分析层级程序法.docx

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分析层级程序法

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2019CengageLearning.AllRightsReserved.Maynotbecopied,scanned,orduplicated,inwholeorinpart,exceptforuseaspermittedinalicensedistributedwithacertainproductorserviceorotherwiseonapassword-protectedwebsiteforclassroomuse.第第14章多準則決策第第14章多準則決策14.1目標規劃：

建立模式及圖解法14.2目標規劃：

解更複雜的問題14.3計分模式14.4分析層級程序法14.5使用AHP建立優先權14.6使用AHP建立整體優先順序第14章多準則決策第597頁14.1目標規劃：

建立模式及圖解法例子：

某客戶打算投資80,000美元，初始策略是只限以下兩種股票在內的投資組合：

美國石油每股股價25美元，每股報酬3美元，年報酬率為12%，哈伯不動產的年報酬率則為10%。

客戶同意接受最高風險指數為700的投資組合。

客戶的另一個目標是希望年報酬至少有9000美元。

第14章多準則決策第598-599頁目標規劃：

建立模式及圖解法第14章多準則決策第599頁投資組合選擇問題是多準則決策問題，包含兩個互相矛盾的目標：

一個針對風險及一個針對年報酬。

目標規劃可以用來找出盡量滿足所有目標的投資組合。

客戶必頇先決定哪個目標比較重要。

假設客戶的首要目標是限制風險，根據此優先順序，問題的目標可以表示如下：

主要目標（優先等級1）目標1：

找風險指數低於700的投資組合。

次要目標（優先等級2）：

目標2：

找年報酬至少9000美元的投資組合。

目標規劃：

建立模式及圖解法第14章多準則決策第599頁主要目標稱為優先等級1的目標，而次要目標稱為優先等級2的目標。

在目標規劃的專有名詞裡，稱為逐位優先權（preemptivepriorities）。

投資組合風險指數700是優先等級1（主要）目標的目標值（targetvalue），年報酬9000美元是優先等級2（次要）目標的目標值。

建立限制式及目標方程式第14章多準則決策第600頁定義以下的決策變數：

U=購買美國石油的股數H=購買哈伯不動產的股數可用資金的限制式為：

目標方程式：

其中就目標規劃而言，及稱為偏差變數（deviationvariables）。

000,805025HU1170025.050.0ddHU的部分目標值投資組合風險指數小於的部分目標值投資組合風險指數超過70070011dd1d1d建立限制式及目標方程式第14章多準則決策第600頁在目標規劃模式中用d代表偏差變數，上標的加號（+）或減號（）代表這個值是一個正向或負向的目標偏離值。

目標方程式寫成：

目標方程式右邊的值代表目標的目標值。

目標方程式的左邊包含兩個部分：

1.以決策變數定義目標達成量的函數（如0.50U+0.25H）。

2.代表目標值與達成量之間差異的偏差變數。

70025.050.011ddHU建立限制式及目標方程式第14章多準則決策第600-601頁要建立次要目標的目標方程式，我們先寫出代表投資年報酬的函數：

將目標2的目標方程式寫成：

美元的部分標值投資組合年報酬低於目美元的部分標值投資組合年報酬超過目9000900011ddHU53年報酬22900053ddHU建立有逐位優先權的目標函數第14章多準則決策第601頁目標規劃模式的目標函數需要極小化偏差變數的函數。

投資組合最重要的目標以P1表示，是找風險指數小於等於700的投資組合。

次要目標以P2表示。

這種優先順序稱為逐位優先，因為不能用高優先等級目標的滿足度，來換取低等級目標的滿足度。

首先處理目標函數中優先等級1（P1）的目標。

想法是先從最接近滿足優先等級1目標的解開始。

然後藉由求解一個只包含優先等級2目標的問題來修正這個解，但是只接受不會減少P1目標值的修正解。

建立有逐位優先權的目標函數第14章多準則決策第602頁優先等級1的線性規劃為：

P1問題0,,,,,90005370025.050.080,0005025s.t.Min22112221111ddddHUPddHUPddHUHUd目標目標可用資金圖解法第14章多準則決策第602頁目標規劃的圖解法將每個優先等級的問題個別求解。

優先等級1線性規劃模式的目標是極小化d1+值，也就是投資組合風險指數超過目標值700的部分。

P1的目標方程式為：

當P1的目標恰好滿足時，d1+=0及d1-=0，目標方程式將簡化成為0.50U+0.25H=700。

圖14.2畫出此方程式的圖，陰影區域就是所有可以滿足可用資金限制，同時使d1+=0的解點。

70025.050.011ddHU圖解法第14章多準則決策第603頁圖解法第14章多準則決策第603頁圖解法第14章多準則決策第603-604頁優先等級2的線性規劃問題可以表示如下：

P2問題優先等級2的目標方程式為：

當d2+及d2-都等於零，方程式簡化為3U+5H=9000。

方程式的圖示見圖14.3。

90005322ddHU0,,,,,090005370025.050.080,0005025s.t.Min2211112221112ddddHUPdPddHUPddHUHUd目標達成目標目標可用資金圖解法第14章多準則決策第605頁目標規劃圖解法包含以下步驟：

步驟1.找出滿足問題限制式的可行解點。

步驟2.找出滿足最高優先目標的可行解；如果沒有可行解能夠達成最高優先的目標，找出最接近達成最高優先目標的解。

步驟3.移到下一個優先等級，找出不犧牲任何較高優先等級目標達成度的最佳解。

步驟4.重複步驟3，直到已考慮所有的優先等級。

目標規劃模式第14章多準則決策第605頁目標函數寫成：

優先等級P1及P2並非偏差變數的權重，只是提醒我們目標優先順序的標記。

完整的目標規劃模式如下﹕2211MindPdP0,,,,,90005370025.050.080,0005025s.t.Min22112221112211ddddHUPddHUPddHUHUdPdP目標目標可用資金14.2目標規劃：

解決更複雜的問題第14章多準則決策第607頁山寇斯辦公用品的問題根據優先等級，將目標彙整如下：

優先等級1目標目標1：

不能使用超過680小時的人力。

目標2：

不能使用少於600小時的人力。

優先等級2目標目標3：

產生至少70,000美元的銷售收入優先等級3目標目標4：

至少拜訪200位老顧客。

目標5：

至少拜訪120位新顧客。

建立目標方程式第14章多準則決策第607頁定義決策變數E=拜訪老顧客的人數N=拜訪新顧客的人數利用這些決策變數及適當的偏差變數，建立各目標的目標方程式。

目標1其中6803211ddNE小時的部分目標值業務員的使用時數低於小時的部分目標值業務員的使用時數超過68068011dd建立目標方程式第14章多準則決策第607-608頁目標2其中目標3其中0063222ddNE小時的部分標值業務員使用時數低於目小時的部分標值業務員使用時數超過目60060022dd000,7012550233ddNE美元的部分銷售收入低於目標值美元的部分銷售收入超過目標值70,00070,00033dd建立目標方程式第14章多準則決策第608頁目標4其中目標5其中02044ddE的部分目標值拜訪老顧客的數目低於的部分目標值拜訪老顧客的數目超過20020044dd12055ddN的部分目標值拜訪新顧客的數目低於的部分目標值拜訪新顧客的數目超過12012055dd建立目標函數第14章多準則決策第608-609頁首先考慮優先等級1的目標。

優先等級1目標同樣重要，於是優先等級1問題的目標函數為：

優先等級2的目標函數為：

優先等級3的目標函數。

。

如果目標4與5同樣重要，優先等級3問題的目標函數將會是：

如果管理階層相信目標5的重要性是目標4的2倍，我們可將優先等級3問題的目標函數寫成：

21Mindd54Mindd3Mind542Mindd建立目標函數第14章多準則決策第609-610頁合併三個優先等級的所有目標函數，我們得到山寇斯辦公用品問題的目標函數：

山寇斯辦公用品問題的完整目標規劃模式表示如下：

53433221112MindPdPdPdPdP0,,,,,,,,,,,512042003000,70125250260032168032s.t.2Min554433221155443322115343322111ddddddddddNEddNddEddNEddNEddNEdPdPdPdPdP目標目標目標目標目標電腦解第14章多準則決策第610頁為求解山寇斯辦公用品的問題，一開始我們先解P1問題：

0,,,,,,,,,,,512042003000,70125250260032168032s.t.Min5544332211554433221121ddddddddddNEddNddEddNEddNEddNEdd目標目標目標目標目標電腦解第14章多準則決策第611頁電腦解第14章多準則決策第611-612頁P3問題的線性規劃模式修改自P1問題的線性規劃模式。

所以，P3問題的目標函數為極小化D4MINUS+2D5MINUS。

P3問題的解如圖14.5。

電腦解第14章多準則決策第611頁無法達成優先等級3的目標。

管理階層必頇瞭解，在含有不同優先等級的情況下，通常很難以現有資源同時達成所有目標。

14.3計分模式第14章多準則決策第612-613頁計分模式是又快又簡易的方法，用來找出多準則決策問題的最佳方案。

建立計分模式的步驟如下：

步驟1.列出決策準則的清單。

決策準則是決策者認為與評估決策方案有關的因素。

步驟2.為每項決策準則指定一個權重，以代表其相對重要性。

令wi=準則i的權重步驟3.就每個準則評定一個等級，以表示每個決策方案滿足該準則的程度。

令rij=方案j在準則i的評等14.3計分模式第14章多準則決策第613頁步驟4.計算每個方案的分數。

令Sj=方案j的分數計算得分的公式如下：

步驟5.將方案依分數由高至低排序，作為計分模式對決策方案的評分結果。

分數最高的方案就是建議方案。

iijijrwS14.3計分模式第14章多準則決策第615頁14.3計分模式第14章多準則決策第615頁14.3計分模式第14章多準則決策第616頁14.4分析層級程序法第14章多準則決策第616頁分析層級程序法（analytichierarchyprocess,AHP），設計來解決複雜的多準則決策AHP要求決策者判定每項決策準則的相對重要性，然後利用這些決策準則來決定每個決策方案的偏好。

14.4分析層級程序法第14章多準則決策第617頁建立層級第14章多準則決策第617頁AHP的第一步是以圖形表示問題的整體目標、決策準則及備選方案。

此圖形描述出問題的層級（hierarchy）架構。

注意，層級架構的第1層指出決策的整體目標是選擇最好的汽車。

第2層四項決策準則（價格、MPG、舒適性及車型）的貢獻構成整體目標的達成度。

最後，第3層的各項決策方案雅哥、釷星及游騎兵則對每項決策準則各有不同程度的貢獻。

運用AHP，決策者依每項決策準則對整體目標達成度的貢獻，判斷決策準則之間的相對重要性。

建立層級第14章多準則決策第618頁14.5使用AHP建立優先權第14章多準則決策第618-619頁成對比較是構成AHP的基石。

在建立四個決策準則的重要性排序時，AHP要求黛安以成對比較的方式，說明每項準則相對於其他準則的重要性。

例如，價格MPG的成對比較，假設黛安表示價格比MPG重要。

為了衡量價格比MPG重要的程度，AHP使用1到9的評分尺度。

成對比較第14章多準則決策第619頁成對比較第14章多準則決策第619-620頁表14.6是汽車選擇問題中黛安的6個成對比較結果。

成對比較第14章多準則決策第619-620頁根據表中資料，黛安表明：

價格比MPG稍微重要價格比舒適性的重要性介於重要與稍微重要之間價格比車型的重要性介於重要與稍微重要之間舒適性比MPG的重要性介於稍微重要與很重要之間車型比MPG的重要性介於稍微重要與很重要之間車型比舒適性的重要性介於重要與稍微重要之間AHP的彈性可以適應每位決策者的獨特偏好。

首先，決策準則的選定完全依據決策者的意見。

可以適應任何決策者的決策準則集合。

AHP仍可調整排序的數值，以反映個人偏好。

成對比較矩陣第14章多準則決策第620-621頁要決定決策準則的重要性排序，建立成對比較矩陣陣（pairwisecomparisonmatrix）。

汽車選擇準則的完整成對比較矩陣就是：

綜合第14章多準則決策第621頁運用成對比較矩陣，我們就可以根據各決策準則對整體目標的貢獻度，計算其重要性排序。

AHP的這部分稱為綜合（synthesization）。

利用以下三步驟可得到與綜合結果很接近的近似結果。

1.計算成對比較矩陣的每一行的加總值。

2.將成對比較矩陣的每個元素除以行總和，產生的矩陣叫做常態化成對比較矩陣（normalizedpairwisecomparisonmatrix）。

3.計算常態化矩陣每列元素的平均值，這些平均值就是決策準則的相對重要性。

綜合第14章多準則決策第621-622頁步驟1.計算各行的加總值。

綜合第14章多準則決策第622頁步驟2.各元素除以其行總和。

步驟3.計算各列元素的平均值以得到相對重要性。

一致性第14章多準則決策第622頁進行此程序時的重要影響因素是決策者提供的成對比較結果的一致性（consistency）。

例如，A準則對B準則的相對重要性是3，而B準則對C準則的相對重要性是2。

那麼在完全一致的情況下，A準則對比C準則的相對重要性應該是32=6。

如果決策者所給的A準則對比C準則的相對重要性是4或5，則在成對比較的結果中將存在某些不一致性。

在許多成對比較中要達到完全一致是很困難的。

AHP提供一套辦法來衡量決策者成對比較結果的一致性。

如果無法接受一致性的程度，決策者必頇在進行AHP的進一步分析前，重新考慮並修正成對比較的結果。

一致性第14章多準則決策第622-623頁AHP透過計算一致性比率（consistencyratio）來衡量成對比較結果的一致性，這個比率如果大於0.10就表示成對比較的結果不一致。

汽車選擇問題決策準則比較結果的一致性比率估計過程如下。

一致性第14章多準則決策第623頁步驟1.將成對比較矩陣第1行的每個數值乘以第1項的權重；將第2行各數值乘以第2項的權重；對所有的行向量重複此動作。

然後將各列加總得到稱為「加權總和」（weightedsum）的向量。

汽車選擇問題的計算如下﹕274.1907.0347.0687.1299.0149.0075.0598.0436.0218.0054.0436.0340.0340.0085.0255.0199.0199.0133.0398.0121412299.021212218.04413085.021213113980.一致性第14章多準則決策第623頁步驟2.將步驟1得到的加權總和向量的每個元素，除以其相對應的準則權重。

4.2640.2991.2744.1630.2180.9074.0770.0850.347MPG4.236398.01.687車型舒適性價格一致性第14章多準則決策第623頁步驟3.計算步驟2得到數值的平均值；以max表示。

步驟4.計算一致性指標（consistencyindex,CI）如下：

其中n是被比較的項目的數目。

於是，我們得到：

185.44264.4163.4077.4236.4max1CImaxnn0616.0144185.4CI一致性第14章多準則決策第624頁步驟5.計算一致性比率（consistencyratio,CR），定義如下﹕其中RI為隨機產生的成對比較矩陣的一致性指標，而RI的值則與被比較項目的數目n有關，其值決定如下：

因此，汽車選擇問題的n=4項準則，我們得到RI=0.90，以下為一致性比率：

RICICR0.0680.900.0616CR汽車選擇問題的其他成對比較第14章多準則決策第624-625頁表14.8列出黛安在汽車選擇問題中每項決策準則的成對比較結果。

汽車選擇問題的其他成對比較第14章多準則決策第625頁汽車選擇問題的其他成對比較第14章多準則決策第625-626頁利用表14.8的成對比較矩陣，我們還可以更深入發掘黛安對汽車的其他偏好。

綜合表14.8中每一個成對比較矩陣，以決定每款車在每一個決策準則的優先順序。

每一個準則的成對比較矩陣都根據前述的三個步驟進行綜合計算。

四個綜合計算得到四組優先權重列於表14.9。

14.6使用AHP建立整體優先順序第14章多準則決策第626頁利用黛安對四項準則的成對比較得到價格權重為0.398、MPG權重為0.085、舒適性權重為0.218，以及車型權重為0.299。

用來計算整體優先權重的方法，是將每款車在表14.9中的優先權重乘以每項準則的權重。

將這些權重排序，我們得到各決策方案的AHP排序為：