最新梳理北师大版高中数学必修二学案第一章 1 简单几何体.docx

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最新梳理北师大版高中数学必修二学案第一章1简单几何体

【最新梳理】北师大版高中数学必修二学案：

第一章1　简单几何体

知识点一　两平面平行和直线与平面垂直的概念

思考1　如何定义两平面平行？

思考2　如何判定直线与平面垂直？

梳理　

（1）________________的两个平面平行．

（2）如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．

知识点二　旋转体与多面体

旋转体

一条__________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作____________；封闭的旋转面围成的几何体叫作______________

多面体

把若干个________________围成的几何体叫作________________

知识点三　常见的旋转体及概念

思考1　以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？

思考2　能否由圆锥得到圆台？

梳理　

名称

图形及表示

定义

相关概念

球

记作：

球O

球面：

以_________

_______所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的________叫作球面．球体：

球面所围成的几何体叫作球体，简称球

球心：

半圆的________．球的半径：

连接球心和球面上任意一点的线段．

球的直径：

连接__________上两点并且过______的线段

圆柱

记作：

圆柱OO′

以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆柱

高：

在__________上这条边的长度．

底面：

垂直于____________的边旋转而成的________．

侧面：

__________________的边旋转而成的曲面．

母线：

__________________的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线

圆锥

记作：

圆锥OO′

以直角三角形的__________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆锥

圆台

记作：

圆台OO′

以直角梯形__________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆台

特别提醒：

（1）经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．

（2）圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．

知识点四　常见的多面体及相关概念

思考　观察下列多面体，试指明其类别．

梳理　

（1）棱柱

①定义要点：

（ⅰ）两个面________________；

（ⅱ）其余各面都是________________；

（ⅲ）每相邻两个四边形的公共边都________________．

②相关概念：

底面：

两个________________的面．

侧面：

除底面外的其余各面．

侧棱：

相邻______________的公共边．

顶点：

底面多边形与________的公共顶点．

③记法：

如三棱柱ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱柱：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….

（ⅱ）直棱柱：

侧棱________于底面的棱柱．

（ⅲ）正棱柱：

底面是________________的直棱柱．

（2）棱锥

①定义要点：

（ⅰ）有一个面是________________；

（ⅱ）其余各面是三角形；

（ⅲ）这些三角形有一个________________．

②相关概念：

底面：

除去棱锥的侧面余下的那个________________．

侧面：

除底面外的其余__________面．

侧棱：

相邻两个________的公共边．

顶点：

________的公共顶点．

③记法：

如三棱锥S－ABC.

④分类及特殊棱锥：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，

（ⅱ）正棱锥：

底面是______________，且各侧面________的棱锥．

（3）棱台

①定义要点：

用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．

②相关概念：

上底面：

原棱锥的________．

下底面：

原________的底面．

侧棱：

相邻的________的公共边．

顶点：

________与底面的公共顶点．

③记法：

如三棱台ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱台：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，

（ⅱ）正棱台：

由________________截得的棱台．

类型一　旋转体的概念

例1　下列命题正确的是________．（填序号）

①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

反思与感悟　

（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1　下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．

其中正确的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

类型二　多面体及其简单应用

例2　

（1）下列关于多面体的说法正确的个数为________．

①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；

④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；

⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．

（2）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.

①这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？

如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．（提示：

可以证明BC綊MN）

引申探究

若用一个平面去截本例

（2）中的四棱柱，能截出三棱锥吗？

反思与感悟　

（1）棱柱的识别方法

①两个面互相平行．

②其余各面都是四边形．

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

（2）棱锥的识别方法

①有一个面是多边形．

②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．

④对几类特殊棱锥的认识

（ⅰ）三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．

（ⅱ）各棱都相等的三棱锥称为正四面体．

（ⅲ）正棱锥有以下性质：

侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．

（3）棱台的识别方法

①上、下底面互相平行．

②各侧棱延长交于一点．

跟踪训练2　下列说法正确的是（　　）

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱

C．棱锥的侧面可以是四边形

D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

1．下列几何体中棱柱有（　　）

A．5个B．4个

C．3个D．2个

2．关于下列几何体，说法正确的是（　　）

A．图①是圆柱

B．图②和图③是圆锥

C．图④和图⑤是圆台

D．图⑤是圆台

3．下面有关棱台说法中，正确的是（　　）

A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台

B．棱台的所有侧面都是梯形

C．棱台的侧棱长必相等

D．棱台的上下底面可能不是相似图形

4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是（　　）

A．圆台B．圆锥

C．圆柱D．球

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点

（1）棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有两个平面（底面）互相平行；

②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行．

（2）棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有一个面（底面）是多边形；

②其余各面（侧面）是有一个公共顶点的三角形．

（3）用一水平平面截棱锥可得到棱台．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　两平面无公共点．

思考2　直线和平面内的任何一条直线都垂直．

梳理　

（1）无公共点　

（2）任何一条直线

知识点二

平面曲线　旋转面　旋转体　平面多边形　多面体

知识点三

思考1　不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．

思考2　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．

梳理　半圆的直径　曲面　圆心　球面

球心　矩形的一边　曲面　一条直角边

曲面　垂直于底边的腰　曲面　旋转轴

旋转轴　圆面　不垂直于旋转轴　不垂直于旋转轴

知识点四

思考　

（1）五棱柱；

（2）四棱锥；（3）三棱台．

梳理　

（1）①（ⅰ）互相平行　（ⅱ）四边形

（ⅲ）互相平行　②互相平行　两个侧面

侧面　④（ⅰ）三棱柱　四棱柱　五棱柱

（ⅱ）垂直　（ⅲ）正多边形　

（2）①（ⅰ）多边形　（ⅲ）公共顶点　②多边形　三角形　侧面　侧面　④（ⅰ）三棱锥　四棱锥　五棱锥　（ⅱ）正多边形　全等　（3）①平行于棱锥底面　底面　截面　②截面　棱锥　侧面　侧面　④（ⅰ）三棱台

四棱台　五棱台　（ⅱ）正棱锥

题型探究

例1　④⑤⑥

解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．

跟踪训练1　C

例2　3

解析　①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，

能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；

②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；

根据棱锥的概念知，③正确；

根据棱台的概念知，④正确；

棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．

正确的个数为3.

（2）解　①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.

引申探究

解　如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．

跟踪训练2　B　[A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]

当堂训练

1．D　[由棱柱的定义知，①③为棱柱．]

2．D　[由旋转体的结构特征知