44函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.docx
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44函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1．（文）已知函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）在区间[0,2π]的图像如图，那么ω＝（ ）
A．1B．2
C.D.
[答案] B
[解析] 由图像可知，该函数的周期T＝π，
∴＝π，∴ω＝2.故选B.
（理）（教材改编题）若f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像（部分）如下图所示，则ω和φ的取值可能是（ ）
A．ω＝1，φ＝B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝－
[答案] C
[解析] ∵＝－＝π，
∴T＝4π，
又T＝，∴ω＝，∴y＝sin.
又图像过点，∴0＝sin，
∴－＋φ＝kπ.由图知k＝0，∴φ＝.
2．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
[答案] C
[解析]
3.下图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx（x∈R）的图像上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数的性质及图像的平移．
由题知函数f（x）的最小正周期T＝π－＝π，A＝1，∴ω＝＝＝2，故将y＝sinx的图像先向左平移个单位长度后，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.
4．函数y＝cos－2的图像F按向量a平移到F′，F′的解析式y＝f（x），当y＝f（x）为奇函数时，则向量a可以等于（ ）
A. B.
C.D.
[答案] D
[解析] 本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质．
A中得y＝cos－2－2
＝cos－4，
∴不是奇函数，故排除A；
B中得y＝cos－2＋2＝cos，∴不是奇函数，故排除B；
C中得y＝cos－2－2＝cos－4，
∴不是奇函数，故排除C；
D中得y＝cos－2＋2＝－sin2x，
∴是奇函数，所以选D.
5．（2012·枣庄二模）如下图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（厘米）和时间t（秒）的函数关系为s＝6sin，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为（ ）
A．6B．3
C．3D．6
[答案] A
[解析] ∵s＝6sin，∴T＝＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为＝秒，由6sin＝3，得从最右边到最左边的距离为6.
6．（文）（2011·新课标文，11）设函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称
[答案] D
[解析] 本题主要考查了两角和的正弦余弦公式、三角函数图像性等．此类题目应先化简函数解析式为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋m形式再求解．
f（x）＝sin＋cos＝sin
＝cos2x.
则函数在单调递减，其图像关于x＝对称．
（理）（2011·新课标理，11）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在（0，）单调递减
B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增
D．f（x）在（，）单调递增
[答案] A
[解析] 本题主要考查三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．
依题意：
f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ＋），
又T＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋φ＋）
又f（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ＋（k∈Z），即φ＝kπ＋.
又|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x＋）＝cos2x.
又y＝cosx在x∈（0，π）单调递减，
则由0<2x<π得0即f（x）＝cos2x在（0，）单调递减，故选A.
二、填空题
7．如下图所示为函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．
[答案] y＝2sin
[解析] A＝2，＝－＝，T＝，
∵＝π，∴ω＝，∴y＝2sin.
∵当x＝π时，y＝2，∴2＝2sin，
即sin＝1，∴φ＋π＝，φ＝－，
∴y＝2sin.
8．（文）（2012·东营模拟）已知函数f（x）＝－sin2x＋sinxcosx，则f＝________.
[答案] 0
[解析] 方法一：
f（x）＝－×＋sin2x
＝－＋sin2x＋cos2x＝－＋sin，
∴f＝－＋sinπ
＝－＋sin＝－＋＝0.
方法二：
当x＝时，f＝－sin2＋sincos＝－sin2＋sincos＝－＋×＝0.
（理）函数y＝3sin的对称中心是________．
[答案] ，k∈Z
[解析] 由－＝kπ，k∈Z得＝＋kπ.
∴x＝＋2kπ，k∈Z.
∴对称中心是.
三、解答题
9．（2011·重庆理，16）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2（－x）满足f（－）＝f（0），求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值．
[解析] f（x）＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x，
由f（－）＝f（0）得－·＋＝－1，解得a＝2.
∴f（x）＝sin2x－cos2x＝2sin（2x－），
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为增函数．
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为减函数．
∴f（x）在[，]上的最大值为f（）＝2，
又f（）＝，f（）＝，
∴f（x）的最小值为f（）＝.
一、选择题
1．（2011·天津文，7）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π，若f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（ ）
A．f（x）在区间[－2π，0]上是增函数
B．f（x）在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数
D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数
[答案] A
[解析] 本题考查正弦型函数的图像与性质．
由题意得T＝＝6π，∴ω＝.
∵x＝时，f（x）取得最大值．
∴×＋φ＝，φ＝.
∴f（x）＝2sin
∴f（x）的单调增区间为[－π＋6kπ，＋6kπ]（k∈Z）．∴f（x）在区间[－2π，0]是增函数．
2．（文）（2012·广州五校联考）若将函数y＝tan（ω>0）的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图像重合，则ω的最小值为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] D
[解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换．
将函数y＝tan（ω>0）的图像向右平移个单位长度，得到的函数为
y＝tan＝tan，
由题意，得－＋＝，∴ω＝.
（理）已知函数f（x）＝sinωx的图像的一部分如图
（1），则图
（2）的函数图像所对应的解析式可以为（ ）
A．y＝fB．y＝f（2x－1）
C．y＝fD．y＝f
[答案] B
[解析] 由图得，图
（2）是将图
（1）中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，即y＝f（x）→y＝f（x－1）→y＝f（2x－1）．
二、填空题
3．（2011·江苏卷，9）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）的部分图像如下图所示，则f（0）的值是________．
[答案]
[解析] 由图像可知，A＝，＝，∴T＝π，∴ω＝2，则y＝sin（2x＋φ），将（π，－）代入，解之得φ＝，从而y＝sin（2x＋），f（0）＝.
4．已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，且当x＝2时，f（x）取得最大值2，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（100）＝________.
[答案] 2±2
[解析] 由题意知：
φ＝0，A＝2，
∴f（x）＝2sinωx
又当x＝2时，f（x）取得最大值2，
∴2ω＝＋2kπ，∴ω＝＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，令k＝2n，则f（x）＝2sinx，
∵n∈Z，x∈Z，∴f（x）＝2sinx.
由函数周期性可得：
f
（1）＋f
（2）＋…＋f（100）
＝f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋2
同理，当k为奇数时可得：
f
（1）＋f
（2）＋…f（100）
＝f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＝2－2.
三、解答题
5．（2011·湖南理，17）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求sinA－cos（B＋）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
[解析]
（1）由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.
因为00，从而sinC＝cosC，又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.
（2）由
（1）知，B＝－A，于是
sinA－cos＝sinA－cos（π－A）
＝sinA＋cosA＝2sin.
因为0综上所述，sinA－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.
6．（文）已知向量m＝（sinωx＋cosωx，cosωx），n＝（cosωx－sinωx,2sinωx），其中ω>0，函数f（x）＝m·n，若f（x）相邻两对称轴间的距离为.
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S＝5，b＝4，f（A）＝1，求边a的长．
[解析]
（1）f（x）＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωxcosωx
＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，
由题意可得T＝π，∴ω＝1，
∴f（x）＝2sin.
当sin＝1时，f（x）有最大值2，
∴2x＋＝2kπ＋，∴x＝kπ＋ （k∈Z），
∴x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
（2）f（A）＝2sin＝1
∴sin＝ 0∴A＝，S＝bcsin＝5，∴c＝5，
由余弦定理得：
a2＝16＋25－2×4×5cos＝21，
∴a＝.
（理）设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π<φ<0），y＝f（x）图像的一条对称轴是直线x＝.
（1）求φ；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（3）证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f（x）的图像不相切．
[解析]
（1）令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，
又－π<φ<0，则－∴k＝－1，则φ＝－.
（2）由
（1）得：
f（x）＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
可解得：
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f（x）的单调增区间为，k∈Z.
（3）证明：
∵f（x）＝sin，
∴f′（x）＝2cos，
∴－2≤f′（x）≤2.则f′（x）≠，x∈R.
∴直线5x－2y＋c与函数y＝f（x）的图像不相切．
7.如下图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
（1）求h与θ间关系的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式；
（3）填写下列表格：
θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
h（m）
t（s）
0
5
10
15
20
25
30
h（m）
[分析]
[解析]
（1）由题意可作图如下图．
过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋
4．8sin.
当0≤θ≤时，上述关系式也适合．
（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t.
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞）．
（3）
θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
h（m）
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4
t（s）
0
5
10
15
20
25
30
h（m）
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4
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