对数函数教案.docx

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对数函数教案

§2.8.1对数函数

教学目标:

1\理解对数函数的概念；2、掌握对数函数的图象和性质；3、培养学生数形结合的意识

教学重点：

对数函数的图象和性质

教学难点：

对数函数与指数函数的关系

教学方法：

学导式

教学过程：

（I）复习回顾

我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数=表示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数。

根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是

如果用表示自变量，表示函数，这个函数就是

由反函数概念可知，与指数函数互为反函数

这一节，我们来研究指数函数的反函数——对数函数

（Ⅱ）讲授新课

1．对数函数定义：

一般地，当且时，函数叫做对数函数

这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域。

即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。

因此，我们只要画出和的图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。

2、对数函数的图象和性质

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当时，

（4）在（0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

说明：

图中虚线表示的曲线是指数函数的图象

接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用。

3、例题讲解：

例1．求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；（3）

分析：

此题主要利用对数函数的定义域（0，+∞）求解。

解：

（1）由>0得。

所以函数的定义域是；

（2）由得。

所以函数的定义域是；

（3）由9-得-3。

所以函数的定义域是

评述：

此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习。

（Ⅲ）课堂练习：

课本P89练习1，2

要求：

学生板演练习，教师讲评

（Ⅳ）课时小结：

通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题。

（V）课后作业

一、课本P89习题2.81，2；

二、1．预习内容：

P88例题，例3

2、预习提纲：

（1）同底数的两对数如何比较大小？

（2）不同底数的两对数如何比较大小？

板书设计

§2.8.1

3．例题：

（1）4.学生练习

1.对数2.图象

（2）

（1）

定义性质

（3）

（2）

（4）

§2.8.2对数函数性质应用

教学目标：

1、掌握对数函数单调性；2、掌握比较同底数对数大小的方法；3、培养学生数学应用意识

教学重点：

利用对数函数单调性比较对数大小

教学难点：

不同底数的对数比较大小

教学方法：

自学辅导法

教学过程：

（I）复习回顾

上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：

当时，在（0，+∞）上是增函数；当时,在（0，+∞）是减函数。

这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。

（Ⅱ）讲授新课

1、例题讲解：

例2：

比较下列各组数中两个值的大小：

（1）；

（2）；（3）

分析：

此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。

解：

（1）考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是

（2）考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是

通过例2

（1）、

（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

（1）确定所要考查的对数函数；

（2）根据对数底数判断对数函数增减性；

（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小

解：

（3）当时，在（0，+∞）上是增函数，于是

当时，在（0，+∞）上是减函数，于是

评述：

对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。

而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。

例3：

比较下列各组中两个值的大小：

（1）；

（2）

分析：

由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。

解：

（1）

（2）；；

评述：

例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3

（2）题也可与1比较。

（Ⅲ）课堂练习：

课本P89练习3

补充：

比较与两个值的大小

要求：

学生板演，教师讲评

（Ⅳ）课时小结

通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。

（V）课后作业

一、课本P89习题2.83

二、1．预习内容：

函数单调性、奇偶性证明

预习提纲：

（1）判断、证明函数单调性的通法；

（2）判断、证明函数奇偶性的通法。

板书设计院

§2.8.2

例2例3学生练习

（1）

（2）1.

（2）

（2）2.

教学后记

§2.8.3对数函数性质应用

教学目标：

1．掌握对数函数单调性；2．掌握比较同底数对数大小的方法；3．培养学生数学应用意识

教学重点：

函数单调性、奇偶性的证明通法

教学难点：

对数运算性质、对数函数性质的应用

教学方法：

引导式

教学过程：

（I）复习回顾

上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。

1、判断及证明函数单调性的基本步骤：

假设—作差—变形—判断

说明：

变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：

一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。

1、判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

1考查函数定义域是否关于原点对称；

2比较与或者的关系；

3根据函数奇偶性定义得出结论。

说明：

考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。

接下来，我们一起来看例题

（Ⅱ）讲授新课

例4：

判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）

分析：

首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行

解：

（1）由可得，所以函数的定义域为：

（）关于原点对称

又。

即

所以函数奇函数

评述：

此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。

说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。

解：

（2）由可得，所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即

所以函数是奇函数

评述：

此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。

例5：

（1）证明函数在上是增函数。

（2）问：

函数在上是减函数还是增函数？

分析：

此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。

证明：

设，且

则

又在上是增函数

∴，即

∴函数在上是增函数

（2）题证明可以依照上述证明过程给出

评述：

此题可引导学生总结函数的增减性与函数的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。

（Ⅲ）课堂练习

（1）证明函数在上是减函数；

（2）判断函数在上的增减性

（Ⅳ）课时小结

通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。

（V）课后作业

一、1．求的单调递减区间；

2．求的单调递增区间；

3、已知在[0，1]上是的减函数，求的取值范围

二、1．预习内容：

课本P90例1，P96～P97

2．预习提纲：

（1）什么是数学模型？

（2）什么是数学建模

（3）你认为数学建模的关键是什么？

板书设计

§2.8.3

例4例5学生练习

（1）解答

（1）

（2）解答

（2）

教学后记

§2.9.1函数的应用举例

教学目标：

1．了解数学建模；2．掌握根据已知条件建立函数关系式；3培养学生分析问题、解决问题的能力；4、培养学生应用数学的意识

教学重点：

根据已知条件建立函数关系式

教学难点：

数学建模意识

教学方法：

读议讲练法

教学过程：

（I）复习回顾

前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接上来，用已学过的知识举例说明函数的应用。

（Ⅱ）讲授新课

大家首先阅读课本P96～P97，来了解一下数学建模的有关知识

1、数学模型与数学建模：

简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。

数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相当的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。

2、例题讲解：

例1：

用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2，求此框架的面积与的函数式，并写出它的定义域。

分析：

所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用。

解：

如图设，则CD弧长=，于是AD

因此

再由解之得

即函数式是：

；定义域是：

评述：

此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解应用题的基本步骤。

1．数学应用题的能力要求：

（1）阅读理解能力；

（2）抽象概括能力

（3）数学语言的运用能力；

（4）分析、解决数学问题的能力

2．解答应用题的基本步骤：

（1）合理、恰当假设；

（2）抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；

（3）分析、解决数学问题；

（4）数学问题的解向实际问题的还原。

有了上述说明，我们在看例2时就应有所注意。

例2：

如图所示，有一块半径为R的半圆形纲板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数式，并求出它的定义域。

分析：

要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2，因此，只须用已知量（半径R）和腰长的函数式。

解：

如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上设腰长AD=BC=，作DE⊥AB，垂足为E，墨守成规结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE～△ABD。

∴即∴

所以，即

再由解得

∴周长与腰长的函数式为：

，定义域为：

评述：

例2是实际应用问题，解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。

（Ⅲ）课堂练习

课本P92练习薄，2

（Ⅳ）课时小结

通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步增强解决实际问题的能力。

（V）课后作业

一、课本P93习题2.91，2

二、1.、预习内容：

课本P91例2

2．预习提纲

（1）例2的数学模型和哪种函数有关？

（2）试列举有关平均增长率的实际问题。

板书设计

§2.9.1

1.应用题要求；3.例14.例2例5学生练习

2.基本步骤

教学后记

§2.9.2函数的应用举例

教学目标：

1．继续了解数学建模的方法；2．能够建立有关增长率的数学模型；3培养学生应用数学的意识

教学重点：

数学建模的方法

教学难点：

数学建模意识

教学方法：

引导式

教学过程：

（I）复习回顾

上一节，我们了解了数学建模的方法和较简单的情形，并总结了解答应