八年级数学下册 66 关注三角形的外角教案 北师大版.docx
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八年级数学下册66关注三角形的外角教案北师大版
6.6关注三角形的外角教案
教学目标:
1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程,进一步培养学生的推理能力.
2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
教学重点与难点:
重点:
三角形内角和定理的推论.
难点:
三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.
教法与学法指导:
教法:
以培养学生自主学习能力为主,重点放在“合作与探究”上,让学生多观察、多动脑、大胆猜、勤探究,向学生提供更多的实践机会和交流空间,使学生在动脑、动手、动口的过程中获得分析和解决问题的能力,获得广泛的数学活动经验,成为学习的主人.
学法:
自主探究与小组合作交流相结合.
课前准备:
多媒体课件
教学过程:
一、温故知新,自然引入
[师]上节课我们证明了三角形内角和定理,大家来回忆一下:
它的证明思路是什么?
[生]通过作辅助线,把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.
[师]很好,下面大家来共同证明:
三角形的内角和定理.
已知,如图6-56,△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
作BC的延长线CD,过点C作CE∥BA.
则:
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)
∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换)
[师]好,在证明这个定理时,先把△ABC的一边BC延长,这时在△ABC外得到∠ACD,我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.
那三角形的外角有什么性质呢?
我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
设计意图:
复习三角形内角和定理的证明方法,为本节课学生打好理论基础,进而引入新课.
二、师生互动,探究新知
[师]那什么叫三角形的外角呢?
像∠ACD那样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
外角的特征有三条:
(1)顶点在三角形的一个顶点上.如:
∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.
(2)一条边是三角形的一边.如:
∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.
(3)另一条边是三角形某条边的延长线.如:
∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.
把三角形各边向两方延长,就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知:
一个三角形有6个外角,其中有三个与另外三个相等,所以研究时,只讨论三个外角的性质.
下面大家来想一想、议一议(出示投影片§6.6A)
如图6-57,∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其他角有什么关系呢?
能证明你的结论吗?
[生甲]∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.
[生乙]∠1=∠2+∠3.因为:
∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°-∠4.而∠1=180°-∠4,因此可得:
∠1=∠2+∠3.
[生丙]因为∠1=∠2+∠3,所以由和大于任何一个加数,可得:
∠1>∠2,∠1>∠3.
[师]很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗?
[生丁]三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.
[生戊]不对,如图6-58.
图6-58
(1)中,∠ACD是△ABC的外角,从图中可知:
△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.
图6-58
(2)中的△ABC是直角三角形,∠ACD是它的一个外角,它与∠ACB相等.
由上述可知:
丁同学归纳的结论是错误的.应该说:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
[师]噢.原来是这样的,同学们同意他的意见吗?
[生]同意.
[师]是三角形的任一个外角都有此结论吗?
[生]是的.
[师]很好.由此我们得到了三角形的外角的性质(出示投影片§6.6B)
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
[师]这两个结论是由什么推导出来的呢?
[生]通过三角形的内角和定理推出来的.
[师]对.在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理,像这样,由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论(corollary).
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.
注意:
应用三角形内角和定理的推论时,一定要理解其意思.即:
“和它不相邻”的意义.
下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用(出示投影片§6.6C)
[例1]已知,如图6-59,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C,求证:
AD∥BC.
[师生共析]要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即:
需证明:
∠DAE=∠B.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE=∠B(等量代换)
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
[师]同学们想一想,还有没有其他的证明方法呢?
[生甲]这个题还可以用“内错角相等,两直线平行”来证.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C(已知)
∴∠C=∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
[生乙]还可以用“同旁内角互补,两直线平行”来证.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C(已知)
∴∠C=∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和定理)
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°(等量代换)
即:
∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
[师]同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.
现在大家来想一想:
若证明两个角不相等、或大于、或小于时,该如何证呢?
(出示投影片§6.6D)
[例2]已知,如图6-60,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E是边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证:
∠1>∠2.
[师生共析]一般证明角不等时,应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.
证明:
∵∠1是△ABC的一个外角(已知)
∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠3是△CDE的一个外角(已知)
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠1>∠2(不等式的性质)
[师]很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.
设计意图:
通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论,引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考,新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上,教师切勿越俎代庖。
三、学以致用,知识反馈
1.已知,如图6-61,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.
解:
∵∠DCA=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠DCA=100°,∠A=45°(已知)
∴∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°(等式的性质)
∵∠DCA+∠ACB=180°(1平角=180°)
∴∠ACB=180°-∠DCA(等式的性质)
∵∠DCA=100°(已知)
∴∠ACB=80°(等量代换)
2.如图,求证:
(1)∠BDC>∠A.
(2)∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样?
[分析]通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一:
(1)连接AD,并延长AD,如图,则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠1+∠2>∠3+∠4(不等式的性质)
即:
∠BDC>∠BAC.
(2)连结AD,并延长AD,如图.
则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C(等式的性质)即:
∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二:
(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E),如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)
∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠BDC>∠A(不等式的性质)
(2)延长BD交AC于E,则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC(等量代换)
设计意图:
让学生接触各种类型的几何证明题,提高逻辑推理能力,培养学生的证明思路,特别是不等关系的证明题,因为学生接触较少,因此更需要加强练习.让学生应用本节课所学的知识解决相关的问题,查找掌握不牢固的地方,进一步突出本节课的重点并加以巩固.
四、巩固提升,归纳总结
本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)?
在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?
你是否想到最优的方法?
在与同伴合作交流中,你对自己的表现满意吗?
你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人?
(学生分组进行讨论、交流,总结本节课学习的主要内容及收获)
设计意图:
学生结合本节课的学习,谈谈自己的收获和感受,并对同伴进行评价.
五、达标检测,反馈矫正
1.如图,已知AB∥CD,∠1=∠F,∠2=∠E,试猜想AF与DE的位置关系,并证明你的结论.
2.已知,如图,∠B,∠C的外角平分线交于点D,若∠A=40°,则∠D是多少度?
你能将它一般化吗?
试证明你的结论.
3.如图,在中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于D.求证:
∠ACD>∠B.
设计意图:
通过检测巩固当堂知识并准确的掌握学生的课堂学习效果,以方便课下有针对性的做好辅导.
六、布置作业,课后促学
必做题:
课本第244页习题6.7第1、2题.
选做题:
课本第244页习题6.7第3、4题.
设计意图:
通过不同层次的作业,让每一名学生都得到充分的提高,达到巩固新课知识,提高实际应用能力的目的.
板书设计:
6.6关注三角形的外角
引入
例1
例2
教学反思:
教学中,帮助学生找三角形的外角是难点,特别是当一个角是某个三角形的内角,同时又是另一个三角形的外角时,困难就更大,解决这个难点的关键是讲清定义,分析图形,变换位置,理清思路。
本节课的教学设计力图具有以下几个特色:
充分挖掘学生的潜能,展示学生的思维过程,体现“学生是学习的主人”这一主题;
从特殊到一般,从不完全归纳到合情推理,展示了一个完整的思维过程;
在整个教学中尽可能的避免教学的单调性,因此编排了一题多解的训练,为发散性思维创设情境,调动学生学习的极大热情。
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术,