胡不归及阿氏圆.docx
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胡不归及阿氏圆
浅谈线段之和“胡不归”
仃灯破故事,说的兄卜身在他乡的小伙子,得知父弟•.一的消息后便II仪辻路回-•然|厲当他气喘吁吁地来到父亲的面前时.老人別刚咽气了人们告诉仙.・右:
弥・老人在不断喃喃地叨念：
“胡不归?
胡不归?
”
早期的科学家曾为这则占老的传说中的小伙子设想了一*路线。
（如卜•图）A是出发地，B是H的地：
ac&•条驿（・而驿|r徉h的地的・侧是沙地。
为了急切回家.小秋了选择了直线路程AB。
但足，他忽略了在驿道上行走要比任妙土地•苦“•走快的迖•囚素c如果他能选择•乂介适的路线（尽管这条珞线长一些.但是违度町以加快），足可以提前抵迖栄门的，
那么.址'支足那条路线呢？
显然.根4W两种路廊的棚伽在共上街左的速度值•町以右ACI•选定点D,小伙了从A走到D,然厉从D折往B,可电最早到达B・用现代的科学语言表迖，就是：
石在驿道I•彳J走的速度为％,化沙地I.IjaL的速度为V：
即求^+―的故小仇
例題1、如图.P为止方形ABCD对角纹BDI.动点.若AB—2・则APIBPCP
的最小值为
解析:
•••正方形ABCD为轴对称图形
••/\P=PC
AAP+BPK：
P=2AP+BP=2（AP+-BP）
2
•••即求AP+丄BP的最小値
2
J
接卜尢就是套路
我们要构造一个丄3P；I俅
2
连接AU,作ZDBE=3（）。
，交AC于&过A作AHIBE・垂足为I；ffiRtAPBF中,
・.・ZPBI；=3（）>
2
山此我们把构造出來了
—
AP^-BP的展小値即为AF线段的K
MV
VZlL\ll=45\ZAEIi=6（）
•••解R角MAO=B（>=72
恨据面枳注.丄人£・B0二丄〃£
22
求出AV^yfl-y/b
（此外本題费马点亦可）
例题2
【题21】如图1所示.点川为口线/外一定点，点伏C为比线/上M宦点.且,1〃=2・ZJZ?
C=15°.点〃为口线/上的动点，请确定点P的位世.便"+丄/炉址小.并求出这个*4小値
B
A
B
7
【解析】如图2,将II线/绕点〃逆时针旋转30°貳厂的位歆过点A^ADL厂交/于点P',在宜线/上収任意点P,作PELT于点E,在直角三角形〃妙中，PE=丄3P,冋理刖
22
AP+丄BP=AP+PE工AD=AP4严D二人P4'BP',当点P与点
22
P'重合时取等号•
住RlMBD屮.
初二〃"彳从sin45°=2x
在RZPD中.BP'=“屮=2&
cos30°y/33
T
总结步骤:
范当列建时，gp'重合，如悴取得虽小值®
笫步：
将所求线段和改写为PA+’PB的形式（上VI）nim
小••炽/1PB的」偵.PA#J畀侧.构進-•个如度cu便得sina=一m
第三步：
过A作第二妙所构适的角的边匝线，该匝线段即为所求赧小伯第四步,计算即诃
模型具体归纳如下:
茨:
PA+n/mPB（n/m问JS关键处H摊n/m这个分数
梅造岀sinzCBP=n/m
lK94«PA4-n/mPB=AP・PD再利用垂线段最炷即可
练习1如岸，条笔直的公路I穿过草原，公路边存消防站A，加离公路5T•米的也方
居尺点B・A、B的直线距离13TX.吠，居尺点B看火，消防员受命欲前往救火,
若消防车右:
介路I的杲快速度是80T米〃卜时・而右:
草地I•的呆快速度是40T米〃卜时.则
•消防车在出发臥加快经小时町到达居尺点B.S怙琨酥：
汨鮎河从公路的沖逵入草
如了絞.）
练习
2
【题22】如图I,在平面直角坐标系中，己知A（0.4）,〃（-1
0）,在皿上有-动点G,求BG+护的最小值.
练习3
（北京东城区1观年离考備25》如囤假设河的一令岸边为言线X/iCl.vr;于c,sB.2＞在"V上，现离将货切心处运（£月处，经陆路3与水路DB・已知4C=[0公塾BC=SO公里，又陆跻单位距离的运扫罡水路运捻的2倍.为使运腰少，D点应选在蹈5C卢耳多运M?
・
练习4
如用，AABC&&f（]坐杯系屮，AB-AC,A（0,2近）.C（1,0）,D为射线AO
卜.一点.一动点P从A出发.运动路径为ATDTC.点P在AD上的运动速度是
在CD上的3倍•咚使整个运动时间最少•则点D的坐标应为
练习5如图,菱形ABCD的对角线AC上有-动点P・BC=6,ZABCJ50•，则线段AP+BP+PD
的最小值为
练习6
如图.在丫商直角坐标系中，二次函数y=ax2-bx^c的图象经过点A（-1,0〉.B
CO.■近）•C（2.0）,其对称轴九I交丁点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
2）若P为y轴上的一个动点，连接PD.则±PB+PD的最小值为:
练习7
如I絹&AACE屮.CA=CE,ZCAE=30%G）0经过点C,且圆的直径AB任线段AE上.
（1）试说明CE是O0的切线：
（2＞若厶ACE«；'AE边上的高为h,试用含h的代数式衣示©0的直径AB：
（3）设点D是线段AC上任总一点（不介端点），连接0D,为丄CD+OD的最小
2
值为6E・J・求GO的直径AB的长.
附加（阿氏圆问题）
何氏冏也是彤WAy—PB的形式（上VI）瓜终还是化分为整。
111III
概名乂称阿波罗尼斯闕•已知平Iftll俩点A.B.娉所右满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是个鬪，这个轨迹赧先山占不膽数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏闕。
例1.力AABC中，ZABC-90*,BC-8・AC电以C为阴心，4为T卷的阀I.右一个动点D,
连接AD.BD、CD,则瓠>+ADM小伯
刎析，根概阿氏闕迳艾C：
D/B（=L/2为迳値，不妨设BClMC交SE点取旣川点F,
山已矢歆?
4,n/FCD二ZDCB所以AFCDT/aDCBFD扌BD所以|fiI>+AD=
FD*AD>AFfll勾股定艸町得AF-2/10
图1
阿氏恻本质与切不川不同.构适的关键是利用和似二和形的判定：
対N线段成比例夬角相等从而化分为整，垠后转化为柄点、Z间线段域畑HJ題
练习1
问题提岀：
如图1.在RtAABC中.ZACB=90\CB=4,CA二6,0C半径为2.P为圆上一动点，连结AP.
BP,求AP+V2BP的漲小值.
（2）
在“问题提出”的条
件不变的情况下,
1/3AP+BP的最小值为.
（3）拓展延伸：
已知扇形COD中，乙COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是弧CD±一点，求2PA+PB的最小值.
如[?
],dlRtAABCip.ZACB=90\CB=4.CA=6,0C半径为2.P为鬪上一动点.
练习3亠
如图，半阿的半径为！
■•AB为"«、•AC、BL）为切线.AC=1,BD=2,P为応卜.一动点，求李PC-PD的最小值.
2
练”4
如图，点・4、〃在0O±,ai12,
aOA±OB・点C是0・4的中点，点D在帥上，月.2=10・动点P在0。
上.则PC+JPD的谥小值为.-
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