第4讲 数列求和2.docx

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第4讲数列求和2

第四讲数列特征与数列求和问题

（二）

【主题策划】

观察下面数列的规律，并按规律填空：

（1）1、3、9、27、81、（）、（）。

（2）1、、、、、（）、（）、。

（3）1、4、9、16、25、（）、（）、64。

（4）1、1、2、3、5、（）、（）、21。

（5）1、2、4、7、11（）、（）、29。

前两串数列有这样的规律：

每一项除以它前面一项的商都相等，在第一个数列中，这个商是3，在第二串数列中，这个商是，具有这个特点的数叫做等比数列，其后一项与前一项的商叫做公比。

第三串数列除了相邻两数的差是一串奇数列“3、5、7、9、11、13、15”外，还有一个规律：

它的每一个数都是这个数所在项数的平方，如1=12，4=22，9=32，等，我们把这串数列叫做自然数的平方数列。

第四串数列的规律是：

从第三项开始，后面每一个数总是它前面两个数的和，这个数列叫做“非波那切数列”或“兔子数列”这个数列有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以再去研究。

第五串数列的规律是：

后面一项与前面一项的差是逐渐变大的，这些差又组成了一个等差数列。

这些数列按规律填空如下：

（1）1、3、9、27、81、（243）、（729）。

（2）1、、、、、（）、（）、。

（3）1、4、9、16、25、（36）、（49）、64。

（4）1、1、2、3、5、（8）、（13）、21。

（5）1、2、4、7、11（16）、（22）、29。

【五环旗下】

例1、有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的2倍，一共点了381盏灯。

求顶层点了几盏灯？

分析与解：

设第七层点了x盏灯，根据题意列方程为：

x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x=381

（1＋2＋4＋8＋16＋32＋64）x=381

1＋2＋4＋8＋16＋32＋64是一个等比数列，计算它的和有很多种方法，今天我们来学习用“构造法”求等比数列的和。

设1+2+4+8+16+32+64=A，那么2A=2+4+8+16+32+64+128，2A－A应为：

127x=381

x=3

答：

顶层点了3盏灯。

例2、计算2+6+18+54+162+486

分析与解：

这是一个公比是3的等比数列，我们设2+6+18+54+162+486=A，那么3A=2×3+6×3+18×3+54×3+162×3+486×3=6+18+54+162+486+1458，3A－A应为：

所以A=1456÷2=728

即2+6+18+54+162+486=728。

我们还可以从2+6+18+54+162+486这几个加数中，提出公因数2，原式变为2（1+3+9+27+81+243），括号内也是一个公比是3的等比数列，同学们可以求出这个等比数列的和，再乘以2，得到原式的结果。

注：

例1中1+2+4+8+16+32+64的公比是2，我们构造了一个2A；例2中2+6+28+54+162+486的公比是3，我们在求和时构造了一个3A，如果等比数列的公比是n，我们在求和时就要构造一个nA。

例3、计算：

12＋22＋32＋42=（）

分析与解：

12=1×1=1

22=2×2=2＋2

32=3×3=3＋3＋3

42=4×4=4＋4＋4＋4

12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4

根据平方数的意义、乘法的意义我们可以把原式改写为：

我们可以把1+2+2+3+3+3+4+4+4+4这些数写在一个三角形内，计算12＋22＋32＋42就是计算一个三角形内所有数的和。

为了更好的进行计算，我们用“扩”的思想，增加两个同样的三角形（如图1）。

把第二张卡片逆时针旋转60度，第三张卡片逆时针旋转120度，把旋转后的三张卡片重叠在一起，三张卡片相对应位置的三个数相加，结果都等于2×4＋1=9（如图2）。

图2中共有1+2+3+4==10个数，那么图2中所有数的和是9×，图1中每张三角形内数的和应该为：

9×÷3=×===30。

如果三角形卡片上的数是12+22+32+42+……+n2，用这道题的思考方法可以得到12+22+32+42+……+n2=

【竞技搏击】

例4、在数列1、2、3、4、3、4、5、6、5、6、7、8、7、8、9、10、……中，第1994个数是多少？

分析与解：

这列数如果直接观察，相邻两个数的和或差没有固定的规律，但如果把它们适当分组，每组内几个数就是有规律排列的。

按照四个数为一组，我们可以得到有规律的数组。

在数组中每一组的第一个数都以奇数打头，可以表示为2n－1，这里n是这个奇数所在的组数。

1994÷4=498……2，第1994个数是第499组的第2个数。

第499组第1个数是2×499－1=997，第二个数是997＋1=998。

所以第1994个数是998。

例5、从1998开始的100个连续自然数中，前50个数的和比后50个数的和小多少？

分析与解：

解法一、把从1998开始的100个连续自然数分成两部分，并计算前50个数的和，再计算后50个数的和，然后求两个和的差。

前50个数的和：

1998+1999+2000+……+2047=101125

后50个数的和：

2048+2049+2050+……+2097=103625

前50个数的和比后50个数的和小103625－101125=2500。

解法二、从1998开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和小多少，与从1开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和少的值相等。

前50个数与后50个数个数相等，所以我们把前50个数与后50个数按照一一对应进行排列。

上、下两列数，相对应的两个数的差是50，这样共出现50个50，所以从1998开始的100个连续自然数中前50个数的和比后50个数的和小50×50=2500。

例6、有一列由三个数组成的数组，它们依次是（1、5、10），（2、10、20），（3、15、30），……，求第99个数组内三个数的和是多少？

分析与解：

解法一、这串数组的第一个数、第二个数、第三个数都是有规律出现的：

第一个数是从1开始的连续自然数，且这个数与这一组的组数相同，第二个数都是5的倍数，分别是5的1倍、2倍、3倍等等，且这个倍数也与数组的组数相同。

第三个数都是第二个数的2倍。

99＋99×5＋99×5×2=99＋495＋990=1584

解法二、第一组数的和是16，第二组数的和是32，第三组三个数的和是48，它们分别是16的1倍、2倍、3倍等等，且这个倍数与数组的组数相同，所以第99组内三个数的和是：

16×99=1584。

【超越极限】

例7、计算下面数阵中所有数的和，并简要写出解答过程。

1、2、3、4、5、6

2、3、4、5、6、7

3、4、5、6、7、8

4、5、6、7、8、9

5、6、7、8、9、10

6、7、8、9、10、11

分析与解：

这道题可以用“以静变动”思路来解答。

在解答问题时，我们可以让这个静止的数阵“动”起来，沿着数阵左下角至右上角的对角线对折。

（如图1）对角线上的数都是6，对折后重叠的两数

1（11）2（10）3（9）4（8）5（7）66、6、6、6、6、6

2（10）3（9）4（8）5（7）66、6、6、6、6、6

3（9）4（8）5（7）66、6、6、6、6、6

4（8）5（7）66、6、6、6、6、6

5（7）66、6、6、6、6、6

66、6、6、6、6、6

（1）

（2）

之和均是12，12等于6加6，即重叠在一起的两个数通过“移多补少”均可以变成6，所以原方阵可以转化图

（2），图

（2）中所有数的和为6×6×6=216，原方阵中所有数的和也一定是216。

这道题还有很多种解法，有兴趣的同学，可以开动脑筋继续研究。

例8、如上图，图（１）是一个三角形球垛，已知这个三角形球垛是由图（２）中的六层三角形球阵堆积而成，并在球垛顶层又放上一个球。

请你算一算：

图（１）中共有多少个小球？

　　　　　图（１）　　　　　　　图（２）　　　　　

（第八届“华罗庚金杯数学邀请赛”初赛试题）

分析与解：

解法一：

分拆球垛。

把图（１）中的球垛分拆成图（２），分别计算出每一层球阵中小球的个数，把这六层球数相加，再加上１，就是图（１）中小球个数。

第一层有球　１+２+３+４+５＝１５（个）

第二层有球　１+２+３+４+５+６＝２１（个）

第三层有球　１+２+３+４+５+６+７＝２８（个）

第四层有球　１+２+３+４+５+６+７+８＝３６（个）

第五层有球　１+２+３+４+５+６+７+８+９＝４５（个）

第六层有球　１+２+３+４+５+６+７+８+９+１０＝５５（个）

１５+２１+２８+３６+４５+５５+１＝２０１（个）

解法二：

把图（１）中的三角形球垛补上三层，使它成为一个第一层１个球，第二层３个球，第三层６个球，第四层１０个球，第五层１５个球，……第十层５５个球的三角形球垛。

算出总球数减去补上的球数，就是原球垛中小球的个数。

１+３+６+１０+１５+２１+２８+３６+４５+５５

＝（１+３）+（６+１０）+（１５+２１）+（２８+３６）+

（４５+５５）

＝４+１６+３６+６４+１００

＝４×（１+４+９+１６+２５）

＝４×（１２+２２+３２+４２+５２）

注：

计算１２+２２+３２+４２+５２我们可以利用自然数平方数列的求和公式

１２+２２+３２+４２+……ｎ２＝１/６×ｎ×（ｎ+１）×（２ｎ+１）

４×（１２+２２+３２+４２+５２）

＝４×１/６×５×６×１１

＝２２０（个）

补完的球垛共有２２０个球，减去补上的球，就是原球垛中球的个数。

２２０-（３+６+１０）＝２０１（个）

解法三：

补齐三角形球垛，利用古人的研究成果直接计算。

我国古代南宋时期伟大的数学家杨辉在《详解九章算法》中就早已研究过三角形数（１、３、６、１０、１５、２１、……ｎ×（ｎ+１）/２称为三角形数）问题。

并且研究出三角形数的求和公式：

１+３+６+１０+……n×（n+１）/２＝１/６×n×（n+１）×（n+2）

我们可以利用三角形数求和公式求出：

１+３+６+１０+１５+２１+２８+３６+４５+５５

＝１/６×１０×１１×１２

＝２２０（个）

２２０-（３+６+１０）＝２０１（个）

所以图（１）的球垛中共有球２０１个。

练习题

1、计算下面各题。

（1）3＋6＋12＋……＋1536

（2）1＋5＋25＋……＋15625

（3）12＋22＋32＋……＋292

（4）1×2＋2×3＋3×4＋……＋29×30

2、12345654321×（1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1）的积是哪个数的平方？

3、有12个数排成一排，每个数都是它前面一个数的一半，第10个数是4，这12个数的和是多少？

4、右面的图是由方砖堆起来的“宝塔”，仔细观察后请你回答：

（1）从上往下数，第五层包含（）块砖。

（2）若有10层，共包含（）块砖。

（3）若有20层，共包含（）块砖。

5、按一定规律排列的一串数：

、……。

这些数的总和是多少？

6、有这样一列数：

123，654，789，121110，131415，181716，192021……求在这列数中出现的第一个九位数是多少？

它在这个数列的什么位置？

7、黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：

1、3、5、7、9、11、13、……，擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是1998。

那么，擦去的一个奇数是（）。

8、有数组（1，