1、小学数学奥数基础教程三年级第12021讲第1讲 加减法的巧算在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结果都是整十、整百、整千的数,再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。先讲加法的巧算。加法具有以下两个运算律:加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即a+b=b+a,其中a,b各表示任意一数。例如,5+6=6+5。一般地,多个数相加,任意改变相加的次序,其和不变。例如,a+b+c+d=d+b+a+c=其中a,b,c,d各表示任意一数。加法结合律:
2、三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),其中a,b,c各表示任意一数。例如,4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。一般地,多个数(三个以上)相加,可先对其中几个数相加,再与其它数相加。把加法交换律与加法结合律综合起来应用,就得到加法的一些巧算方法。1.凑整法先把加在一起为整十、整百、整千的加数加起来,然后再与其它的数相加。例1计算:(1)2354184782;(2)(13504968)(51321650)。解:(1)2354184782(2347)(1882)54701005422
3、4;(2)(13504968)(51321650)135049685132+1650(13501650)(4951)(6832)30001001003200。2.借数凑整法有些题目直观上凑整不明显,这时可“借数”凑整。例如,计算97685,可在85中借出24,即把85拆分成2461,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。例2计算:(1)576423846;(2)499339965997848。解:(1)57642384657(622)238(433)(5743)(62238)2310030023405;(2)499339965997848=499339965997(74
4、3834)=(49937)(39964)(59973)834=50004000600083415834。下面讲减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质:(1)在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如,a-b-ca-c-b,a-b+ca+c-b,其中a,b,c各表示一数。(2)在加、减法混合运算中,去括号时:如果括号前面是“”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变;如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“”变为“-”,“-”变为“”。例如,a(b-c)=a+b-c,a-(bc)=a-b-c,a-(b-c)=a
5、-b+c。(3)在加、减法混合运算中,添括号时:如果添加的括号前面是“”号,那么括号内的数的原运算符号不变;如果添加的括号前面是“-”号,那么括号内的数的原运算符号“”变为“”,“-”变为“”。例如,ab-ca(b-c),a-bc=a-(b-c),a-b-ca-(bc)。灵活运用这些性质,可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。3.分组凑整法例3计算:(1)875-364-236;(2)1847-1928628-136-64;(3)1348-234-762234-48-24。解:(1)875-364-236=875-(364236)=875-600=275;(2)1847-1928628-1
6、36-64=1847-(1928-628)-(13664)=1847-1300-200347;(3)1348-234-762234-48-24=(1348-48)+(2234-234)-(7624)=13002000-1003200。4.加补凑整法例4计算:(1)512-382;(2)6854-876-97;(3)397-146288-339。解:(1)512-382=(50012)-(400-18)=500+12-400+18(500-400)(1218)10030130;(2)6854-876-97=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000124-1003=585
7、4+24+35881;(3)397-146288-3393973-3-14628812-12-339(3973)(28812)-(146312339)400300-500=200。 第20讲 乘、除法的运算律和性质我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质,利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质,其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。1.乘法的运算律乘法交换律:两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变。即ab=ba。其中,a,b为任意数。例如,35120=12035=4200。乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或
8、先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。即abc=(ab)c=a(bc)。注意:(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中,可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例如,并用的结果有abc=b(ac)等。例1计算下列各题:(1)17425; (2)125198;(3)12572; (4)2512516。分析:由于254=100,1258=1000,1254=500,运用乘法交换律和结合律,在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后,再与其它数相乘,以简化
9、计算。解:(2)125198=(1258)19=100019=19000;(3)12572=125(89)=(1258)9=10009=9000;(4)2512516或=2512528=(252)(1258)=501000=50000,2512516=2512544=(254)(1254)=100500=50000。乘法分配律:两个数之和(或差)与一数相乘,可用此数先分别乘和(或差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减)。即(a+b)c=ac+bc,(a-b)c=ac-bc。例2计算下列各题:(1)125(40+8); (2)(100-4)25;(3)200425; (4)125792。解:(
10、1)125(40+8)=12540+1258 =5000+1000=6000;(2)(100-4)25=10025-425=2500-100=2400;(3)200425=(2000+4)25=200025+425=50000+100=50100;(4)125792=125(800-8)=125800-1258=(1258)100-1000=1000100-1000=1000(100-1)=99000。2.除法的运算律和性质商不变性质:被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。即ab=(an)(bn)(n0)=(am)(bm)(m0)例3计算:(1)42525;(2)364070。解:(
11、1)42525=(4254)(254)=1700100=17;(2)364070=(364010)(7010)=3647=52。(2)两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后再求两个商的和(或差)。即(ab)c=acbc。例如,(8+4)2=82+42,(9-6)3=93-63。此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如(1000-688-136)8=10008-6888-1368=125-86-17=22。(3)在连除中,可以交换除数的位置,商不变。即abc=acb。在这个性质中,除数的个数可以推广到更多个的情形。例如,168743=168347=例4计算下列各题:
12、(1)(182+325)13;(2)(2046-1059-735)3;(3)77525;(4)2275135。解:(1)(182325)13=18213+32513=14+25=39;(2)(2046-1059-735)3=20463-10593-7353=682-353-245=84;(3)77525=(700+75)25=70025+7525=28+3=31;(4)2275135=2275513=45513=35。3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如,abc=acb=bca。(2)在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则去
13、括号情形:括号前是“”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。即a(bc)=abc,a(bc)=abc。括号前是“”时,去括号后,括号内的“”变为“”,“”变为“”。即a(bc)=abc,a(bc)=abc。添加括号情形:加括号时,括号前是“”时,原符号不变;括号前是“”时,原符号“”变为“”,“”变为“”。即abc=a(bc),abc=a(bc),abc=a(bc),abc=a(bc)。(3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。即(ab)(cd)=(ac )(bd)=(ad)(bc)。上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。例5计算下列各题:(1)13658=13685=175=8
14、5;(2)4032(89)=403289=5049=56;(3)125(1610)=1251610=2564(4)2560(104)=25601041024;(5)246052=2460(52)=246010=246;(6)527155=527(155)=5273=1581;(7)(5424)(94)=(549)(244)= 66=36。第21讲 乘法中的巧算上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质,它是乘、除法中巧算的理论根据,也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。1.乘11,101,1001的速算法一个数乘以11,101,1001时,因为11,101,1001
15、分别比10,100,1000大1,利用乘法分配律可得a11=a(101)=10aa,a101=a(1011)=100aa,a1001=a(10001)=1000aa。例如,38101=3810038=3838。2.乘9,99,999的速算法一个数乘以9,99,999时,因为9,99,999分别比10,100,1000小1,利用乘法分配律可得a9=a(10-1)=10a-a,a99=a(100-1)=100a- a,a999=a(1000-1)=1000a-a。例如,1899=18100-18=1782。上面讲的两类速算法,实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千的数时,将乘
16、数表示成上述整十、整百、整千与一个较小的自然数的和或差的形式,然后利用乘法分配律进行速算的方法。例1 计算:(1) 3561001356(10001)3561000356356000356356356;(2) 3810238(1002)38100382 3800763876;(3)52699526(100-1) 526100-526 52600-52652074;(4)12349998 1234(10000-2)123410000-1234212340000-246812337532。3.乘5,25,125的速算法一个数乘以 5,25,125时,因为 5210,254100,12581000,
17、所以可以利用“乘一个数再除以同一个数,数值不变”及乘法结合律,得到例如,7625760041900。上面的方法也是一种“凑整”,只不过不是用加减法“凑整”,而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千的数时,将乘数先乘上这个较小的自然数,再除以这个较小的自然数,然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。例2 计算:(1) 1865=186(52)2=18602=930;(2) 96125=96(1258)8=960008=12000。有时题目不是上面讲的“标准形式”,比如乘数不是25而是75,此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。例3 计算:(1) 8
18、475=(214)(253)=(213)(425)=63100=6300;(2)56625=(78)(1255)=(75)(8125)=351000=35000;(3) 33125=32125+1125=4000+125=4125;(4) 3975=(32+1)125 =(40-1)75=4075-175=3000-75=2925。4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法个位是5的两个相同的两位数相乘,积的末尾两位是25,25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如:仿此同学们自己算算下面的乘积3535_ 5555_6565_ 8585_9595_这种方法也适用于个位数是5的两个相
19、同的多位数相乘的计算,例如, 巧算下列各题:1.4271242958。2.43+(3845)(556257)。3.698784158。4.3993+2996+7994135。5.43561287-356。6.526-73-27-26。7.4253-(253-158)。8.1457-(185457)。9.389-497234。10.698-154+269+787。 用简便方法计算下列各题。1.(1)12425;(2)125138;(3)12556;(4)2532125。2.(1)125(80+4);(2)(100-8)25;(3)180125;(4)12588。3.(1)137525;(2)12
20、880230。4.(1)(128+1088)8;(2)(1040-324-528)4;(3)1125125;(4)4505175。5.(1)384128;(2)2352(78);(3)1200(412);(4)1250(108);(5)2250753;(6)636357;(7)(12656)(718)。用速算法计算下列各题:1.(1) 68101; (2) 74201;(3) 2561002; (4) 154601。2.(1)459;(2)45799; (3)762999; (4) 3498。3.(1)5365; (2)4375;(3)63815; (4)73915。4.(1)3225; (2)1725;(3)13025;(4)6875;(5)4975; (6)8775。5.(1)56125; (2)77125;(3)66375; (4) 256625;(5)555375; (6)888875。6.(1)295295; (2)705705。
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