哥德巴赫猜想简捷证明13.docx

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哥德巴赫猜想简捷证明13

探讨“哥德巴赫猜想”简捷证明

王若仲1谭谟玉2彭晓3徐武方4

贵州省务川自治县实验学校王若仲（王洪）

贵州省务川自治县农业局谭谟玉

贵州省务川中学彭晓

贵州省务川自治县实验学校徐武方

摘要：

我们几人利用闲遐之余，探究数学问题。

我们在一次偶然讨论中，发现“哥德巴

赫猜想”的最简捷证明。

关键词：

哥德巴赫猜想；素数；垒数

我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。

对于符号π（m）来说，它表示为不大于正整数m的全体奇素数的个数。

定义1：

对于某一偶数M（M＞4），设p1、p2、p3、…、pn均为小于偶数M的全体奇素数，对于[π（M-p1）+π（M-p2）+π（M-p3）+…+π（M-pn）]，则称为偶数M对应的垒数，简称为M垒数，记为∑（M）。

定义2：

对于均满足某一特性或某一表达式的全体整数值组成的集合A，关于集合A的子集A1，A2，A3，…，Ak；任一Ai≠A（i=1，2，3，…，k），则称集合Ai为该条件下的缺项集合。

缺具体的某一项称为缺项。

我们现在来分析证明“哥德巴赫猜想”的具体情形，若对于下列式子：

∑（2m+2）-∑（2m）（m＞2），恒有∑（2m+2）-∑（2m）≧1；则“哥德巴赫猜想”成立。

具体举例分析如下：

对于偶数18，小于18的全体奇素数有：

3，5，7，11，13，17；那么有：

π（18-3）=5，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13。

π（18-5）=5，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13。

π（18-7）=4，对应的奇素数有：

3，5，7，11。

π（18-11）=3，对应的奇素数有：

3，5，7。

π（18-13）=2，对应的奇素数有：

3，5。

π（18-17）=0，对应的奇素数有：

0个。

所以∑（18）=19。

对于偶数20，小于20的全体奇素数有：

3，5，7，11，13，17，19；那么有：

π（20-3）=6，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13，17。

π（20-5）=5，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13。

π（20-7）=5，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13。

π（20-11）=3，对应的奇素数有：

3，5，7。

π（20-13）=3，对应的奇素数有：

3，5，7。

π（20-17）=1，对应的奇素数有：

3。

π（20-19）=0，对应的奇素数有：

0个。

所以∑（20）=23。

对于偶数22，小于22的全体奇素数有：

3，5，7，11，13，17，19；那么有：

π（22-3）=7，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13，17,19。

π（22-5）=6，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13,17。

π（22-7）=5，对应的奇素数有：

3，5，7，11，13。

π（22-11）=4，对应的奇素数有：

3，5，7,11。

π（22-13）=3，对应的奇素数有：

3，5，7。

π（22-17）=2，对应的奇素数有：

3,5。

π（22-19）=1，对应的奇素数有：

3。

所以∑（22）=28。

则有∑（20）-∑（18）=4，说明偶数20能表为两个奇素数之和。

在偶数20的情形中去掉属于偶数18的全部情形，则剩下奇素数有：

3，7，13，17；且3+17=7+13=20。

则有∑（22）-∑（20）=5，说明偶数22能表为两个奇素数之和。

在偶数22的情形中去掉属于偶数20的全部情形，则剩下奇素数有：

3,5，11，17，19；且3+19=5+17=11+11=22。

对于∑（2m+2）-∑（2m）≧1，设奇素数p1、p2、p3、…、pk均为不大于偶数2m的全体奇素数，那么对于下列式子：

π（2m+2-p1）-π（2m-p1），

π（2m+2-p2）-π（2m-p2），

π（2m+2-p3）-π（2m-p3），

┇

π（2m+2-pk）-π（2m-pk）；

说明上述式子中至少有一个式子大于或等于1，不妨设π（2m+2-pi）-π（2m-pi）≧1（i=1、2、3、…、k），pk＜2m；即π（2m+2-pi）所对应的全体奇素数中去掉属于π（2m-pi）所对应的全体奇素数，必剩下一个奇素数pj，使得pi+pj=2m+2；即（2m+2-pi）+pi=2m+2。

公设1：

对于整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），关于集合A的子集B和C，B={a11，a12，a13，…，a1h}，C={a21，a22，a23，…，a2t}，a1h≤a2t，h∈N，t∈N。

若集合B∪C在集合A的条件下没有缺项，则集合{（a11±md），（a12±md），（a13±md），…，（a1h±md）}∪{（a21±md），（a22±md），（a23±md），…，（a2t±md）}在集合A的条件下仍然没有缺项。

定理1：

对于非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），关于集合A的子集B和C，B={a11，a12，a13，…，a1h}，C={（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13），…，（a1h+d+r-a1h）}，且集合B=B1∪B2∪B3∪…∪Br，Bi≠Bj（i≠j），任一集合Bj中的元素为等差数列，若存在一个数v，v=ed，e∈N，使得{a11，a12，a13，…，a1h}∪{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={a1，a2，a3，…，a1h，…，（a1h+ed）}，那么必存在一个数u，u=md，m∈N，使得{（a11-md），（a12-md），（a13-md），…，（a1h-md）}∪{（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13），…，（a1h+d+r-a1h）}={（r-md），…，a1，a2，a3，…，a1h，（a1h+d）}。

证明：

（ⅰ）、令集合B={a1，a2，a3，…，ak}，则集合C={（ak+d+r-a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），…，（ak+d+r-ah）}，故集合B∪{（ak+d）}包含集合C，那么{a1，a2，a3，…，ak}∪{（ak+d+r-a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），…，（ak+d+r-ah）}={a1，a2，a3，…，ak，（ah+d）}；又ak-d=ak-1，ak-1-d=ak-2，ak-1-d=ak-3，…，a2-d=a1，则有一个数u，u=d，使得{（a1-d），（a2-d），（a3-d），…，（ah-d）}∪{（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3），…，（ah+d+r-ah）}={（r-d），a1，a2，a3，…，ah，（ah+d）}。

（ⅱ）、令集合B={a1，a3，a5，…，a（2k-1）}，则集合C={（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}，因为（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））=a2，（a（2k-1）+d+r-a（2k-3））=a4，，（a（2k-1）+d+r-a（2k-5））=a6，…，（a（2k-1）+d+r-a3）=a（2k-2），（a（2k-1）+d+r-a1）=a（2k-1）+d。

故{a1，a3，a5，…，a（2k-1）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={a1，a2，a3，…，a（2k-2），（a（2k-1）+d）}。

则有一个数u，u=2d，使得{（a1-2d），（a3-2d），（a5-2d），…，（a（2k-1）-2d）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={（r-2d），…，a1，a2，a3，…，a（2k-2），a（2k-1），（a（2k-1）+d）}。

（ⅲ）、令集合B={a1，a2，a5，a,6，a9，a,10，…，a（4k+1），a（4k+2）}，则集合C={（a（4k+2）+2d+r-a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），…，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1）），（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））}，因为（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））=a3，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1））=a4，（a（4k+2）+2d+r-a（4k-2））=a7，（a（4k+2）+2d+r-a（4k-3））=a8，…，（a（4k+2）+2d+r-a2）=a（4k+2）+d，（a（4k+2）+2d+r-a1）=a（4k+2）+2d。

故{a1，a2，a5，a,6，a9，a,10，…，a（4k+1），a（4k+2）}∪{（a（4k+2）+2d+r-a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），…，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1）），（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））}={a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，a（4k+1），a（4k+2），（a（4k+2）+d），（a（4k+2）+2d）}。

则有一个数u，u=2d，使得{（a1-2d），（a2-2d），（a5-2d），（a6-2d），（a9-2d），（a10-2d），…，（a（4k+1）-2d），（a（4k+2）-2d）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={（r-2d），…，a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，a（4k+1），a（4k+2），（a（4k+2）+d）}。

因为对于非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），有{（ak+d+r-a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），…，（ak+d+r-ak）}={（a3-d），（a4-d），（a5-d），（a6-d），（a7-d），（a8-d），…，（a（k-1）-d），（ak-d），…，（ak+d）}，那么{（ak+ed+r-a1），（ak+ed+r-a2），（ak+ed+r-a3），…，（ak+ed+r-ak）}={（at-ed），（a（t+1）-ed），（a（t+2）-ed），（a（t+3）-ed），（a（t+4）-ed），（a（t+5）-ed），…，（a（k-1）-ed），（ak-ed），…，（ak+ed）}，t＞1，t＜k，t∈N。

一般地，对于任一非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），关于集合A的子集B，B={a11，a12，a13，…，a1h}，集合B中的元素为等差数列，等差＞d，关于集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}中的元素，则有下列三种情形之一：

（1）、（a1h+ed+r-a1h）=a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）=a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）=a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）=a1h+ed-yd。

（2）、（a1h+ed+r-a1h）＞a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）＞a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）＞a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）＞a1h+ed-yd。

（3）、（a1h+ed+r-a1h）＜a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）＜a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）＜a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）＜a1h+ed-yd。

因为集合B中的元素为等差数列，说明集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}中的元素也是等差数列。

则集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={（a1t-md），（a1（t+1）-md），（a1（t+2）-md），（a1（t+3）-md），（a1（t+4）-md），（a1（t+5）-md），…，（a1（h-1）-md），（a1h-md），…，（a1h+ed-yd）}，t＞1，t＜k，t∈N，m∈N，e∈N。

根据题设，因为假定{a11，a12，a13，…，a1h}∪{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={a1，a2，a3，…，a1h，…，（a1h+ed）}，设{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={a21，a22，a23，…，a2h}，则有{（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12，（a1h+d+r-a13），，（a1h+d+r-a1h）}={（a21-xd），（a22-xd），（a23-xd），…，（a2h-xd）}，x∈N，令x=m，由公设1可知，{（a11-md），（a12-md），（a13md），…，（a1h-md）}∪{（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13），…，（a1h+d+r-a1h）}={（r-md），…，a1，a2，a3，…，a1h，（a1h+d）}。

所以对于与上面（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）同类型的情形，同理可得相同的效果。

综上所述，定理1成立。

定理2：

对于非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），关于集合A的子集B和C，B={a11，a12，a13，…，a1h}，C={（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13），…，（a1h+d+r-a1h）}，且集合B=B1∪B2∪B3∪…∪Br，Bi≠Bj（i≠j），任一集合Bj中的元素为等差数列，若存在一个数u，u=md，m∈N，使得{（a11-md），（a12-md），（a13-md），…，（a1h-md）}∪{（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13），…，（a1h+d+r-a1h）}={（r-md），…，a1，a2，a3，…，a1h，（a1h+d）}。

那么必存在一个数v，v=ed，e∈N，使得{a11，a12，a13，…，a1h}∪{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={a1，a2，a3，…，a1h，…，（a1h+ed）}。

证明：

（ⅰ）、令集合B={a1，a2，a3，…，ak}，则集合C={（ak+d+r-a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），…，（ak+d+r-ah）}，因为有一个数u，u=d，使得{（a1-d），（a2-d），（a3-d），…，（ah-d）}∪{（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3），…，（ah+d+r-ah）}={（r-d），a1，a2，a3，…，ah，（ah+d）}。

又因为ak-d=ak-1，ak-1-d=ak-2，ak-1-d=ak-3，…，a2-d=a1，故有一个数u，u=d，使得{（a1-d），（a2-d），（a3-d），…，（ah-d）}∪{（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3），…，（ah+d+r-ah）}={（r-d），a1，a2，a3，…，ah，（ah+d）}。

（ⅱ）、令集合B={a1，a3，a5，…，a（2k-1）}，则集合C={（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}，因为有一个数u，u=2d，使得{（a1-2d），（a3-2d），（a5-2d），…，（a（2k-1）-2d）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={（r-2d），…，a1，a2，a3，…，a（2k-2），a（2k-1），（a（2k-1）+d）}。

又因为（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））=a2，（a（2k-1）+d+r-a（2k-3））=a4，（a（2k-1）+d+r-a（2k-5））=a6，…，（a（2k-1）+d+r-a3）=a（2k-2），（a（2k-1）+d+r-a1）=a（2k-1）+d。

故{a1，a3，a5，…，a（2k-1）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={a1，a2，a3，…，a（2k-2），（a（2k-1）+d）}。

（ⅲ）、令集合B={a1，a2，a5，a,6，a9，a,10，…，a（4k+1），a（4k+2）}，则集合C={（a（4k+2）+2d+r-a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），…，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1）），（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））}，因为有一个数u，u=2d，使得{（a1-2d），（a2-2d），（a5-2d），（a6-2d），（a9-2d），（a10-2d），…，（a（4k+1）-2d），（a（4k+2）-2d）}∪{（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），…，（a（2k-1）+d+r-a（2k-1））}={（r-2d），…，a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，a（4k+1），a（4k+2），（a（4k+2）+d）}。

又因为（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））=a3，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1））=a4，（a（4k+2）+2d+r-a（4k-2））=a7，（a（4k+2）+2d+r-a（4k-3））=a8，…，（a（4k+2）+2d+r-a2）=a（4k+2）+d，（a（4k+2）+2d+r-a1）=a（4k+2）+2d。

故{a1，a2，a5，a,6，a9，a,10，…，a（4k+1），a（4k+2）}∪{（a（4k+2）+2d+r-a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），…，（a（4k+2）+2d+r-a（4k+1）），（a（4k+2）+2d+r-a（4k+2））}={a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，a（4k+1），a（4k+2），（a（4k+2）+d），（a（4k+2）+2d）}。

因为对于非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），有{（ak+d+r-a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），…，（ak+d+r-ak）}={（a3-d），（a4-d），（a5-d），（a6-d），（a7-d），（a8-d），…，（a（k-1）-d），（ak-d），…，（ak+d）}，那么{（ak+ed+r-a1），（ak+ed+r-a2），（ak+ed+r-a3），…，（ak+ed+r-ak）}={（at-ed），（a（t+1）-ed），（a（t+2）-ed），（a（t+3）-ed），（a（t+4）-ed），（a（t+5）-ed），…，（a（k-1）-ed），（ak-ed），…，（ak+ed）}，t＞1，t＜k，t∈N。

一般地，对于任一非负整数集合A={a1，a2，a3，…，ak，…}，任一ai∈N（i=1，2，3，…，k，…）；a1，a2，a3，…，ak，…为等差数列，等差为d，a1=r（r≤d），关于集合A的子集B，B={a11，a12，a13，…，a1h}，集合B中的元素为等差数列，等差＞d，关于集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}中的元素，则有下列三种情形之一：

（1）、（a1h+ed+r-a1h）=a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）=a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）=a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）=a1h+ed-yd。

（2）、（a1h+ed+r-a1h）＞a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）＞a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）＞a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）＞a1h+ed-yd。

（3）、（a1h+ed+r-a1h）＜a1j，（a1h+ed+r-a1h-1）＜a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h-2）＜a1（j+2），…，（a1h+ed+r-a11）＜a1h+ed-yd。

因为集合B中的元素为等差数列，说明集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}中的元素也是等差数列。

则集合{（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13），…，（a1h+ed+r-a1h）}={（a1t-md），（a1（t+1）-md），（a1（t+2）-md），（a1（t+3）-md），（a1（t+4）-md），（a1（t+5）-md），…，（a1（h-1）-md），（a1h-md），…，（a1h+ed-yd）}，t＞1，t＜k，t∈N，m∈N，e∈N。

根据题设，因为假定{（a11-md），（a12-md），（a13-md），…，（a1h-md）}∪