常州市届高三教学期末调研测试数学试题.docx
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常州市届高三教学期末调研测试数学试题
常州市2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题
2013.1
参考公式:
样本数据,,…,的方差,其中=.2013-2-3传
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设集合,,若,则实数的值为▲.
2.已知复数(为虚数单位),计算:
▲.
3.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率的值为▲.
4.根据右图所示的算法,可知输出的结果为▲.
5.已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为▲.
6.函数的最小正周期为▲.
7.函数的值域为▲.
8.已知点和点在曲线C:
为常数上,若曲线在点和点处的切线互相平行,则▲.
9.已知向量,满足,,则向量,的夹角的大小为▲.
10.给出下列命题:
(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,所有真命题的序号为▲.
11.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx有两个不同的实根,则实数k的取值范围是▲.
12.已知数列满足,,则=▲.
13.在平面直角坐标系中,圆:
分别交轴正半轴及轴负半轴于,两点,点为圆上任意一点,则的最大值为▲.
14.已知实数同时满足,,,则的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知均为锐角,且,.
(1)求的值;
(2)求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,,,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.
(1)求证:
MN∥平面PCD;
(2)求证:
四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:
平面PCB.
17.(本小题满分14分)
第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD,,.a,b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区(点E,F分别在线段AB,AD上),且该直角三角形AEF的周长为(),如图.设,△的面积为.
(1)求关于的函数关系式;
(2)试确定点E的位置,使得直角三角形地
块的面积最大,并求出的最大值.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆E:
的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)已知点为线段的中点,M为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知数列是等差数列,,数列是等比数列,.
(1)若.求数列和的通项公式;
(2)若是正整数且成等比数列,求的最大值.
20.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)若a=1,求函数在区间的最大值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若恒成立,求的取值范围.
2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅱ(附加题)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D4个小题供选做,每位考生在4个选做题中选答2题.若考生选做了3题或4题,则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分,共40分.考试时间30分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
2013.1
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
如图,是⊙的直径,是⊙上的两点,⊥,
过点作⊙的切线FD交的延长线于点.连结交
于点.
求证:
.
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为.求矩阵的逆矩阵.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,判断两曲线的位置关系.
D.选修4—5:
不等式选讲
设,求证:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
袋中装有大小相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取1个球,取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止.用X表示取球终止时取球的总次数.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求随机变量X的概率分布及数学期望.
23.(本小题满分10分)
空间内有个平面,设这个平面最多将空间分成个部分.
(1)求;
(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.02.3.4.5.6.2
7.8.9.10.、、
11.12.13.14.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解:
(1)∵,从而.
又∵,∴.…………………………4分
∴.………………………………6分
(2)由
(1)可得,.
∵为锐角,,∴.……………………………………10分
∴…………12分
.…………………………14分
16.证明:
(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.…………………2分
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又CD平面PCD,MN平面PCD,所以MN∥平面PCD.……4分
(2)因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,
又因为PD⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以CD⊥PD,又,所以CD⊥平面PAD.……………6分
因为平面PAD,所以CD⊥MD,
所以四边形MNCD是直角梯形.……………………………………8分
(3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而∠PAD=.…………………………9分
在△中,,,,.
在直角梯形MNCD中,,,,,
从而,所以DN⊥CN.…………………………11分
在△中,PD=DB=,N是PB的中点,则DN⊥PB.……13分
又因为,所以平面PCB.…………………14分
17.解:
(1)设,则,整理,得.………3分
,.…………………………………4分
(2)
当时,,在递增,故当时,;
当时,在上,,递增,在上,,递减,故当时,.
18.解:
(1),.,化简得,
故椭圆E的离心率为.
(2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,,从而,,左焦点,椭圆E的方程为.设,,,,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、、共线,,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,.
19.解:
(1)由题得,所以,从而等差数列的公差,所以,从而,所以.……………………3分
(2)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则,,,.
因为成等比数列,所以.
设,,,
则,整理得,.
解得(舍去负根).
,要使得最大,即需要d最大,即及取最大值.,,
当且仅当且时,及取最大值.
从而最大的,
所以,最大的………16分
20.解:
(1)若a=1,则.
当时,,,
所以在上单调增,.……………2分
(2)由于,.
(ⅰ)当时,则,,
令,得(负根舍去),
且当时,;当时,,
所以在上单调减,在上单调增.……4分
(ⅱ)当时,
①当时,,
令,得(舍),
若,即,则,所以在上单调增;
若,即,则当时,;当时,,所以在区间上是单调减,在上单调增.………………………………………………………6分
②当时,,
令,得,记,
若,即,则,故在上单调减;
若,即,
则由得,且,
当时,;当时,;当时,,所以在区间上是单调减,在上单调增;在上单调减.…………………………………………8分
综上所述,当时,单调递减区间是,单调递增区间
是;
当时,单调递减区间是,单调的递增区间是
;
当时,单调递减区间是(0,)和,
单调的递增区间是和.………………10分
(3)函数的定义域为.
由,得.*
(ⅰ)当时,,,不等式*恒成立,所以;
(ⅱ)当时,,,所以;………………12分
(ⅲ)当时,不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立.
令,则.
因为,所以,从而.
因为恒成立等价于,所以.
令,则.
再令,则在上恒成立,在上无最大值.
综上所述,满足条件的的取值范围是.…………………………16分
2013届高三教学调研测试
(二)
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.
A.选修4—1:
几何证明选讲
证明:
连结OF.
因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.
所以∠OFC+∠CFD=90°.
因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.
因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.
所以DE2=DB·DA.
B.选修4—2:
矩阵与变换
解:
由矩阵属于特征值6的一个特征向量为,可得=6,
即;
由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得,=,
即,
解得即=,逆矩阵是.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
解:
将曲线化为直角坐标方程得:
,
即,
圆心到直线的距离,
∴曲线相离.
D.选修4—5:
不等式选讲
证明:
由
=
=.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22.解:
(1)设袋中原有个白球,则从9个球中任取2个球都是白球的概率为,
由题意知=,即,化简得.
解得或(舍去)故袋中原有白球的个数为6.
(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4.
;;
;.
所以取球次数X的概率分布列为:
X
1
2
3
4
所求数学期望为E(X)=1+2+3+4=
23.解:
(1);
(2).证明如下:
当时显