小学数学奥数基础教程三年级第12021讲.docx
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小学数学奥数基础教程三年级第12021讲
第1讲加减法的巧算
在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。
先讲加法的巧算。
加法具有以下两个运算律：
加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
即
a+b=b+a，
其中a，b各表示任意一数。
例如，5+6=6+5。
一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。
例如，
a+b+c+d=d+b+a+c=…
其中a，b，c，d各表示任意一数。
加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。
即
a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），
其中a，b，c各表示任意一数。
例如，
4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）。
一般地，多个数（三个以上）相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。
把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。
1.凑整法
先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。
例1计算：
（1）23＋54＋18＋47＋82；
（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）。
解：
（1）23＋54＋18＋47＋82
＝（23＋47）＋（18＋82）＋54
＝70＋100＋54＝224；
（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）
＝1350＋49＋68＋51＋32+1650
＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）
＝3000＋100＋100＝3200。
2.借数凑整法
有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。
例2计算：
（1）57＋64＋238＋46；
（2）4993＋3996＋5997＋848。
解：
（1）57＋64＋238＋46
＝57＋（62＋2）＋238＋（43＋3）
＝（57＋43）＋（62＋238）＋2＋3
＝100＋300＋2＋3＝405；
（2）4993＋3996＋5997＋848
=4993＋3996＋5997＋（7＋4＋3＋834）
=（4993＋7）＋（3996＋4）＋（5997＋3）＋834
=5000＋4000＋6000＋834＝15834。
下面讲减法和加减法混合运算的巧算。
加、减法有如下一些重要性质：
（1）在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
例如，
a-b-c＝a-c-b，a-b+c＝a+c-b，
其中a，b，c各表示一数。
（2）在加、减法混合运算中，去括号时：
如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋”。
例如，
a＋（b-c）=a+b-c，
a-（b＋c）=a-b-c，
a-（b-c）=a-b+c。
（3）在加、减法混合运算中，添括号时：
如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“-”变为“＋”。
例如，
a＋b-c＝a＋（b-c），
a-b＋c=a-（b-c），
a-b-c＝a-（b＋c）。
灵活运用这些性质，可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。
3.分组凑整法
例3计算：
（1）875-364-236；
（2）1847-1928＋628-136-64；
（3）1348-234-76＋2234-48-24。
解：
（1）875-364-236
=875-（364＋236）
=875-600=275；
（2）1847-1928＋628-136-64
=1847-（1928-628）-（136＋64）
=1847-1300-200＝347；
（3）1348-234-76＋2234-48-24
=（1348-48）+（2234-234）-（76＋24）
=1300＋2000-100＝3200。
4.加补凑整法
例4计算：
（1）512-382；
（2）6854-876-97；
（3）397-146＋288-339。
解：
（1）512-382=（500＋12）-（400-18）
=500+12-400+18
＝（500-400）＋（12＋18）
＝100＋30＝130；
（2）6854-876-97
=6854-（1000-124）-（100-3）
=6854-1000＋124-100＋3
=5854+24+3＝5881；
（3）397-146＋288-339
＝397＋3-3-146＋288＋12-12-339
＝（397＋3）＋（288＋12）-（146＋3＋12＋339）
＝400＋300-500=200。
第20讲乘、除法的运算律和性质
我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。
本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。
1.乘法的运算律
乘法交换律：
两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。
即
a×b=b×a。
其中，a，b为任意数。
例如，35×120=120×35=4200。
乘法结合律：
三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。
即
a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）。
注意：
（1）这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。
即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
（2）这两个运算律常一起并用。
例如，并用的结果有
a×b×c=b×（a×c）等。
例1计算下列各题：
（1）17×4×25；
（2）125×19×8；
（3）125×72；（4）25×125×16。
分析：
由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。
解：
（2）125×19×8
=（125×8）×19
=1000×19
=19000；
（3）125×72
=125×（8×9）
=（125×8）×9
=1000×9
=9000；
（4）25×125×16或
=25×125×2×8
=（25×2）×（125×8）
=50×1000
=50000，
25×125×16
=25×125×4×4
=（25×4）×（125×4）
=100×500
=50000。
乘法分配律：
两个数之和（或差）与一数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）。
即
（a+b）×c=a×c+b×c，
（a-b）×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题：
（1）125×（40+8）；
（2）（100-4）×25；
（3）2004×25；（4）125×792。
解：
（1）125×（40+8）
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000；
（2）（100-4）×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400；
（3）2004×25
=（2000+4）×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100；
（4）125×792
=125×（800-8）
=125×800-125×8
=（125×8）×100-1000
=1000×100-1000
=1000×（100-1）
=99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质：
被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。
即
a÷b=（a×n）÷（b×n）（n≠0）
=（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）
例3计算：
（1）425÷25；
（2）3640÷70。
解：
（1）425÷25
=（425×4）÷（25×4）
=1700÷100
=17；
（2）3640÷70
=（3640÷10）÷（70÷10）
=364÷7
=52。
（2）两数之和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（或差）。
即
（a±b）÷c=a÷c±b÷c。
例如，（8+4）÷2=8÷2+4÷2，
（9-6）÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和（或差）的情形。
例如
（1000-688-136）÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
（3）在连除中，可以交换除数的位置，商不变。
即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。
例如，
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题：
（1）（182+325）÷13；
（2）（2046-1059-735）÷3；
（3）775÷25；
（4）2275÷13÷5。
解：
（1）（182＋325）÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39；
（2）（2046-1059-735）÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84；
（3）775÷25
=（700+75）÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31；
（4）2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合运算的性质
（1）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如，
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
（2）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：
括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。
即
a×（b×c）=a×b×c，
a×（b÷c）=a×b÷c。
括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。
即
a÷（b×c）=a÷b÷c，
a÷（b÷c）=a÷b×c。
添加括号情形：
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。
即
a×b×c=a×（b×c），
a×b÷c=a×（b÷c），
a÷b÷c=a÷（b×c），
a÷b×c=a÷（b÷c）。
（3）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。
即
（a×b）÷（c×d）
=（a÷c）×（b÷d）
=（a÷d）×（b÷c）。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例5计算下列各题：
（1）136×5÷8
=136÷8×5
=17×5=85；
（2）4032÷（8×9）
=4032÷8÷9
=504÷9=56；
（3）125×（16÷10）
=125×16÷10
=256×4
（4）2560÷（10÷4）
=2560÷10×4
＝1024；
（5）2460÷5÷2
=2460÷（5×2）
=2460÷10
=246；
（6）527×15÷5
=527×（15÷5）
=527×3
=1581；
（7）（54×24）÷（9×4）
=（54÷9）×（24÷4）
=6×6=36。
第21讲乘法中的巧算
上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。
本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。
1.乘11，101，1001的速算法
一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得
a×11=a×（10＋1）=10a＋a，
a×101=a×（101＋1）=100a＋a，
a×1001=a×（1000＋1）=1000a＋a。
例如，38×101=38×100＋38=3838。
2.乘9，99，999的速算法
一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得
a×9=a×（10-1）=10a-a，
a×99=a×（100-1）=100a-a，
a×999=a×（1000-1）=1000a-a。
例如，18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。
凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。
例1计算：
（1）356×1001
＝356×（1000＋1）
＝356×1000＋356
＝356000＋356
＝356356；
（2）38×102
＝38×（100＋2）
＝38×100＋38×2
＝3800＋76
＝3876；
（3）526×99
＝526×（100-1）
＝526×100-526
＝52600-526
＝52074；
（4）1234×9998
＝1234×（10000-2）
＝1234×10000-1234×2
＝12340000-2468
＝12337532。
3.乘5，25，125的速算法
一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到
例如，76×25＝7600÷4＝1900。
上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。
当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。
例2计算：
（1）186×5
=186×（5×2）÷2
=1860÷2
=930；
（2）96×125
=96×（125×8）÷8
=96000÷8=12000。
有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。
例3计算：
（1）84×75
=（21×4）×（25×3）
=（21×3）×（4×25）
=63×100=6300；
（2）56×625
=（7×8）×（125×5）
=（7×5）×（8×125）
=35×1000=35000；
（3）33×125
=32×125+1×125
=4000+125=4125；
（4）39×75
=（32+1）×125=（40-1）×75
=40×75-1×75
=3000-75=2925。
4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法
个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。
例如：
仿此同学们自己算算下面的乘积
35×35＝______55×55＝______
65×65＝______85×85＝______
95×95＝______
这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位
数相乘的计算，例如，
巧算下列各题：
1.42＋71＋24＋29＋58。
2.43+（38＋45）＋（55＋62＋57）。
3.698＋784＋158。
4.3993+2996+7994＋135。
5.4356＋1287-356。
6.526-73-27-26。
7.4253-（253-158）。
8.1457-（185＋457）。
9.389-497＋234。
10.698-154+269+787。
用简便方法计算下列各题。
1.
（1）12×4×25；
（2）125×13×8；（3）125×56；（4）25×32×125。
2.
（1）125×（80+4）；
（2）（100-8）×25；（3）180×125；（4）125×88。
3.
（1）1375÷25；
（2）12880÷230。
4.
（1）（128+1088）÷8；
（2）（1040-324-528）÷4；
（3）1125÷125；
（4）4505÷17÷5。
5.
（1）384×12÷8；
（2）2352÷（7×8）；
（3）1200×（4÷12）；
（4）1250÷（10÷8）；
（5）2250÷75÷3；
（6）636×35÷7；
（7）（126×56）÷（7×18）。
用速算法计算下列各题：
1.
（1）68×101；
（2）74×201；
（3）256×1002；（4）154×601。
2.
（1）45×9；
（2）457×99；
（3）762×999；（4）34×98。
3.
（1）536×5；
（2）437×5；
（3）638×15； （4）739×15。
4.
（1）32×25；
（2）17×25；
（3）130×25； （4）68×75；
（5）49×75；（6）87×75。
5.
（1）56×125；
（2）77×125；
（3）66×375；（4）256×625；
（5）555×375；（6）888×875。
6.
（1）295×295；
（2）705×705。
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