古塔的变形高教杯数学建模c题答案.docx
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古塔的变形高教杯数学建模c题答案
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目：
古塔的变形
摘要
古塔是展现中国古代悠久历史的文化载体，是我国古代具有代表性的建筑，它不仅蕴含了丰富的历史信息还见证了古代建筑师的建筑之精妙。
本文针对古塔长时间承受自重和外力作用引起的组合变形问题，采用数据处理、几何分析及曲线拟合的方法，利用matlab等数学软件编程、计算，给出了确定古塔各层中心位置的通用方法，根据所给的各次测量数据计算出古塔各层的中心坐标，分析了该塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况对变形趋势做了预测。
针对问题1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLAB制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有倾斜、扭曲、变形等情况。
针对问题2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。
首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。
另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。
而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。
针对问题3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。
因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。
且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。
关键词:
古塔组合变形倾斜弯曲扭曲中心位置变形趋势
一问题复述
古塔是有着特定的形式和风格的东方传统建筑，是中国五千年文明史的载体之一，被誉为中国古代杰出的高层建筑。
但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。
文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时的观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔的变形趋势，最后制定必要的保护措施。
请根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1、给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2、分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3、分析该塔的变形趋势。
二问题的分析
本文研究的是古塔的变形问题。
在给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的4次观测数据）的条件下，我们需要用建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。
并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。
在问题1中，我们需要确定古塔各层中心位置，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。
首先，我们假设各测量点都是选取得科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件1）也可以看出它们是大致在同一平面上。
那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出，那近似于一个的多边形，所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。
在问题2中，我们需要分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
根据问题1中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连起来，观察它。
理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于X轴和Y轴平行Z轴的直线。
如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于Z轴了，说明该古塔发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。
在问题3中，我们分析该塔的变形趋势时，通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。
三模型假设
1、假设倾斜只受地基的沉降影响，忽略其他因素。
2、假设各测量点都是选取的都是科学合理的位置。
3、假设每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。
4、假设同一层测量点都大致在同一平面上。
5、假设各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。
6、假设测量点的位置都是古塔上固定的位置。
四符号说明
符号
符号说明
第
层中心；
层数
；
测量点标记
；
轴坐标；
轴坐标；
轴坐标；
拟合线
轴坐标；
拟合线
轴坐标；
拟合线
轴坐标；
第
层中心的
轴坐标；
第
层中心的
轴坐标；
第
层中心的
轴坐标；
测量点数
时间
时间差
坐标差
坐标差
坐标差
真实值与计算的近似值之差
真实值与计算的近似值之差
方程中的参数
第
层的方程参数
五建立数学模型
1、确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标
根据几何中心计算方法，我们可以得出计算各层中心位置的通用方法。
即：
我们把每层的8个测量值，分别求x，y，z的均值，得到的坐标就是每层的中心位置。
表1：
1986年各层中心位置
楼层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.6648
522.7105
1.7874
2
566.7196
522.6684
7.3202
3
566.7735
522.6273
12.7552
4
566.8161
522.5944
17.0783
5
566.8621
522.5591
21.7205
6
566.9084
522.5244
26.2351
7
566.9467
522.5081
29.8369
8
566.9843
522.4924
33.3509
9
567.0218
522.4764
36.8549
10
567.0569
522.4230
40.1721
11
567.1045
522.4230
44.4409
12
567.1518
522.3836
48.7119
13
567.0850
522.7403
52.8343
塔顶
567.2473
522.2437
55.1232
表1数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表2：
1996年各层中心位置
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.6650
522.7102
1.7830
2
566.7205
522.6674
7.3146
3
566.7751
522.6256
12.7508
4
566.8183
522.5922
17.0751
5
566.8649
522.5563
21.7160
6
566.9118
522.5210
26.2295
7
566.9506
522.5042
29.8322
8
566.9884
522.4881
33.3454
9
567.0265
522.4714
36.8482
10
567.0620
522.4572
40.1676
11
567.1102
522.4173
44.4354
12
567.1578
522.3775
48.7074
13
567.0912
522.7340
52.8300
塔顶
567.2543
522.2366
55.1198
表2数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表3：
2009年各层中心位置
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.7268
522.7015
1.7645
2
566.7640
522.6693
7.3090
3
566.8001
522.6384
12.7323
4
566.8293
522.6132
17.0697
5
566.8603
522.5866
21.7094
6
566.9471
522.5342
26.2110
7
566.9792
522.5123
29.8246
8
567.0305
522.4797
33.3398
9
567.0816
522.4466
36.8438
10
567.1370
522.3937
40.1611
11
567.1799
522.3547
44.4326
12
567.2225
522.3160
48.6998
13
567.2712
522.2715
52.8183
塔顶
567.336
522.2148
55.091
表3数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
表4：
2011年古塔各层中心位置坐标
层
中心位置坐标
x/m
y/m
z/m
1
566.7270
522.7014
1.7632
2
566.7462
522.6690
7.2905
3
566.8004
522.6387
12.7269
4
566.8297
522.6427
17.0520
5
566.8610
522.5860
21.7039
6
566.9478
522.5335
26.2045
7
566.9800
522.5115
29.8170
8
567.0313
522.4788
33.3366
9
567.0825
522.4457
36.8222
10
567.1381
522.3926
40.1441
11
567.1810
522.3535
44.4248
12
567.2238
522.3147
48.6838
13
567.2725
522.2701
52.8131
塔顶
567.3375
522.2135
55.087
表4数据分析：
我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。
而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。
结论：
说明该古塔发生了倾斜变形。
2分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况
我们由已知的空间直线的标准点向式方程
整理得直线射影式方程
其中
；
；
；
。
这样直线可以看作是用这2个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别对2个方程进行数据拟合。
设
表示按拟合方程求得的近似值。
一般地，它不同于实测值
，两者之差
同理可得
当Q取最小值时a，b，c，d的值即为方程的系数，即满足下列方程时Q值最小。
有
方程组（6）可写成
根据n组数据点解方程组就可以得到a，b，c，d的值，也就可以得到拟合线方程。
然后我们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断，古塔是否已经发生倾斜，弯曲或扭曲。
六模型的求解
（1）通过前的算法模型，我们建立出1986年中心位置拟合线方程为：
图11986年古塔数据综合分析
分析1986年古塔变形情况：
通过观察图1的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表1中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图1中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（2）通过前的算法模型，我们可以建立起1996年中心位置拟合线方程为：
图21996年古塔数据综合分析
分析1996年古塔变形情况：
通过观察图2的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表2中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图2中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（3）通过前的算法模型，我们可以建立起2009年中心位置拟合线方程为：
图32009年古塔数据综合分析
分析2009年古塔变形情况：
通过观察图3的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表3中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图3中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
（4）通过前的算法模型，我们可以建立2011年中心位置拟合线方程为：
图42011年古塔数据综合分析
分析2011年古塔变形情况：
通过观察图4的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。
我们通过分析表4中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。
我们再分析图4中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。
结论：
综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。
表5：
各层两次测量期间中心位置变化情况
1996-1986
2009-1996
2011-2009
变化量
1
0.0002
-0.0003
-0.0044
0.0618
-0.0087
-0.0185
0.0002
-0.0001
-0.0013
2
0.0009
-0.0010
-0.0056
0.0435
0.0019
-0.0056
-0.0178
-0.0003
-0.0185
3
0.0016
-0.0017
-0.0044
0.0250
0.0128
-0.0185
0.0003
0.0003
-0.0055
4
0.0022
-0.0022
-0.0032
0.0110
0.0210
-0.0054
0.0004
0.0295
-0.0177
5
0.0028
-0.0028
-0.0045
-0.0046
0.0303
-0.0066
0.0007
-0.0006
-0.0056
6
0.0034
-0.0034
-0.0056
0.0353
0.0132
-0.0185
0.0007
-0.0007
-0.0065
7
0.0039
-0.0039
-0.0047
0.0286
0.0081
-0.0076
0.0008
-0.0008
-0.0076
8
0.0041
-0.0043
-0.0055
0.0421
-0.0084
-0.0056
0.0008
-0.0009
-0.0032
9
0.0047
-0.0050
-0.0067
0.0551
-0.0248
-0.0044
0.0009
-0.0009
-0.0216
10
0.0051
0.0342
-0.0045
0.0750
-0.0635
-0.0065
0.0011
-0.0011
-0.0170
11
0.0057
-0.0057
-0.0055
0.0697
-0.0626
-0.0028
0.0011
-0.0012
-0.0078
12
0.0060
-0.0061
-0.0045
0.0647
-0.0615
-0.0076
0.0013
-0.0013
-0.0160
13
0.0062
-0.0063
-0.0043
0.1800
-0.4625
-0.0117
0.0013
-0.0014
-0.0052
塔顶
0.0070
-0.0071
-0.0034
0.0817
-0.0218
-0.0288
0.0015
-0.0013
-0.0040
表5数据分析：
首先我们分析z轴上的数据变化，我们从z轴数值变化可知，z轴数值一直都是在减少，说明该古塔的各层中心高度一直在降低，但各层间的减少量不一样，说明不是地基下沉引起的变化，说明该古塔一定有倾斜变形。
我们再分析下x轴上的数据变化，我们从x轴数值变化可知，该古塔的中心位置坐标的x轴坐标几乎都在增加，有明显的趋势，说明古塔有往x轴正方向倾斜。
我们最后在分析下y轴上的数据变化，y轴坐标在2009至1996年间1到7层中心位置坐标有增加而8到塔顶有减少，说明该时期该古塔在y轴方向上可能有弯曲，但看表5中其它两个期间的数据y轴数值都是在减少说明这两个时间，该古塔又有向y轴数值减少方向倾斜。
从表5中我们看不到古塔有在某个方向上有，坐标数值增加了，再减少，再增加，或减少了，再增加，再减少，所以我们可以初步认定该古塔没有发生扭曲。
结论：
综上分析我们可以大致知道此古塔的倾斜趋势是往x轴正方向即x轴坐标增加方向倾斜，而在y轴方向上有弯曲的迹象，并且有向y轴坐标减少的方向倾斜，没有发生扭曲。
表6：
中心位置的变化情况
1996-1986
2009-1986
2011-1986
变化量
1
0.0002
-0.0003
-0.0044
0.0620
-0.0090
-0.0229
0.0622
-0.0091
-0.0242
2
0.0009
-0.0010
-0.0056
0.0444
0.0009
-0.0112
0.0266
0.0006
-0.0297
3
0.0016
-0.0017
-0.0044
0.0266
0.0111
-0.0229
0.0269
0.0114
-0.0284
4
0.0022
-0.0022
-0.0032
0.0132
0.0188
-0.0086
0.0136
0.0483
-0.0263
5
0.0028
-0.0028
-0.0045
-0.0018
0.0275
-0.0111
-0.0011
0.0269
-0.0167
6
0.0034
-0.0034
-0.0056
0.0387
0.0098
-0.0241
0.0394
0.0091
-0.0306
7
0.0039
-0.0039
-0.0047
0.0325
0.0042
-0.0123
0.0333
0.0034
-0.0199
8
0.0041
-0.0043
-0.0055
0.0462
-0.0127
-0.0111
0.0470
-0.0136
-0.0143
9
0.0047
-0.0050
-0.0067
0.0598
-0.0298
-0.0111
0.0607
-0.0307
-0.0327
10
0.0051
0.0342
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