中考数学复习之与切线有关的证明及计算含答案.docx
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中考数学复习之与切线有关的证明及计算含答案
中考数学复习之与切线有关的证明及计算（含答案）
1.如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C为的中点，延长OC到点D，使CD＝OC，AB交OC于点E.
（1）求证：
DA是⊙O的切线；
（2）若OA＝6，求弦AB的长．
2.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB.
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）连接AF,BF，求∠ABF的度数．
3.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A、B，CD分别交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径r.
4.如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是
MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.
（1）求证：
PD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，AM＝MC，求的值．
5.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.
（1）请猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝6，BD＝2时，求DE的长．
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N.
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：
NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：
MD＝NB.
7.如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，
CG⊥AB，垂足为D.
（1）求证：
∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P＝，CF＝10，求BE的长．
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.
（1）若AC＝6，BC＝10，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE＝2∠ABC，求证：
四边形ACEF是菱形．
参考答案：
1.
（1）证明：
如图，连接AC，
∵点C是的中点，
∴＝.
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，AC＝OC，
∵CD＝OC，
∴CD＝AC，
∴∠DAC＝∠D＝∠OCA＝30°，
∴∠DAO＝∠DAC＋∠OAC＝90°，
∴OA⊥AD，
∵AO是⊙O的半径，
∴DA是⊙O的切线；
（2）解：
∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴AE＝BE，OE⊥AB，
在Rt△AOE中，
∵AE＝OA·sin60°＝6×＝3，
∴AB＝2AE＝6.
2.
（1）证明：
如图，连接OB，
∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE＋∠AED＝90°，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠DAE＋∠CBE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OBA＋∠CBE＝90°，即∠OBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：
如图，连接OF交AB于点H，
∵DF⊥OA，AD＝OD，
∴FA＝FO，
∵OF＝OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°.
3.
（1）证明：
如图，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝∠OED＝90°，
又∵DO平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠EDO，
在△OAD和△OED中，
，
∴△OAD≌△OED（AAS），
∴OA＝OE，
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：
如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF，
又∵AD＝4，BC＝9，
∴FC＝9－4＝5，
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA＝DE，CB＝CE，
∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13，
在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，
∴DF＝＝＝12，
∴AB＝12，
∴⊙O的半径r是6.
4.
（1）证明：
如图，连接OD，OP，
∵＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，
∴DM∥PO，
∴∠POC＝∠DMO，∠POD＝∠ODM，
∵OD＝OM，
∴∠DMO＝∠ODM，
∴∠POC＝∠POD，
∵OD＝OC，OP＝OP，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO＝∠PCO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DN⊥AC于点N，
∵由
（1）可知DM∥OP，
∴＝，
∵AM＝MC＝OM，
∴＝，
∴DP＝AD＝6，OP是△BCM的中位线，
∴BP＝CP，
∵DP、CP都是⊙O的切线，
∴CP＝DP＝BP＝6，设OM＝OD＝OC＝x，
在Rt△ADO中，AO＝3x，由勾股定理得AO2＝OD2＋AD2，
即（3x）2＝x2＋122，
∴x＝3，
∵AD·DO＝AO·DN，
∴DN＝＝4，
∴在Rt△ODN中，由勾股定理得ON＝＝，
∴MN＝OM－ON＝2，
∴在Rt△MDN中，DM＝＝2，
∴＝＝.
5.解：
（1）猜想：
DE⊥AC.
理由如下：
如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥DE，
∵BD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）如图，连接AD.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，DC＝BD＝2，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ADB＝∠CED，
∴Rt△ABD∽Rt△DCE，
∴＝，
∴DE·AB＝AD·DC，
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝2，
∴AD＝＝4，
∴DE＝＝.
6.证明：
（1）如图，连接ON，
∵NE为⊙O的切线，
∴ON⊥NE，
∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠DCB,
∵OC＝ON，
∴∠ONC＝∠OCN，
∴∠B＝∠ONC，
∴ON∥AB，
∵ON⊥NE，
∴NE⊥AB;
（2）如图，连接ND，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DMC＝∠DNC＝90°，
由
（1）得BD＝CD，∴CN＝NB，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CMDN是矩形,
∴MD＝CN，
∴MD＝NB.
7.
（1）证明：
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCB＋∠OCA＝90°，
∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠PCA＝∠ABC；
（2）解：
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴＝，
∴∠ACF＝∠ABC，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠PCA＝∠CAF，
∴AF＝CF＝10，
∵AE∥PC，
∴∠P＝∠FAD，cos∠P＝cos∠FAD＝，
∴在Rt△AFD中，AD＝8，FD＝6，
∴CD＝CF＋FD＝10＋6＝16.
在Rt△OCD中，设OC＝r，
OD＝r－8，
∴r2＝（r－8）2＋162，解得r＝20，
∴AB＝2r＝40，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，cos∠EAB＝，
∴＝，AE＝32，
∴BE＝＝24.
8.
（1）解：
如图，连接OE，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝10，
根据勾股定理得：
AB＝＝8，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB＝∠BAC＝90°，
∵∠OBE＝∠CBA，
∴△BOE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得r＝3；
（2）证明：
∵所对的圆心角和圆周角分别是∠AOE和∠AFE，∠AFE＝2∠ABC，
∴∠AOE＝2∠AFE＝4∠ABC，
∵∠AOE＝∠OEB＋∠ABC，
∴4∠ABC＝90°＋∠ABC，
∴∠ABC＝30°，∠AFE＝60°，
又∵EF⊥AB，
∴∠BME＝∠BAC＝90°，
∠BEM＝60°＝∠AFE，
∴EF∥AC，CE∥AF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵CE、AC为⊙O的切线，
∴CA＝CE，
∴平行四边形ACEF是菱形．
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