数论与基础.docx

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数论与基础

数论与基础

数论就是研究整数性质的一门理论。

整数的基本元素是素数，所以，数论的本质是对素数性质的研究。

2000年前，欧几里得证明了有无穷个素数。

既然有无穷个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。

它是和平面几何学同样历史悠久的学科。

高斯誉之为“数学中的皇冠”，按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。

初等数论主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。

它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质。

初等数论也可以理解为用初等数学方法研究的数论。

其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。

高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。

它大致包括代数数论、解析数论、算术代数几何等等。

初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。

此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。

本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互逆律，勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。

自然数

1、用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。

表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个组成一个无穷的集合。

零和正整数统称为自然数。

2、最小的自然数是____，没有最大的_________。

3、最小的一位数是____而不是“0”。

4、按照我国的计数习惯每四个数位为一级，它们包括____级、____级和____级。

5、一个数的倒数等于它本身，这个数是_______。

6、数不仅可以用来表示数量（基数）和顺序（序数），还可以用来编码。

7、450和225分别是10个连续自然数或偶数的和。

求这10连续自然数和偶数各是多少？

8、有三个自然数a、b、c，已知a×b=35，b×c=55，a×c=77。

求a、b、c三个数的乘积。

9、a、b、c为三个互不相等的自然数，且a+b+c=30，那么a、b、c的积最大可以是多少？

最小是多少？

（答案：

1000；54）

10、a和b均是自然数，且a+b=81，a和b相乘的积最大是多少？

11、有三个连续的自然数，前两个数的乘积比后两个数的乘积小86，求这三个自然数各是多少？

12、将35表示成连续自然数的和，问最多有几种情况？

13、三个连续的两位数，它们的和是两位数，并且是11的倍数，这三个两位数各是多少？

14、有三个自然数，它们相加或相乘的结果相等。

求这三个数各是多少？

15、有三个连续的自然数，前两个数的乘积比后两个数的乘积小86，求这三个数各是多少？

16、1×2×3×……×26这连续26个自然数的乘积，其结果最后有几个0？

（提示：

由m÷5=n……k得，零的个数为n+1。

故本题零的个数为26÷5=5……1，5+1=6个）

17、从1到1989的自然数中，平方数一共有多少个？

18、最大的四位数比最大的两位数多多少倍？

19、已知，试确定a、b的值。

20、已知三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有几个？

21、有一个不等于0的自然数，它的是一个立方数，它的是一个平方数，则这个数最小是几？

（答案：

432）

22、一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来的两位数的8倍小1。

求原来的两位数。

（答案：

13）

23、有3个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求这6个三位数当中最小和最大的三位数。

24、设，那么N的末位数字是几？

25、的积的尾数是几？

26、的积的尾数是几？

27、问1×2×3×4×…×200的积的末尾有几个连续的0？

28、已知自然数22是两个连续自然数的乘积，那么这两个数的和是多少？

29、有两组互不相同的5个连续自然数，第一组5个数的和减去第二组5个数的和，所得的差，正好是第一组开头一个数的3倍。

这两组5个连续自然数各是哪几个？

因数和倍数

1、我们只在自然数（0除外）的范围内来研究因数和倍数、奇数和偶数、质数与合数。

2、一个非0自然数的因数的个数是________，其最小因数是___，最大因数是_________；一个非0自然数的倍数的个数是________，其最小倍数是_________，其没有最大_________。

3、所有自然数的公因数是____；所有自然数都是1的_____。

4、0是任何自然数的倍数，1是任何自然数的________。

5、一个自然数只有一个因数，这个数是____。

6、两数之积是286，如果把其中一个因数减去3，积就等于220，原来两个数分别是多少？

7、甲、乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数每一位上的数字之和是13，甲比乙刚好大13岁。

问甲、乙个多少岁？

8、自然数a分解质因数a=23×34×52，问a有多少个约数？

2、3、5的倍数的特征

1、能被2整除的数其个位的特征是___________；能被3整除的数的特征是_______________________；能被5整除的数其个位的特征是___________。

2、既能被3整除，又是5的倍数，又有约数2的最小非0自然数是____。

3、在1~100的自然数中，找出两位数，使其分别满足下列条件。

（1）同时是2和5的倍数；

（2）同时是3和5的倍数；

（3）同时是2、3、5的倍数。

4、小淘气手上有0、2、3、5、6、7的数字卡，用它们能组成多少个被3整除的两位数？

5、有一袋饼干，不论分给8个人，还是分给5个人，都能正好分完。

问这袋饼干至少有多少块？

6、现有0、2、6、7四张数字卡，选出两个数字组成一个两位数字，使其分别满足下列条件。

（1）是2的倍数；

（2）同时是2和3的倍数；

（3）同时是3和5的倍数；

（4）同时是2、3、5的倍数。

7、用0、4、5排成一个三位数，使它是2的倍数，再排成一个三位数，使它是5的倍数，问各有多少种排法？

8、用0、4、5、7、9五个数字组成既2的倍数，同时也是5的倍数的数，问有多少个这样的数？

最大公因数和最小公倍数

1、如果甲、乙两数是互质数，那么它们的最小公倍数是______，最大公因数是____。

2、任何一个非0自然数，它的最大因数和最小倍数都是________。

3、一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是。

4、两个数的最大公约数是8，最小公倍数是48，这两个数的积是。

5、相邻两个偶数的最小公倍数是它们乘积的______。

6、若a、b互素，则a、b的最大公因数为，最小公倍数为a、b的；若a是b的倍数，则a、b的最大公因数为，最小公倍数为a、b的。

7、三个连续自然数的最小公倍数是60，问这三个数各是多少？

8、有三根木棒，长分别为12cm，44cm，56cm。

要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，那么，每根小棒最长能有多少厘米？

9、一排电线杆，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米，如果起点的一根电线杆不移动，那么，至少隔多远又有一根电线杆不需要移动？

10、一块砖长20cm，宽12cm，厚6cm，要堆成正方体至少需要这样的砖多少块？

11、已知两个自然数的和是104，其中一个数比另一个数多8，那么，这两个数的最大公因数是多少？

12、自然数a和b，它们的最大公因数为c，最小公倍数为d，求a、b的积。

13、人民公园是1路和3路汽车的起点站，1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次，这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分又同时发车？

14、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

（答案：

15、90或30、45）

15、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？

16、两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，已知其中一个数是90。

求另一个数。

17、已知a、b、c、d均为质数，求a×a×b、a×b×c和a×c×d的最小公倍数。

18、用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

19、某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12分钟发车一次，这三路汽车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车？

20、一箱香蕉，分给24人，36人或48人，都恰好分完，这箱香蕉最少有几只？

21、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个自然数。

22、四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？

23、有三根铁丝，第一根长84厘米，第二根长105厘米，第三根长126厘米，把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，最少能截成多少段？

24、两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个数的差是多少？

25、甲、乙两数的最大公约数是37，两数的和是444，问这样的自然数有哪几组？

26、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数分别是多少？

27、小红买了80枝红花和48枝蓝花，要全部扎成花束，而且每束花中的红花、蓝花的个数要相同。

问每个花束中至少有几只红花和蓝花？

28、两个数的最大公因数是66，最小公倍数是2310，这两个数的差是132，这两个数的和是多少？

29、有A、B、C、D四个自然数，A和B的最小公倍数是36，C和D的最小公倍数是90。

求A、B、C、D四个自然数的最小公倍数。

30、把自然数a和b分解质因数得到：

a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2730，求m的值。

31、一个三位数，既是12的倍数，又能被5整除，且9又是它的约数，问这个三位数最大是多少？

32、有一盒巧克力糖，7粒一数余4个，5粒一数少3个，3粒一数正好没有剩余。

问这盒巧克力至少有多少粒？

33、甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数得，求甲、乙两数各是多少？

34、一个真分数的分子和分母的最小公倍数是72，化简后分子加1，分数的值为，求这个分数。

（提示：

5个）

35、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

（3、120或15、24）

36、某班学生不足50人，在一次测验中有得优，得良，及格，问有几人不及格？

37、某班学生人数在40到50人之间，男生人数和女生人数的比为5：

6，问这个班的男生和女生各多少人？

38、甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数得，求甲、乙两数各是多少？

39、两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，已知其中一个数是90。

求另一个数。

40、今有苹果300个，鸭梨240个，甜橙200个。

现将这些水果装成数量相同的礼品袋，送给幼儿园的小朋友。

若使袋数最多，问可装多少袋？

每袋中三种水果各有多少个？

41、若n为非0自然数，求所有形如n（n+1）的数的最大公因数。

42、若n为非0自然数，求所有形如n（n+1）（n+2）的数的最大公约数。

43、一个自然数，它的最大约数和次大约数的和为111，问这个自然数是多少？

（答案：

74）

44、李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生多少人？

（答案：

28）

45、用3、6和9分别除一个自然数，结果都余1，这个自然数最小是多大？

46、已知除数的23倍比被除数少18，除数是5与7的最小公倍数，被除数是多少？

47、一个真分数的分子和分母的最小公倍数是72，化简后分子加1，分数的值为1，求这个分数。

（提示：

，等11个）

48、用一个数去除87、150和192，余数都是3。

问这个数最大是多少