高三第一轮复习复合函数图像.docx
《高三第一轮复习复合函数图像.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三第一轮复习复合函数图像.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高三第一轮复习复合函数图像
函数
【提纲挈领】
主干知识归纳
1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），
x∈[0，＋∞）表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法作正弦、余弦函数的简图
（1）图象在上的五个关键点坐标为，，，，.
（2）图象在上的五个关键点坐标为，，，，.
方法规律总结
1.五点法作图时，要注意五个点的选取，一般是令取，，，，，再算出相应的值.然后列表描点作图
2.确定的步骤和方法
（1）求，确定函数的最大值和最小值，则，；
（2）求，确定函数的周期，则可得；
（3）求，常用的方法有：
①代入法：
把图像上的一个已知点代入（此时已知）或代入图像与直线的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．
②五点法：
确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”（即图像上升时与轴的交点）时；“第二点”（即图像的“峰点”）时；“第三点”（即图像下降时与x轴的交点）时；“第四点”（即图像的“谷点”）时；“第五点”时.
3．函数的图象与轴的每一个交点均为其对称中心，经过图象上坐标为且与轴垂直的直线均为其图象上的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期.
【指点迷津】
【类型一】函数的图象
【例1】：
已知函数.
（1）求出它的振幅、周期及初相；
（2）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图.
【解析】：
由原函数得f（x）＝3sin，x∈R.，
（1）所以振幅，周期，初相.
（2）列表取值：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
f（x）
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
【例2】：
已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【解析】：
由函数的图像可知，且函数的周期大于，因此.易知选C.
【答案】C
【例3】：
设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则.
【解析】原方程可变为，如图作出函数的图象，再作直线，从图象可知函数在上递增，在上递减，在上递增，只有当时，直线与函数的图象有三个交点，，，，所以.
【答案】
【类型二】求函数的解析式
【例1】：
函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A．2，－ B．2，－C．4，－D．4，
【解析】由图知最小正周期T＝2＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标代入f（x）＝2sin（2x＋φ），得sin＝1，φ＝－，选A.
答案：
A
【例2】：
已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2
【解析】由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－π，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
答案：
D
【例3】：
已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【解析】，所以.又，所以.显然，
所以.
对A，f（x）的图象的对称轴方程为，故不关于直线对称，错；
对B，由得，所以f（x）的图象的对称中心为，故不关于点对称，错；
对（C），函数，将它的图象向左平移个单位得，故错.
对（D），由得，结合函数的图象可知，时，方程在上有两个不相等的实数根，故正确.
【答案】D
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
一、选择题
1.函数f（x）＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2C．2π，1D．2π，2
【解析】由f（x）＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1.
答案：
A
2．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图像如图所示，则f（0）的值是________．
【解析】由图可知：
A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图像经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f（x）＝sin，所以f（0）＝sin＝.
答案：
3．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2
【解析】由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－π，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
答案：
D
4．若f（x）＝sin（x＋），x∈[0,2π]，关于x的方程f（x）＝m有两个不相等实数根x1，x2，则x1＋x2等于（）
A.或B.C.D．不确定
【解析】对称轴x＝＋kπ∈[0,2π]，得对称轴x＝或x＝，
所以x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝，故选A.
答案：
A
5．已知函数，，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（）．
A．在区间上是增函数B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
【解析】由已知，由得，所以，又因为，所以，故.
由得，所以单调递增区间为；
由得，所以单调递减区间为.结合选项，选项A
答案：
A
二、填空题
6．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A、ω、φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.
【解析】由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像可知：
＝－＝，
则T＝π，∵T＝＝π，∴ω＝3.
答案：
3
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x＝1,2,3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【解析】依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：
20.5
8．函数y＝sinωx（ω>0）的部分图像如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为
【解析】由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，∴|AB|＝ymax－ymin＝1－（－1）＝2，
即|AB|＝4，而T＝|AB|＝＝4，解得ω＝..
答案：
三、解答题
9．已知函数f（x）＝sin＋1.
（1）求它的振幅、最小正周期、初相；
（2）画出函数y＝f（x）在上的图像．
【解析】
（1）振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.
（2）图像如图所示．
10.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）当x∈时，求f（x）的取值范围．
【解析】
（1）由题中图像得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入得sin＝1，而－<φ<，所以φ＝，因此函数f（x）＝sin.
（2）由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，
所以－1≤sin≤，所以f（x）的取值范围是.
【二级目标】能力提升题组
一、选择题
1．已知函数的部分图像如图所示，A、B、C分别是函数图像与轴交点、图像的最高点、图像的最低点．若，且．则的解析式为（）
A．B．
C．D．
【解析】由图可设，函数的周期为T，则，，
，，，整理得，所以，解得，故有，因为，所以，又，解得，
所以.
答案：
A
2．如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点满足，，为的中点，，则的值为（）
A．12B．14C．8D．16
【解析】由图可设、，其中，则，所以，解得，由此得，即，故，由得，
所以，从而，得.
答案：
B
二、填空题
3．函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．则和的值分别是
【解析】将代入函数得：
，因为，所以，
又因为，，，故.
答案：
.
三、解答题
4.已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的最小正周期为2，且当x＝时，f（x）的最大值为2.
（1）求f（x）的解析式．
（2）在闭区间上是否存在f（x）的对称轴？
如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．
【解析】
（1）由T＝2知＝2得ω＝π.
又因为当x＝时f（x）max＝2，知A＝2.
且π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），
故φ＝2kπ＋（k∈Z）．
∴f（x）＝2sin
＝2sin，
故f（x）＝2sin.
（2）存在．令πx＋＝kπ＋（k∈Z），
得x＝k＋（k∈Z）．
由≤k＋≤.
得≤k≤，又k∈Z，知k＝5.
故在上存在f（x）的对称轴，
其方程为x＝.
【高考链接】
1.（2010年高考新课标Ⅰ卷）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
【解析】因为P0（，－），∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin（t－），
∴d＝2|sin（t－）|.
当t＝0时，d＝，排除A、D；
当t＝时，d＝0，排除B.
答案：
C
2.（2012年四川卷）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
（1）求的值及函数的值域;
（2）若,且,求的值.
【解析】
（1）由已知可得:
又由于正三角形ABC的高为,则BC=4
所以,函数f（x）的周期，即，得，
所以,函数f（x）的值域为.
（2）因为，由
（1）有
，即，
由，得，
所以,，
故
.
升级会员 