小学五年级奥数精选汇总.docx
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小学五年级奥数精选汇总
第一讲分类数图形
［知识要点］
我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数出的结果准确。
但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规律，从而有秩序、有条紊并且正确地数出图形的个数。
［范例解析］
例1下面图形中有多少个正方形？
［思路导航］
图中的正方形的个数中可以分类数，如□的正方形有6×3＝18个，如？
的正方形有5×2＝10个，如？
的正方形有4×1＝4个。
因此图中共有18＋10＋4＝32（个）正方形。
解：
6×3＋5×2＋4×1＝32（个）
答：
图中有32个正方形。
例2下图中共有多少个三角形？
［思路导航］
为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形。
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个。
（3）由三个小三角形组合的三角形有6个。
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
图中共有6＋3＋6＋1＝16（个）三角形
解：
6＋3＋6＋1＝16（个）三角形。
例3数出下图中所有三角形的个数。
［思路导航］
和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形状的三角形有5个；和三角形ACD一样形状的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个；共有35个三角形。
解：
5＋10＋5＋5＋5＋5＝35（个）
答：
共有35个三角形。
例4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
［思路导航］
把相邻的两点连接起来可以得到下面的图形（图a），从图中可以看出：
（1）最小的正方形有6个。
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个。
（3）中间还可围成2个正方形。
解：
6＋2＋2＝10（个）
答：
共有10个。
例5数一数，下图中共有多少个三角形。
［思路导航］
我们可以分类来数。
（1）单一的小三角形有16个。
（2）两个小三角形组合的有10个。
（3）四个小三角形组合的有8个。
（4）八个小三角形组合的有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2＝36（个）三角形。
解：
16＋10＋8＋2＝36（个）
答：
图中共有36个三角形。
［习题精选］
1、下图中共有多少个正方形？
2、下图中共有多少个正方形？
3、下图中共有多少个正方形？
多少个三角形？
4、下图中共有多少个三角形？
5、数一数，图中共有多少个三角形。
6、数一数，图中共有多少个三角形。
7、数出下面图形中分别有多少个三角形。
8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形。
一共能围成多少个长方形？
9、下图中共有6个点，连接其中的三个点围成一个三角形。
一共能围成多少个三角形？
10、下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形。
一共能围成多少个梯形？
11、下图中共有多少个三角形？
12、图中共有多少个三角形？
13、下图中共有多少个正方形？
第二讲平均数问题
（一）
［知识要点］
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数＝总数量÷总份数
总数量＝平均数×总份数
总份数＝总数量÷平均数
［范例解析］
例1有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。
苹果和桃平均每箱37个。
求一箱苹果多少个？
一箱桃多少个？
［思路导航］
1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子＝42×3＝126（个）
1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子＝36×3＝108（个）
1箱苹果＋1箱桃＝37×2＝74（个）
由？
？
两个等式可知：
一箱苹果比一箱桃多126－108＝18（个），再根据等式？
就可以算出，一箱桃有（74－18）÷2＝28（个），一箱苹果有28＋18＝46（个）。
解：
一箱苹果和一箱桃共有的个数：
37×2＝74（个）
一箱苹果比一箱桃多的个数：
42×3－36×3＝18（个）
一箱桃的个数：
（74－18）÷2＝28（个）
一箱苹果的个数：
28＋18＝46（个）
答：
一箱苹果46个，一箱桃28个。
例2一次数学测验，全班平均分是91分，已知女生有21人，平均每人93分，男生平均每人90分，求这个班男生有多少？
［思路导航］
女生每人比全班平均分高93－91＝2（分），而男生每人比全班平均分低91－90＝1（分）。
全体女生高出全班平均分2×21＝42（分）。
应补给每个男生1分，42里包含有42个1，即全班有42个男生。
解：
（93－91）×21＝42（分）
42÷（91－90）＝42（人）
答：
这个班男生有42人。
例3五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？
［思路导航］
原来五个数的和是，18×5＝90，改动以后五人数的和是16×5＝80，80比90少10，这10是把那个数改为6后少掉的，因此，这个改动的数原来是6＋10＝16。
解：
18×5－16×5＝10
6＋10＝16
答：
这个改动的数原来是16。
例4一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。
已知他数学得了100分。
问这位同学一共考了多少门功课？
［思路导航］
100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，使其它平均分94分变成95分。
每门填补95－94＝1（分），5里面有5个1，所以其它有5门功课，连数学在内一共考了5＋1＝6（门）功课。
解：
（100－95）÷（95－94）＝5（门）
5＋1＝6（门）
答：
这位同学一共考了6门功课。
例5把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？
［思路导航］
先求出五个数的和：
38×5＝190。
再求出前三个数的和：
27×3＝81，后三个数的和：
48×3＝144。
用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必须比190多，而多出的部分就是所求的中间一个数。
解：
27×3＋48×3－38×5＝35
答：
中间一个数是35。
［习题精选］
1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分。
乙、丙、丁三人平均分89分。
甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？
2、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克？
3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。
三个小组各植树多少棵？
4、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。
甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？
5、有两块棉田，平均每公亩产量是92.5千克，已知一块地是5公亩，平均每公亩产量是是101.5千克，另一块田平均每公亩产量是85千克。
这块田是多少公亩？
6、把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元。
已知甲级糖有4千克，平均每千克8元，乙级糖有2千克，平均每千克多少元？
7、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。
被改的数原来是多少？
8、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。
可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。
求甲在这次考试中得了多少分？
9、小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？
10、老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了35朵。
如果师生合起来算，正好平均每人做37朵，求有多少同学在做花？
11、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。
为了使平均成线达到92.5分，小时要连续考多少次满分？
12、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
13、十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？
14、下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均数，求C是多少？
第三讲平均数问题
（二）
［知识要点］
解答平均数应用题的关键是找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系。
通过变形、综合后的平均数应用题，数量关系比较复杂，也比较隐藏。
只要同学们始终记住，平均数是由“总数量”除以与“总数量”相对应的“总份数”而得到的这一关系，采用作图、假设等方法，开动脑筋，认真审题，就能找出正确的解题方法。
［范例解析］
例1小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均分91.5分，语文、英语两科平均分84分。
政治、英语两科平均86分，英语比语文多10分。
小亮的各科成绩是多少？
［思路导航］
因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语＝168分，而英语比语文多10分，即英语－语文＝10分，所以，语文是（168－10）÷2＝79（分），英语是79＋10＝89（分）。
又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89＝83（分）；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83＝100（分）；最后根据五科的平均成绩是89分可知自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）＝94（分）
解：
语文：
（84×2－10）÷2＝79（分）
英语：
79＋10＝89（分）
政治：
86×2－89＝83（分）
数学：
91.5×2－83＝100（分）
自然：
89×5－（79＋89＋83＋100）＝94（分）
答：
小亮的语文97分，英语89分，政治83分，数学100分，自然94分。
例2创新路小学五年级有三个班，其中一、二班学生平均50人，二、三年级平均43人，一、三两班学生平均45人，这三个班学生平均有多少人？
［思路导航］
由题意可知：
一班、二班共有学生50×2＝100（人），二、三班共有学生43×2＝86（人），一、三班共有学生45×2＝90（人），由于每个班的学生人数都加了两次，所以不难算出一、二、三班的学生一共的人数是（100＋86＋90）÷2＝138（人），即是此题的总分量。
再用此总数量除以总份数3便可解答此题。
解：
（50×2＋43×2＋45×2）÷2÷3＝276÷6＝46（人）
答：
这三个班学生平均有46人。
例3已知八个连续自然数的和是204，求这八个连续自然数。
［思路导航］
想一想，连续自然数的特点是什么？
八个连续自然数中，第一、八两个数，第二、七两个数，第三、六两个数，第四、五两个数各自的和均等于204÷4＝51。
知道第四、五两个连续自然数的和是51，由此便可以求出来第四、五这两个数，从而求出其他各个数。
解：
（1）八个连续自然数中，第四、五两个数的和是：
204÷4＝51
（2）第四、五两个数分别是：
第四个数（50－1）÷2＝25；第四五个数25＋1＝26。
（3）其余六个数分别是：
第三个数：
25－1＝24第二个数24－1＝23
第一个数：
23－1＝22第六个数25＋2＝27
第七个数：
27＋1＝28第八个数28＋1＝29
答：
这八个连续自然数是22、23、24、25、26、27、28、29。
例4下面一串数是一个等差数列：
2，5，8，……，212。
这串数的平均数是多少？
［思路导航］
等差数列的平均数等于这一串数的总和除以项数（这串数的个数），而等差数列的求和公式为（首项＋末项）×项数÷2，所以，等差数列的平均数为（首项＋末项）÷2，即头、尾两数的平均数。
解：
（2＋212）÷2＝107
答：
这串数的平均数是107。
例5王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米，剩下的步行，每小时走4千米。
王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？
［思路导航］
求行全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。
由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4＝4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时行6千米。
解：
24÷（12÷12＋12÷4）＝6（千米）
答：
王强行完全程的平均速度是每小时6千米。
例6在暑假中，圆圆看一本故事书，第一天读83页，第二天读64页，第三天读74页，第四天读了71页，第五天读的页数比五天中平均读的页数还多12页，圆圆在第五天读了多少页？
［思路导航］
由题知前四天每天平均读（83＋64＋74＋71）÷4＝73（页）。
很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了。
为了便于思考。
我们可画出下面的示意图。
图中“73页”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，应用12去补足，则每份是12÷4＝3。
由此从图上很直观的看出第五天读的页数。
解：
（83＋64＋74＋71）÷4＋12÷4＋12
＝73＋3＋12
＝88（页）
答：
圆圆在第五天读了88页。
［习题精选］
1、甲、乙、丙、丁4人的平均年龄是84岁，已知甲与乙的平均年龄是72岁，乙与丙的平均年龄是76岁，乙与丁的平均年龄是80岁，那么丁是多少岁？
2、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。
乙数是多少？
甲、丙两个数的平均数是多少？
3、五个数排一排，平均数是9。
如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第三个数的平均数是多少？
4、某班学生女同学人数恰好是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少？
5、35千克奶糖和65千克水果糖配成售价为每千克9元的多元糖，水果糖每千克比奶糖便宜2元。
那么用奶糖80千克、水果糖120千克配成多元糖后，每千克售价多少钱？
6、某次语文测试，甲、乙、丙、丁、戊5人的平均分比丙、丁、戊3人的平均分少4分，甲、乙两人的平均分数是75分，求5个人的平均分数。
7、求等差数列3，7，11，……，643的平均数。
8、以2为首的连续52个自然数的平均数是多少？
9、小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。
求小明往返的平均速度。
10、运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路程中每分钟跑100米。
求他在整个长跑过程中的平均速度。
11、把一份书稿平均分给甲、乙两人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。
打这份书稿平均每分钟打多少个字？
12、梨子的箱数是苹果的箱数的一半，苹果平均每箱重28千克，梨子每箱重22千克，两种水果平均每箱重多少千克？
13、某校六年级一班52人，二班48人，数学测评中，两个班全体同学的平均成绩是82分，二班的全体成绩比一班平均成绩高5分，两个班的平均成绩分别是多少？
14、一笔奖金分别奖给金、银、铜牌奖，其中金奖一个的奖金是每个银奖的2倍，每个银奖的奖金是每个铜奖的2倍，如果评金、银、铜奖各两个，那么，每个金奖可得奖金308元，如果评一个金奖，两个银奖，三个铜奖，那么金奖的奖金是多少元？
第四讲倍数问题
（一）
［知识要点］
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数作为标准数，即1倍数），再根据其他几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数）。
［范例解析］
例1两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？
［思路导航］
第一根：
第二根：
图中虚线部分表示剪去的部分。
由于第二根比第一根多剪去26－18＝8（厘米），所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。
因比8÷（3－1）＝4（厘米），就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26＝30（厘米）。
解：
（26－18）÷（3－1）＝4（厘米）
4＋26＝30（厘米）
答：
原来两根铁丝各长30厘米。
例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲的图书是乙组的5倍，原来甲组有图书多少本？
［思路导航］
甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍。
事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。
因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）＝12（本），乙组原来有12＋6＝18（本），甲组原来有18×3＝54（本）。
解：
（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）
（12＋6）×3＝54（本）
答：
原来甲组有图书54本。
例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个。
两种水果原来各有多少个？
［思路导航］
因为苹果的个数是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果3×2＝6（个），两种水果最后一起分完。
可实际每组分4个苹果，少分6－4＝2（个），16里面有8个2，所以有8组同学，因此，苹果有8×4＋16＝48（个），梨有8×3＝24（个）。
解：
16÷（3×2－4）＝8（组）
8×4＋16＝48（个）
8×3＝24（个）
答：
苹果有48个，梨有24个。
例4有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子？
［思路导航］
根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2＝16（个）桔子。
如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2＝42（个）。
因此，乙筐里还42÷（2－1）＝42（个），原来乙筐里有42＋13＝55（个），甲筐里有55＋16＝71（个）。
解：
（8×2＋13×2）÷（2－1）＝42（个）
42＋13＝55（个）
55＋8×2＝71（个）
答：
原来甲筐有71个，乙筐有55个桔子。
例5养鸡场买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。
买来母鸡、公鸡各多少只？
［思路导航］
题中已知母鸡只数和公鸡只数一共100只，就可推出，母鸡只数的4倍速和公鸡只数的4倍的和100×4＝400（只），又因为母鸡只数的4倍比公鸡比公鸡只数的3倍多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍，则公鸡只数为280÷（4＋3）＝40（只），母鸡只数为100－40＝60（只）。
解：
（100×4－120）÷（4＋3）＝40（只）
100－40＝60（只）
答：
母鸡有60只，公鸡有40只。
［习题精选］
1、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如是把这上0去掉，就得到另一个加数。
这两个加数各是多少？
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？
3、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了5张，这样，小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片？
4、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有几本书？
5、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍。
原来买来苹果和梨共多少个？
6、同学们带着水是去看敬老院的6人，带的苹果是桔子的3倍。
如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还多14个。
问同学们把苹果发给了几位老人？
7、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。
若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。
甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？
8、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。
如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。
参加植树的一共有多少人？
9、甲、乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓库取14吨入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两仓各存货物多少吨？
10、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。
原定夏令营中男、生各多少人？
11、有两块地共80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。
这两块地各有多少公顷？
12、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个，排球和篮球各有多少个？
13、甲、乙两人共存款550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等。
求甲、乙原来各存有多少钱？
第五讲倍数问题
（二）
［知识要点］
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其他几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。
由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧、灵活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）＝较小数
较小数×倍数＝较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）＝较小数
较小数×倍数＝较大数
［范例解析］
例1有两堆水果糖，第一堆有82颗，第二堆有46颗，从第一堆拿多少颗水果糖到第二堆，就能使第二堆水果糖是第一堆的3倍？
［思路导航］
两堆水果糖共有（82＋46）颗，为了要使第二堆水果糖是第一堆的3倍，就要把总颗数分成（3＋1）份，即可求出每份水果，也就是第一堆的现在的个数，其余的都被拿到第二堆去了，进而可求拿走了多少颗。
解：
（82＋46）÷（3＋1）＝32（颗）82－32＝50（颗）
答：
从第一堆拿50颗到第二堆，才能使第二堆水果糖是第一堆的3倍。
例2养鸡场的母鸡的只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，母鸡增加60×6＝360（只），那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。
可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。
因此，现在母鸡的只数只有公鸡的4倍，少了2倍。
所以，现在公鸡的只数是300÷2＝150（只），原来有公鸡150－60＝90（只），一共养了90×（1＋6）＝630（只）鸡。
解：
（60×6－60）÷（6－4）＝150（只）
（150－60）×（1＋6）＝630（只）
答：
原来养鸡场一共养了630只鸡。
例3有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。
乙知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。
甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？
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甲车：
乙车：
丙车：
从图中中以看出：
如果丙车多装200千克，就知乙车装的货物同样多，这样，三辆车装的总重量就是1800＋200＝2000（千克）。
再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装货是500千克，甲车上装500×2＝1000（千克），丙车上装有500－200＝300（千克）。
解：
（1800＋200）÷（1＋1＋2）＝500（千克）
500×2＝1000（千克）
500－200＝300（千克）
答：
甲车上装有1000千克货物，乙车上装500千克货物，丙车上装300千克货
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