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将3个球随机地放入4个杯子，求3个球在同一个杯子中的概率
三个球放入4个杯子，可以看成分三步完成，每步都有4种选择，所以共有4*4*4=64种放法
三个球放进同一个杯子，有4种可能
所以概率为4/64=1/16
翻杯子中的数学奥秘
有一类题目（称作“翻杯子问题”）可以利用+1、-1的数的乘积来解决。
如：
现有7只杯子全部口朝上放在桌子上，每次翻转其中的4只杯子。
经过若干次翻转后，能使杯口全部朝下吗？
很多学生在拿到题目之后，都跃跃欲试。
但是经过一番尝试后就会发现，这件事根本无法办到。
这是为什么呢？
怎样证明？
简单的办法是把杯口朝上的茶杯记为+1，朝下的茶杯记为-1。
这样问题就变为+1，+1，+1，+1，+1，+1，+1的数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能不能经过有限次它们全部改为-1。
通过实践说明，经过一次翻动，这7个数的乘积保持不变。
为什么呢？
改变一个数的符号，就是把这个数乘以-1，在一次翻动中，有四个数乘以-1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以4个-1，可是4个-1相乘得+1，所以七个数的乘积无论经过多少次翻动后，仍保持不变是+1。
而假如7只茶杯杯口朝下，则有7个-1相乘积是-1，所以不可能把7个数都变成-1。
利用+1、-1的数的乘积的道理来解决“翻杯子问题”似乎大家都能明白，但对于理论上能翻的实际中又不知该如何翻动，下面我们就把这类题的解题方法介绍给大家，以便共同探讨。
遇到翻杯子这类题目，首先要判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。
如果是倍数关系，那么一定能把杯子口都翻过来，只要每次翻动不同的杯子就可以了；如果不是倍数关系（下面只讨论杯子数[设为C]大于每次翻的个数[设为n]而小于两倍于每次翻的个数的情况），就要看总个数是偶数还是奇数。
对于总数和要翻的个数都是奇数或都是偶数时只需要翻动三次即可把杯子全部翻过
（1）按要求将要翻动的个数翻下。
（2）先算出总个数与每次翻动个数的差再除以二的商，然后将与原来杯口方向相同的杯子翻动商个，方向相反的杯子翻动的个数是每次要翻动的个数与商的差个。
（3）将所有杯口与原来方向相同的杯子（刚好是n只）翻下即可完成。
例如将9只杯口朝上的杯子每次翻动5只，翻动3次后，使得杯口全部朝下的步骤如下：
1，1，1，1，1，1，1，1，1 -1，-1，-1，-1，-1，1，1，1，1
-1，-1，1，1，1，-1，-1，1，1 -1，-1，-1，-1，-1，-1，，-1，-1，-1
当总个数是偶数，而且每次翻的个数又是总数减一，只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻……的方法就可以成功。
但如果每次翻动奇数个，每次翻动的个数与总个数又不呈相差一的关系，那么
（1）应该按照题目要求先翻动应翻动的个数n，
（2）将剩下的（c-n）只翻下，再将第一步翻下的杯子中（2n-c）只再翻过来。
（3）将c/2只杯口与原来方向相反的杯子再翻过来，剩下的将杯口与原来方向相同的杯子翻下。
（4）将所有杯口与原来方向相同的杯子（刚好是n只）翻下即可完成。
（其实，对于每次翻的个数是总数减一的问题也可以用此方法解决）。
例如要将8只杯口朝上的杯子每次翻动5只，翻动4次后，使得杯口全部朝下的步骤如下：
1，1，1，1，1，1，1，1 -1，-1，-1，-1，-1，1，1，1
-1，-1，-1，1，1，-1，-1，-1 1，1，1，-1，1，1，-1，-1
-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1
当总个数是奇数，而且每次翻的个数是偶数时，无论经过多少次翻动后都不可能变为杯口全向下，可利用+1、-1的数的乘积去说明道理。
对于杯子总数大于每次翻的个数的两倍的情况，在每次翻动不同杯子后，都可以转化为以上介绍的问题，这里就不再赘述了。
任何事物都有它的规律所在。
实践是认识的源泉，又是检验真理的唯一标准。
在学习中，只要我们勤动手，勤思考，运用我们所学的知识去发现、探索，那么，我们就能驾驭数学，最后成为数学学习的主人。
在一只杯子中有一些水，在低于水面1cm的地方有一个小孔，问当中国人，日本人，俄罗斯人，美国人都面临这个问题时他们会如何解决?
俄罗斯人狠费了一翻工夫对杯子和水作了极其严密的数学计算,最后得出了将杯子倾斜已使其不倒的角度,全场哗然;日本人花费了大量心血研制了一种使玻璃小孔迅速凝结的设备,全场哗然;美国人拿出一大叠钞票,全场哗然,然后买走了小日本的设备,全场再次哗然;最后中国人给出了他们的办法,拿一小纸片在杯子内侧将小孔堵了,全场哗然不止......
1.请问钟表从零点开始，转一周，12个小时，时针、分钟、秒针三针重合的次数是几次？
并说出重合的位置。
邻居李大妈购买了一套新房子，正准备装修。
今天我们去做做装修小参谋吧！
（1）各室地面是什么形状？
（2）算一算。
客厅需地板砖多少块？
卧室需多少块地板砖？
厨房需多少块地板砖？
（3）付钱。
李大妈购买地板砖应付多少钱？
其中一个卧室宽2米，另一个卧室宽3米，长5米，客厅宽4米，厨房长3.5米，卫生间长1.7米。
装修材料公司提供的项目价格：
（单位：
厘米）
客厅地板砖规格：
60×60单价：
15元
卧室地板砖规格：
60×60单价：
15元
厨房地板砖规格：
50×50单价：
6元
卫生间地板砖规格：
40×40单价：
3元
我坐着妈妈的车子去上补习班，突然天上乌云密布，转眼间，“哗~哗~”地下起倾盆大雨，一会儿路上已积满了雨水，我们在雨中飞快的行驶，雨水在车轮下滚动着、跳越着，欢快的流向圆圆的阴井盖，这时我发现了一个奇怪的现象：
“马路上的阴井盖几乎是圆的。
可这是为什么呢？
做成其他形状的，比如正方形、长方形不好吗？
”到了目的地我还在自言自语道。
“盖子下面是什么？
盖子下面的洞是圆的，盖子当然是圆的了！
”妈妈听到了我的话说。
妈妈的话并不满足我，回到家我就查了资料：
原来，阴井盖做成圆的，是因为只要盖子的直径稍微大于井口的直径，那么盖子无论何种情形被颠起来，再掉下去的时候，它都是掉不到井里的。
那如果阴井盖换作正方形或者长方形，会出现什么情况呢？
假设一个快速飞来的汽车冲击阴井盖，将其弄到空中。
盖子掉下来的时候，无论是长方形还是正方形，都有可能沿着最大尺度的对角线掉到井中！
因为正方形的对角线是边长的1.41倍，长方形的对角线也大于任一边的边长，只有圆，直径是相同的。
圆形的盖子是无论如何都掉不进去的。
假设有天晚上，一个人不小心把盖子踢起来，井开口了，人也掉进去了，再加上盖子也跟着掉下去，那人还了得，不仅脚下有臭气熏天的污水，再来个当头一盖，岂不雪上加霜，要命么！
最近，我正好在学习圆的知识，书上说：
连接圆心上任意一点的线段，叫做半径。
它的长度就是画圆时，圆规两脚之间的距离。
同样的半径，边长求面积的时候，圆的面积最小，最省材料，为国家节约材料。
爸爸看见我在查圆的的资料幽默地回答：
“圆形的井盖在搬运时可以滚动运输，节省体力。
还可以这么说，盖子下面的洞是圆的，圆形的检查井比较利于人下去，在挖井的时候也比较容易，下水道出孔要留出足够一个人通过的空间，而一个顺着梯子爬下去的人的横截面基本是圆的，所以圆形自然而然地成为下水道出入孔的形状。
圆形的井盖只是为了覆盖圆形的洞口。
另外圆柱形最能承受周围土地和水的压力。
这回答怎么样？
呵呵！
”
春姑娘一走，夏娃娃就值起班来，气温也慢慢升高，不少同学吹起了电风扇。
在享受着凉爽的同时，细心的你是否发现了小小电风扇的奇妙之处?
今天，我做一道数学题时，突然想到一个问题，所有电风扇的叶片都是三片吗甲带着疑问，我去问妈妈，妈妈说：
“我也不清楚，你自己去查查吧。
”我跑进书房，去请教“网老师”，“网老师”清楚地告诉我：
家庭使用的电风扇都是三片叶片的，形状是鸟翼形，这种形状的叶片流量大，噪音低，符合流体力学原理。
所以绝大多数电风扇是三片叶片
出于力学角度考虑.3片风扇可以形成不对称的一个合理的力学动力,当1片叶片不具备动力势能时,其他的2片处于势能状态,2片势能叶片自然可以轻松带动一片暂时不具备势能叶片,可以节省电力和节约能量.
但是随着新材料新技术的应用,3叶片电风扇设计初始节约势能的优势被忽略了.人们发现用新材料新技术制作的4叶片,6叶片或者9叶片电风扇产生的风力和消耗的能源比3叶片电风扇产生的风力大,现在电力相对比较发达,能源消耗被忽略不计.
其次是和科技发展有关系.人们现在见到的3个风扇的电风扇是现代早期的设计,局限于当时的设计观念和力学水平的认识.部分3扇电风扇仍然沿用至今,但是现在基本已经很少见了.现在生产的电风扇随着科技的发展叶片有了多种变化,如叶片数量增加,叶片角度加大从而产生了更大的风力.这跟现代科技发展如设计观念,材料更新,马达技术的提高等等都有很大的关系.
今后,随着科技的发展,3片的电风扇仍然会存在,但是在材料和设计上会有很大的变化的.如叶片也采用新材料,加大叶片角度产生更大的风力等等..
某公司计划明年生产一种新型环保电视机
某公司计划明年生产一种新型环保电视,下面是公司各部门提供的数据信息.
人事部:
明年生产工人不超过80人,每人每年工作时间按2400小时计算;
营销部:
预测明年销量至少是10000台；
技术部:
生产一台电视机,平均用12个工时,每台电视机需安装5个某种主要部件;
供应部:
今年年终将库存主要部件2000个,明年能采购到这种主要部件为80000个.
根据上述信息,明年生产新型电视机的台数应控制在什么范围内?
从工人人数和生产能力看，最大生产台数限制为80*2400/12=16000台
从销量预计看，生产台数至少应达到10000台
从部件需求和采购能力看，最大生产台数限制为（80000+2000）/5=16400台
最大限制中应当取较小的那个，
因此明年的生产量应当在10000台至16000台的范围之内
椅子能不能在不平的地面上放稳的问题
假设1 对第一个对象——椅子所作的。
它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈长方形（长方形书上是正方形）
假设2是对第二个对象——地面的数学描述。
地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。
假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
在这里值得注意的有二点：
其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。
建模示例：
椅子能在不平的地面上放稳吗
日常生活中一件普通的事实：
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪支几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？
模型假设 对椅子和地面应该作一些必要的假设：
1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
假设1显然是合理的。
假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。
至于假设3是要排除这样的情况：
地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地。
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量表示椅子的位置。
注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中，椅脚连线为ABCD，对角线AC与x轴生命，椅子绕中心点O旋转角度θ后，正方形ABCD转至A’B’C’D’的位置，所以对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A，C两脚与地面距离之和为f（θ），B，D两脚与地面距离之和为g（θ）（f（θ）,g（θ）≥0）。
由假设2，f和g都是连续函数。
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f（θ）和g（θ）中至少有一个为零。
当θ=0时不妨设g（θ）=0，f（θ）>0。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知f（θ）和g（θ）是θ的连续函数，对任意θ，f（θ）·g（θ）=0，且g（0）=0,f（0）>0.证明存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0.
模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的一种。
将椅子旋转900（π/2），对角线AC与BD互换。
由g（0）=0和f（0）>0可知g（π/2）>0和f（π/2）=0.
令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（θ）和h（π/2）＜0。
由f和g的连续性知h也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h（θ0）=0，即f（θ0）=g（θ0）。
最后，因为f（θ0）·g（θ0）=0，所以f（θ0）＝g（θ0）=0。
由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验证就略去了。
评注 这个模型的巧妙之处在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。
继续追问：
我说的是长方形
补充回答：
哦，这个其实也是一样的，你看看这个，它适用于正方形，长方形，思路比较简单
在这里我就简单的书写，你吧上面的格式抄一遍就OK了
记四边形四顶点为ABCD,对角线交点为O,当凳子放在地面时最少有三只脚与地面接触,以O为转轴,AC初始位置为极轴
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