分析法和灰色关联分析法的研究精论文题目 : 关于层次分析法和灰色关联分 析法的研究目 录 . . I 摘要 . . I Abstract . II 1引言 . 1 2层次分析法 . 2 2.1 层次分析法的步骤 . . 2 2.1.1 层次结构的建立 . . 2 2.1.2 构建判断矩阵 . . 3 2.1.3 层次排序和一致性检验 . . 5 2.1.4 层次总排序及一致性检验 . . 82.2 层次分析法结论 . . 103 灰色关联分析法 . . 12 3.1 灰色关联的具体步骤 . . 12 3.1.1 确定分析序列 . . 12 3.1.2 无量纲化 . . 13 3.1.3

2、 求关联度 . . 14 3.2 灰色关联结论 . . 15 3结论 . 16参考文献:. . 17附录 . . 18致 谢 . . 20摘要层次分析法是将半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法,是分 析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统 性强等特点。灰色关联分析目的是寻求系统各因素之间的重要关系,而灰色关联度是灰色 关联分析的基础,其算法基本思想是根据行为序列曲线几何形状的相似性来确定序列之间 联系的紧密型。本文尝试将这两种思想应用于 NBA 常规赛最有价值球员(MVP 的评判上。 通过结果研究层次分析法和灰色关联分析这两种思想的差异

3、性、优缺点。关键词:层次分析法;灰色关联分析; NBA ; MVPAbstractAnalytic Hierarchy Process is a semi-stereotypes, semi-quantitative problem into an effective method of quantitative problems, is to analyze the multi-objective, multi-criteria large complex system a powerful tool for clear thinking, method is simple, using t

4、he surfacewide systemic. Gray relational analysis seeks the important relationship between the factors of the system, and the gray relational grade gray relational analysis. The basic idea of the algorithm is based on the similarity of behavior sequence curve geometry to determine the sequence of th

5、e link between compact. This paper attempts to apply these two ideas on the judgment of the NBA regular season Most Valuable Player (MVP. By the results of analytic hierarchy process and gray relational analysis of these two ideological differences, advantages and disadvantages.Key words: Analytic H

6、ierarchy Process; Grey Relational Analysis; NBA ; MVP1引言在日常生活中,人们要对许多较为复杂、较为模糊的问题做出决策。如生产者面对消 费者的各种喜好或竞争对手的策略要做出最佳生产决策,消费者面对众多的商品要做出最 佳的购买决策。科研单位要根据自己的科研能力、项目的科学意义及实用价值项目的研究 经费等因素选择最适合的课题,当你面临报考学校,挑选专业,或者选择工作岗位是,都 要做出慎重决策等等,这些都是难于用定量进行分析的问题,当我们面对这些问题时,影 响我们做出决策的因素很多,一些因素存在定量指标,可以定量描述,但更多的因素不存 在定量指标,

7、只能定性的对它们进行比较。在处理这些比较复杂又比较模糊的问题时,如 何进行全面的、系统的分析比较,并最终做出较为明智的决策呢 ?T.L.Saaty 等在 20世纪 70年代末提出了一种定性和定量相结合、系统化层次化的分 析方法,称为层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP 。层次分析法是将 半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法,是分析多目标、多准则的 复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统性强等特点。它使人 们的思维过程层次化,通过逐层比较多种关联因素来分析、决策或控制事物的发展提供定 量的依据。其基本思想,是根据问

8、题的性质和要达到的目标,将问题按层次分析成各个组 成因素,再按支配关系分组成有序的递阶层次结构。对同一层次内的因素,通过两两比较 的方式确定诸因素之间的相对重要性权重。下一层次的因素的重要性,既要考虑本层次, 又要考虑到上一层次的权重因子逐层计算,直至最后一层一般是要比较的各个方案权重大 小。灰色关联分析法是由中国学者邓聚龙教授于 1982年创立的,该理论是以“部分信息 已知,部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象,主要通过对 “部分”已知信息的生成、开发,提取有价值的信息,实现对系统运行行为、演化规律的 正确描述和有效监控。灰色关联度分析法是将研究对象及影响因素的因子值

9、视为一条线上 的点 , 与待识别对象及影响因素的因子值所绘制的曲线进行比较 , 比较它们之间的贴近度 , 并分别量化 , 计算出研究对象与待识别对象各影响因素之间的贴近程度的关联度 , 通过比 较各关联度的大小来判断待识别对象对研究对象的影响程度。两种思想都都为我们决策带来了方便,但有时我们却无从选择哪一种方法,本文运用 两种思想分析 NBA 常规赛最有价值球员,进而比较层次分析法和灰色关联在实际运用中的 区别,为大家在实际解决问题、做出决策时能够在这两种方法中更有效的做出选择。2层次分析法2.1 层次分析法的步骤层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过程是一致的。层次分析过 程大

10、致可以分为四个步骤:(1建立层次结构模型。在深入分析面临的问题后,讲决策问题分为三个层次。最 上层为目标层 O ;最下层为方案层 P ;中间层为准则层 C (准则层可以分为若干个子层, 个层次的联系用相连的直线表示。(2构造判断矩阵。通过相互比较确定各层次中的因素对于上一层次中每一因素的 所有判断矩阵。(3单层排序及一致性检验。通过判断矩阵求出各层次中的因素对于上一层每一因 素的权重向量,并进行一致性检验。(4层次总排序及一致性检验。将层次中的因素对于上一层次的权重向量及上一层 对于总目标的权重向量综合,确定该层次对于总目标的权重向量,并对总排序进行一致性 检验。2.1.1 层次结构的建立首先

11、要把问题条理化、 层次化, 构造出一个层次分析的结构模型。 在这个结构模型下, 复杂问题被分解成人们称之为元素的组成部分。这些元素又按照其属性分成若千组,形成 不同层次。同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一 层次元素的支配。这些层次大体上可以分为三类:1、最高层这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或者理想结果,因此 也称目标层。2、中间层这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包 括所需要考虑的准则、子准则,因此也称为准则层3、最低层表示为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或者方 案层。上述各个层次之

12、间的支配关系不一定是完全的,即可以存在这样的元素,它并不支持 下一层次的所有元素而仅仅支持其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结 构,我们称为递阶层次结构。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽 程度有关,一般它可以不受限制。根据问题研究 NBA 最有价值球员(MVP 我们可以画 出如下的阶梯层次结构图: 图 2-1 阶梯层次结构图2.1.2 构建判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不 一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该 因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。

13、此外,当影响某因素 的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾 此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至有可能提出一组 隐含矛盾的数据。设现在要比较 n 个因子 x , . , x n 1=X 错误!未找到引用源。 对某因素 Z 的影响大 小,怎样比较才能提供可信的数据呢? Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立 成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子 i x 对 j x 的影响大小之比,全部比较结果用矩阵 错 误! 未找到引用源。 n *n ij a (=A 表示, 称 Z X 之间的成对比较判断矩阵 (简称判断矩阵 。

14、容易看出,若 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用源。 对 Z 的影响之比为 ij a 错误! 未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用源。 对 Z 的影响之比应为ijji a 1a =错误!未找到引用源。 。 定义 1:若矩阵 错误!未找到引用源。 满足(i 错误!未找到引用源。 0;(ii 错误!未找到引用源。 ijji a 1a =(i , j=1, n , 则称之为正互反矩阵。要确定 错误!未找到引用源。 的值,我们常用 19和它倒数作为 ij a 的取值范围量化尺度 如下 :表 2-1 量化尺度表从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断能力,既增加了作

15、判断的难度,又容 易因此而提供虚假数据。 Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果 的正确性,实验结果也表明,采用 19标度最为合适。当然,也有其他一些不错的标度方 法可以选择。最后,应该指出,一般地作 错误!未找到引用源。21-n (n 次两两判断是 必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较,即只作 n 1次比较就可以了。这种作法 的缺点在于,任何一个判断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的失误对于难以定 量的系统往往是难以避免的。进行 错误!未找到引用源。 次比较可以提供更多的信息,通 过各种不同角度的反复比较,从而得出一个合理的排序。在研究 NBA 球员的综合

16、实力中,通过对 30名球迷调查(详细调查结果见附录我们 可以大致得出判断矩阵:表 2-2 A-B 判断矩阵A B 1 B 2 B 1 1 2 B 21/2 1其中 21, B B 分别指的球队战绩和比赛数据。实地调查和网上查找分析,球队战绩相对于比赛数据更为重要。表 2-3 错误!未找到引用源。 111C B 判断矩阵对比打分相对重要程度 说明1 同等重要 两个元素相比,具有同等重要性3 略微重要 两个元素相比,一个元素比另一个元素稍微重要 5 基本重要 两个元素相比,一个元素比另一个元素明显重要 7 确实重要 两个元素相比,一个元素比另一个元素强烈重要 9绝对重要两个元素相比,一个元素比另一

17、个元素极端重要2, 4, 6, 8 两相邻度程度的中间值需要折中时采用1 11 12 11 1 1 121111C , 12C 分别指的是方案层的主队战绩和客队战绩。根据调查发现两个因数同等重要。表 2-4 错误!未找到引用源。 判断矩阵B 2C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 27 C 28 C 21 1 4 4 8 8 8 16 16 C 22 1/4 1 1 2 2 2 4 4 C 23 1/4 1 1 2 2 2 4 4 C 24 1/8 1/2 1/2 1 1 1 2 2 C 25 1/8 1/2 1/2 1 1 1 2 2 C 26 1/8 1/2 1/

18、2 1 1 1 2 2 C 27 1/16 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 1 1 C 281/161/41/41/21/21/211其中 错误!未找到引用源。 、 C 22、 C 23、 C 24、 C 25、 C 26、 C 27、 C 28分别表示得分、助 攻、篮板、盖帽、抢断、命中、失误、犯规。 2.1.3 层次排序和一致性检验判断矩阵 A 对应于最大特征值 max 的特征向量 W ,经归一化后即为同一层次相应因素 对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,也就是每一个判断矩阵各个因素针对器其准 则的相对权重,所以本质上是计算权向量。这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩

19、阵的办法虽能减少其它因素的干扰,较客观地反映出一对因 子影响力的差别。但综合全部比较结果时,其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较 结 果 是 前 后 完 全 一 致 的 , 则 矩 阵 A 的 元 素 还 应 当 满 足 :错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。n , . , 2, 1k , i , a a a ik jk ij =定理 1:正互反矩阵 A 的最大特征根 max 必为正实数 , 其对应特征向量的所有分量均为 正实数。 A 的其余特征值的模均严格小于 max 。定理 2:若 A 为一致矩阵,则 (1 A 必为正互反矩阵。(2 A 的转置矩阵 错误!未找到引用源。 T A 也是

20、一致矩阵。 (3 A 的任意两行成比例, 比例因子大于零, 从而 rank(A=1(同样, A 的任意两列也成比例。(4 A 的最大特征值,其中 max = n,其中 n 为矩阵 A 的阶。 A 的其余特征根均为零。(5若 A 的最大特征值 max 对应的特征向量为 错误!未找到引用源。 T W . (n 21=,则 n , . , 2, 1j , i , a jiij =错误!未找到引用源。 ,即 错误!未找到引用源。 A=n n 2n 1n n22212n 12111. . . . . . .定理 3:n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根 max =n, 且当正互反矩阵 A

21、 非一致时,必有 max n。根据定理 3,我们可以由 max 是否等于 n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。由于特 征根连续地依赖于 错误!未找到引用源。 ,故 max 比 n 大得越多, A 的非一致性程度也就越 严重, max 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出 错误!未找到引用源。 在对因 素 Z 的影响中所占的比重。从人类的认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一 定逻辑规律的,例如若 A 比 B 重要, B 比 C 重要,则从逻辑上讲, A 应该比 C 明显重要, 若两两比较时出现 A 比 C 重要的结果, 则该判断矩阵违反一致性准则, 在逻辑上是不合理。 因此,

22、对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验,以决定是否能接受它。 对判 断矩阵的一致性检验的步骤如下:(i 计算一致性指标 CI=错误! 未找到引用源。1-n nmax -(ii 查找相应的平均随机一致性指标 RI 。对 n=1, 2, 9, Saaty 给出了 RI 的值,表 2-5 RI 值n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51RI 的值是这样得到的,用随机方法构造 500个样本矩阵:随机地从 19 及其倒数中抽取 数字构造正互反矩阵,求得最大特征根的平均值 max ,并定义

23、RI=错误!未找到引用源。1-n n max -(计算一致性比例 CR=RICI错误!未找到引用源。 ,当 CR0.10 时,认为矩阵的不一 致程度在容许范围内,可用其特征向量作为权向量。 即可初步确认该判断矩阵的一致性 是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。层次单排序的方法有归一化求和法和求根法两种,我们在这里主要是使用归一化求和法来进行计算,具体如下 :(1对判断矩阵 B 的每一列进行归一化如 =n1k kjijij -bb b : 错误!未找到引用源。 。(2写出归一化后的矩阵 -B 如:-B =-nn 2n 1n n 22221n 11211b . b b . . . . b . b b b . b b 错误!未找到引用源。 ,并求列和 为 =-=n 1j iji bW(3 写出权向量 W :错误! 未找到引用源。 =-=n1i i i i /W W W , W =错误! 未找到引用源。 n 21. W W W(4一致性检验:由矩阵理论得出特征根:n 21. , , ;和判断矩阵一致性指标: CI =错误!未找到引用源。 。用随机一致性比率 CR0.1作为矩阵具有满意的一致性的判据。表 2-6 A-B判断矩阵